472
.pdf
2. Параметрические уравнения прямой l
q {k;m;n} |
- направляющий вектор |
l
M (x0,y0,z0) - точка на прямой
Запишем канонические уравнения, введем параметр t :
x-x0 |
|
y y0 |
z-z0 |
t. |
|
m |
|||||
k |
|
n |
|
Разрешим относительно x,y,z полученные равенства:
x kt x0 ,
l:y mt y0,z nt z0.
3. Уравнения прямой l, проходящей через две заданные точки
q |
|
|
|
|
|
|
MN {x -x ;y -y ;z -z } - направляющий вектор |
||||||
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
l |
|
|
|
|
|
N (x2,y2,z2) |
M (x1,y1,z1) |
|
|
- точки на прямой |
|||
|
|
|
||||
Запишем канонические уравнения :
l: |
x-x1 |
|
y- y1 |
|
y- y1 |
. |
|||
|
|
|
|||||||
|
x |
x |
|
y |
y |
|
y |
y |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
4. Прямая как пересечение двух плоскостей
α
Прямая l может быть задана как пересечение двух плоскостей, заданных своими общими уравнениями :
l:A1x B1y C1z D1 0,A2x B2y C2z D2 0.
Получение канонических уравнений прямой в случае, если прямая задана как пересечение двух плоскостей
A x B y C z D 0, |
n |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
1 |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|||
l: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A x B y C z D 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n {A1;B1;C1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n {A2;B2;C2 } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направляющий вектор q ортогонален векторам n и |
n |
, поэтому |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A1 B1 |
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
A2 |
B |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0, |
||||||||||
Точка на прямой может быть найдена |
A x B y C z D |
|||||||||||||
как одно из частных решений системы |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
линейных уравнений |
|
|
|
|
A x B y C z D |
|
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
l |
q {k;m;n} |
|
M(x*;y*;z*)
α
Пусть плоскость α задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0,
прямая l – параметрическими уравнениями |
x kt x0, |
|
|
|
|
|
y mt y0, |
|
|
z nt z . |
|
|
|
0 |
Для нахождения координат (x*;y*;z*) точки пересечения прямой и плоскости решается система уравнений
x kt x0,y mt y0,z nt z0,
Ax By Cz D 0.
Пример. Найти точку пересечения плоскости 2x+y+z+1=0 и прямой
x-1 |
|
y 1 |
z 3 . |
3 |
|
||
0 |
4 |
||
Решение. Получим параметрические уравнения прямой:
x 3t 1, y 1, z -4t-3.
Составим систему для нахождения точки пересечения:
x 3t 1 |
|
|
2(3t 1) 1 4t 3 1 0, |
x 3 0,5 1; |
|
|
|
|
|
||
y 1 |
|
|
|
2t 1 0, |
y 1; |
|
|
|
|
||
z -4t - 3, |
|
t 0,5. |
z 4 0,5 3; |
||
2x y |
z |
1 |
0. |
||
|
|
|
|
|
|
Ответ. М (2,5;1;-5). |
x 2,5; y 1; z 5. |
|
|
||
|
|
|
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
1. Прямая параллельна плоскости
l
При этом возможны 2 различные ситуации:
1.1 Прямая лежит в плоскости 1.2 Прямая не лежит в плоскости
|
n {A,B,C} |
|
l |
|
q {k,m,n} |
|
|
|
|||
|
|
M(х0,y0,z0 ) |
|||
|
|
|
|
||
|
|
l |
n {A,B,C} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q {k,m,n} |
|
|
|
|
M(х0,y0,z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
n q, |
|
A k B m C n 0, |
l ll α, |
n q, |
|
A k B m C n 0, |
l α |
|
|
|
|
|
|
M α |
A x0 B y0 C z0 D 0. |
l α |
M α |
A x0 B y0 C z0 D 0. |
||
2. Прямая не параллельна плоскости
l
q {k,m,n} |
ψ n {A,B,C} |
|
φ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(l,α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin sin |
2 |
ψ |
cosψ cos(n,q) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A k B m C n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
q |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
lnl lql |
|
A |
B |
C |
k |
m |
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Расстояние от точки до прямой в пространстве
M
d
q {k;m;n}
N
l
Расстоянием от точки до прямой называется высота
параллелограмма, построенного на векторах и q .
NM
|
Sпараллелограмма |
|
|
|
|
d |
|
lNM q l |
. |
||
lql |
|
|
|||
|
|
|
l q l |
|
|
Скрещивающиеся прямые
Скрещивающимися называются прямые, не лежащие в одной плоскости.
q2 {k2;m2;n2 }
l2
β
q1 {k1;m1;n1}
l1
α
l1 и l2 - скрещивающиеся прямые.