472

ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направлены (рис. 3.26 ).

И, наконец, параболы, изображенные на рис. 3.28, имеют соответствующие уравнения.

Рис. 3.28

21

системы координат каждой из этих кривых соответствует некоторое уравнение второго порядка вида

Ax2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0,

которое называется общим уравнением кривой второго порядка (A,B,C не равны 0 одновременно). Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой при каждом конкретном наборе коэффициентов данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. Общее уравнение кривой второго порядка может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую линию второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к

одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий.

4)a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых;

5)a2x2 + c2y2 = 0 – уравнение двух мнимых пересекающихся прямых (точка);

6)y2 = 2px – уравнение параболы;

7)y2 – a2 = 0 (x2 – a2 = 0) – уравнение двух параллельных прямых;

8)y2 + a2 = 0 (x2 + a2 = 0)– уравнение двух мнимых параллельных прямых;

9)y2 = 0 (x2 = 0) – пара совпадающих прямых.

Правило 1. Для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду первым действием необходимо путем поворота координатных осей на угол преобразовать это уравнение так, чтобы в

нем отсутствовал член с произведением координат.

Используя формулы поворота осей, имеем:

xx1 cos y1 sin

yx1 sin y1 cos

23

Выразим старые координаты через новые:

A(x1 cos y1sin )2 2B(x1 cos y1sin )(x1sin y1 cos ) C(x1sin y1 cos )22D(x1 cos y1sin ) 2E(x1sin y1 cos ) F 0.

Выберем угол так, чтобы коэффициент при произведении переменных х1·у1 обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

- 2Acos sin 2B(cos2 -sin2 ) 2Ccos sin 0,

т.е. (C A)sin2 2B cos2 0,

т.е. 2B cos2 (A C)sin2 .

Отсюда tg2 A2BC .

Таким образом, при повороте осей на угол α, удовлетворяющий условию tg2 A2BC , общее уравнение кривой второго порядка не содержит

слагаемое с произведением координат.

случае cos2α = 0, тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.

Замечание 2. Поворот на положительный угол α осуществляется против часовой стрелки и наоборот.

Замечание 3. Часто при осуществлении поворота системы координат используют иное символическое обозначение новой системы координат: Ox`y` , в силу чего и формулы, описывающие поворот осей принимают вид:

Правило 2. Для окончательного приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду необходимо путем параллельного переноса координатных осей преобразовать это уравнение в одно

24

кривую второго порядка используется техника выделения полных квадратов.

Параллельный перенос координатных осей (перенос начала координат в точку (x0;y0)), как действие, вторичное после поворота осей, осуществляется по следующим формулам:

перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

Решение. Выполняем поворот осей по формулам x x1cos y1sin ;

y x1sin y1cos .

Определим угол поворота системы координат.

5(x12cos2 2x1y1cos sin y12sin2 ) 4(x 21cos sin (cos2 sin2 )x1y1y12sin cos ) 8(x12sin2 2x1y1sin cos y12cos2 )

52(x1cos y1sin ) 64(x1sin y1cos ) 164 0.

подставим их в (1). После вычисления коэффициентов получим уравнение:

В полученном уравнении выделим полные квадраты двучленов x1 x0 и y1 y 0:

Выполнив параллельный перенос

25

3.9 Инварианты кривых второго порядка

Исследование вида линий второго порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений так называемых основных

инвариантов линий второго порядка — выражений, составленных из коэффициентов общего уравнения кривых второго порядка, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат.

К инвариантам кривых второго порядка относят инварианты

относительно переноса начала координат и поворота осей:

Полуинвариант уравнения (инвариант относительно поворота осей):

В зависимости от значений величин S, , , A общее уравнение кривой второго порядка определяет одну из следующих линий:

эллипс мнимый эллипс

пара мнимых пересекающихся прямых

гипербола

пара пересекающихся прямых

26

1.5. Дана гипербола x 2 y 2 8. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку M (4,6) и имеющего фокусы, которые совпадают с фокусами данной гиперболы.

1.6. Найти точки пересечения параболы y 2 8x с эллипсом, у которого правый фокус совпадает с фокусом этой параболы, большая полуось равна 4

ифокусы лежат на оси 0x .

1.7.Фокусы гиперболы лежат в точках F1( 7,0) и F2( 7,0).

Гипербола проходит через точку A 2,0 . Найти уравнения ее асимптот.

прямые, параллельные ее асимптотам. Определить точки пересечения этих прямых с гиперболой.

1.11. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат, центр которой совпадает с фокусом параболы y 2 8x .

1.12. Оси гиперболы совпадают с осями координат. Гипербола проходит через точки пересечения параболы x 2 2y с прямой x 2y 6 0. Составить уравнение этой гиперболы.

1.13.Эллипс проходит через точку пересечения прямой 3x 2y 7 0

спараболой y 2 4x (взять точку с меньшей абсциссой). Оси эллипса

совпадают с осями координат. Составить уравнение этого эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6.

1.14. Эксцентриситет гиперболы в 2 раза больше углового коэффициента ее асимптоты. Гипербола проходит через точку M (3, 1), и ее

действительная ось лежит на оси 0x , а центр - в начале координат. Найти точки пересечения этой гиперболы с окружностью x 2 y 2 10.

1.15. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а осью симметрии является ось 0x , если известно, что

расстояние от ее фокуса до центра окружности x 2 y 2 10x 8y 25 0

равно 5.

1.16. Составить каноническое уравнение эллипса, правая вершина

асимптоты. Найти эксцентриситет этой гиперболы.

28

1.18. Найти точки пересечения параболы y 2 x с окружностью,

которая проходит через начало координат, имеет центр на оси 0x и радиус, равный 5.

1.19.Составить уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с

фокусами гиперболы x 2 y 2 1, а эксцентриситет эллипса равен 3/5. 5 4

x y 2 0.

1.25. Вычислить расстояние от центра окружности x 2 y 2 10x до

противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.

1.28. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A (5,0) и B 1,4 , если центр ее лежит на прямой x y 3.

1.29.Написать каноническое уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0,8, а большая полуось больше малой полуоси на две единицы.

1.30.Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через

29