472

уравнение, получаем 3x 2y 6 0.

§1.9. Взаимное расположение прямых на плоскости

Угл. коэффициент. Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые на плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными и не

параллельности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то можно определить координаты направляющих векторов

p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.

p

s

l

Векторы p и s коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

p1 p2 . s1 s2

Полученное равенство является условием параллельности прямых, заданных каноническими уравнениями.

2. Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями A1x B1y C1 0 и A2x B2 y C2 0 соответственно. Найдем условия их параллельности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно

21

N2

Векторы N1 и N2 коллинеарны , следовательно, их координаты

пропорциональны, т.е.

A1 B1 .

A2 B2

Полученное равенство является условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями.

3. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями через угловой коэффициент

Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .

Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то

22

можно определить координаты направляющих векторов p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.

l2

l1

s

p

Векторы p и s перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0, т.е.

p1 s1 p2 s2 0.

Полученное равенство является условием перпендикулярности прямых, заданных каноническими уравнениями.

2. Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями A1x B1y C1 0 и A2x B2 y C2 0 соответственно. Найдем условия их перпендикулярности.

Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно определить координаты нормальных векторов N1 A1;B1 и N2 A2;B2 соответственно.

l2

l1

N1

N2

Векторы N1 и N2 перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. A1 A2 B1 B2 0.

Полученное равенство является условием перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.

23

3. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями через угловой коэффициент

перпендикулярности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .

углом . Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то можно определить координаты направляющих

векторов p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.

l2

s

p

l1

24

следовательно, угол между прямыми равен углу между векторами. Этот угол можно найти из скалярного произведения векторов:

Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно определить координаты нормальных векторов

N1 A1;B1 и N2 A2;B2 соответственно.

l2

N2

Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами. Этот угол можно определить, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

некоторым углом . Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .

25

Запишем уравнение прямой l1 . Обозначим ее угловой коэффициент через k1 и воспользуемся формулой (*) угла между прямыми:

Поскольку точка A лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в последнее равенство координаты точки A , найдем значение b :

1 0,2 3 b b 1,6.

Получаем уравнение прямой l1 : y 0,2x 1,6.

Запишем уравнение прямой l2 . Обозначим ее угловой коэффициент через k2 и воспользуемся формулой (*) угла между прямыми:

Поскольку точка A лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в последнее равенство координаты точки A , найдем значение b :

Получаем уравнение прямой l2 : y 5x 14.

§1.10. Уравнение линии в полярной системе координат

Полярная система координат задается полярной осью, началом координат и единичным отрезком.

Координаты точки определяются расстоянием от точки до начала координат и углом наклона радиус-вектора (ссылка) точки к положительному направлению полярной оси .

Линия в полярной системе координат задается зависимостью . Для построения лини составляется таблица значений , соответствующих выбранным значениям , полученные точки наносятся на плоскость с полярной системой координат и соединяются плавной линией.

27

Примеры построения линий в полярной системе координат.

1) 5 – окружность радиуса 5, с центром в начале координат.

2

2

28

29

Задачи к главе 1.

1.1.Решить задачи.

1.1.1.Записать уравнение прямой, проходящей через точки A( 2;1) и B(3;7).

1.1.2.Записать уравнение прямой, проходящей через точку F( 3;4) параллельно вектору b 7;12 .

1.1.3.Записать уравнение прямой, проходящей через точку T (2; 1) перпендикулярно к вектору c 5;9 .

1.1.4.Записать уравнение прямой, проходящей через точку C(3; 2) параллельно прямой 7x y 13 0.

1.1.5.Записать уравнение прямой , проходящей через точку C 2;1 перпендикулярно к прямой 4x 2y 8 0.

1.1.6.Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(1;3)

1.1.9. Привести уравнение прямой 7x 5y 12 0 к нормальному виду.

1.1.13.Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 3;3) параллельно прямой 5x 7y 2 0.

1.1.14.Записать уравнение прямой, проходящей через точку B( 2;4)

1.1.15. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 4;5) и

составляющей с осью абсцисс угол в 45 .

1.1.16. Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(1;3) и

составляющей с осью абсцисс угол в 60 .

1.1.17. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(2;1) и

составляющей угол в 45 с прямой 3x y 2 0.

1.1.18. Записать уравнение прямой, проходящей через точку C(3; 2) и

составляющей с прямой 3x 2y 4 0 угол в 45 .

1.1.19. Записать уравнение прямой, проходящей через точку Е( 2;3) параллельно прямой 7x 5y 9 0.

30