472

N

N

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, и наоборот, если векторы N и N коллинеарны, то плоскости и

параллельны. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Равенства верны, следовательно, векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.

Чтобы найти расстояние от плоскости до плоскости , необходимо взять какую-либо точку плоскости и найти расстояние от нее до плоскости .

Возьмем какую-либо точку плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим какие-либо значения двух переменных и найдем соответствующее им значение третьей переменной. Например, возьмем x 0 и y 0, тогда уравнение плоскости примет вид z 4 0или z 4. Таким

образом, точка A(0;0;4) принадлежит плоскости .

Найдем расстояние от этой точки до плоскости . Для этого приведем уравнение плоскости к нормальному виду:

Подставим координаты точки в левую часть полученного нормального уравнения и возьмем полученное число по модулю:

§2.11. Взаимное расположение плоскостей

Вз. расположение плоскостей

Две плоскости могут быть параллельны, перпендикулярны и могут пересекаться под некоторым углом. Взаимное расположение плоскостей определяется взаимным расположением их направляющих векторов.

29

N

N

Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

A1 B1 C1 .

A2 B2 C2

Последнее равенство является условием параллельности плоскостей.

Частным случаем параллельности плоскостей является случай совпадения плоскостей. Два линейных уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого уравнения:

перпендикулярны.

30

Ответ. Угол между плоскостями равен arccos4216 .

§2.12. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

Вз. распол. пр. и пл. Угол между ними

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Решение. Координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют и уравнению прямой и уравнению плоскости, т.е. являются решением системы

Для решения системы удобно уравнение прямой привести к параметрическому виду:

Тогда система примет вид:

Находим значение t и подставляем его в формулы для x, y, z :

32

Ответ. точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

26; 25; 65 .7 7 7

Задача 2. Найти проекцию точки A( 2;3;6) на плоскость x 3y z 4 0.

Решение. Проекцией точки на плоскость является точка пересечения плоскости и перпендикуляра к плоскости, проходящего через данную точку.

A

P

Поэтому план такой.

1)Запишем уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной плоскости;

2)Найдем точку пересечения полученной прямой и данной плоскости. Полученная точка и будет являться проекцией точки A на данную плоскость.

Реализуем описанный план.

1)Плоскость задана общим уравнением. Коэффициенты при x, y, z в

общем уравнении плоскости определяют координаты нормального вектора плоскости N 1;3; 1 .

A

N

Проведем через точку A прямую перпендикулярно к данной плоскости:

33

N

Записать уравнение прямой – значит связать координаты произвольной точки прямой некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x;y;z :

A

N M

Определим вектор AM :

A

N M

Найдем координаты вектора AM (ссылка):

AM x ( 2);y 3;z 6 x 2;y 3;z 6 .

Векторы AM и N коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны:

x 2 y 3 z 6.

1 3 1

Полученное равенство является уравнением прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной плоскости.

34

2)Найдем координаты точки P – точки пересечения полученной прямой

изаданной плоскости.

A

N

P

Координаты точки пересечения являются решением системы

Для решения системы перейдем к параметрическому уравнению прямой (см. предыдущую задачу)

Решая первое уравнение системы, получаем t 119 . Подставляя полученное

Решение. Проекцией точки на прямую является точка пересечения перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Но в пространстве через данную точку проходит бесконечное множество прямых, перпендикулярных данной. Все эти прямые образуют плоскость,

35

перпендикулярную к данной прямой. Поэтому проекцию точки на прямую будем искать как точку пересечения данной прямой и плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. План такой:

1)записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой;

2)найти точку пересечения найденной плоскости и данной прямой. Полученная точка и будет являться проекцией точки D на прямую l .

1) Прямая задана каноническим уравнением, следовательно, задан направляющий вектор прямой p 3;1;0 . Сделаем рисунок.

p

D

l

Построим плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно к данной прямой.

p

D

l

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x;y;z .

36

p

D

l

M

Определим вектор DM .

p

D

l

M

Последнее равенство является уравнением плоскости, проходящей через точку

Dперпендикулярно к прямой l .

2)Найдем точку пересечения полученной плоскости и заданной прямой (см. задачу 1).

37

p

D

l

Координаты точки пересечения являются решениями системы

сделав обратную подстановку, получим координаты точки пересечения прямой и плоскости.

1) Построим плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно к данной прямой. Прямая задана каноническим уравнением,

38