472

M 2

M1

M 3

Три точки однозначно определяют плоскость. Изображать плоскость на рисунке будем в виде параллелограмма.

M 2

M1

произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x, y,z .

M 2

M1

Свяжем какую-нибудь известную точку со всеми остальными векторами.

компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0. Найдем координаты векторов:

9

M1M x x1; y y1;z z1 ; M1M 2 x2 x1; y2 y1;z2 z1 ;

M1M 3 x3 x1; y3 y1;z3 z1

и запишем условие компланарности:

Последнее равенство определяет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки

A 2;3;1 ; B 3;2; 4 и C 1;2;5 .

Решение. Сделаем рисунок.

A

B

C

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x, y,z

A

B

C

M

Свяжем известную точку A (например) с остальными точками векторами

A

B

C

M

10

Векторы AM , AB и AC лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0. Найдем координаты векторов

AM x ( 2); y 3;z 1 x 2; y 3;z 1 ; AB 3 ( 2);3 3; 4 1 5;0; 5 ; AC 1 ( 2); 2 3; 5 1 1; 1; 4

изапишем условие компланарности

x2 y 3 z 1

Раскрывая определитель

x 2 0 4 5 1 y 3 5 4 1 5 z 1 5 1 1 0 0

иприводя подобные слагаемые, получим уравнение плоскости

5x 25y 5z 70 0.

§2.6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

параллельно двум данным векторам

Плоскость, проходящая через точку ll 2 векторам

Точка M 0 x0;y0;z0 и два неколлинеарных вектора a a1;a2;a3 и b b1;b2;b3 единственным образом определяют плоскость. Сделаем рисунок.

a

b

M 0

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x, y,z .

11

a

b M

M 0

Свяжем известную точку M 0 с точкой M вектором

a

b M

M 0

Векторы M 0M , a и b компланарны (компланарность), следовательно, их смешанное произведение равно 0:

Последнее равенство является уравнением плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку A 3;2;5 параллельно векторам a 5;2; 3 и b 4; 3;2 .

Решение. Сделаем рисунок. Векторы a и b неколлинеарны, следовательно, плоскость определена однозначно.

a

b

A

12

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x, y,z

a

b M

A

Определим вектор AM

a

b M

A

Векторы AM , a и b компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0. Найдем координаты вектора AM :

AM x ( 3);y 2;z 5 x 3;y 2;z 5

и запишем условие компланарности

Раскрывая определитель и приводя подобные слагаемые, получим искомое уравнение 5x 2y 7z 46 0.

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки A( 1;4;2) и B(3; 1;1), параллельно вектору c 4;3;5 .

Решение. Сделаем рисунок.

A

c

B

13

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x, y,z

A

c M

B

Свяжем какую-либо известную точку, например точку A , с остальными точками векторами

A

c M

B

Найдем координаты полученных векторов:

AM x 4; y 3;z 5 ; AB 4; 5; 1 .

Векторы AM ; AB; c лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0:

Раскрывая определитель и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение искомой плоскости

22x 16y 8z 0.

§2.7. Общее уравнение плоскости

(Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно к данному вектору)

Общее уравнение плоскости

Сделаем рисунок. Дана точка M 0 x0; y0;z0 и вектор N A;B;C . Вектор N будем называть нормальным вектором плоскости. Любой вектор, перпендикулярный к плоскости, является ее нормальным вектором.

14

N

M 0

Необходимо записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данному вектору.

N

M 0

Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x; y;z .

N

Определим вектор M 0M .

N

M 0 M

Векторы M 0M и N перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0. Найдем координаты вектора M 0M :

M 0M x x0; y y0;z z0

и запишем условие перпендикулярности

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Раскрыв скобки

Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0

15

и обозначив свободный член Ax0 By0 Cz0 через D , получаем общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0.

ВАЖНО:

1)Полученное уравнение называется общим уравнением плоскости.

2)Вектор N , перпендикулярный к плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

3)В общем уравнении плоскости коэффициенты при x , y и z

определяют координаты нормального вектора.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку B( 2;7;1) перпендикулярно к плоскости : 5x y 7z 9 0.

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка B и плоскость. Проверим, лежит ли точка B на плоскости . Для этого необходимо подставить координаты точки B в уравнение плоскости . Если получится верное равенство, то точка лежит на плоскости, если не верное, то точка не лежит на плоскости. При подстановке получаем: 5 2 7 7 1 9 0 или, после преобразований, 1 0. Равенство неверно, следовательно, точка A не лежит на плоскости .

B

Плоскость задана общим уравнением, следовательно, можно указать координаты нормального вектора плоскости, которыми являются коэффициенты при x , y и z в уравнении плоскости: N 5; 1;7 .

B

N

Проведем через точку B прямую перпендикулярно к плоскости (параллельно вектору N )

16

B

N

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

B

N

M

Определим вектор BM :

B

N

M

Найдем координаты вектора BM :

BM x ( 2);y 7;z 1 x 2; y 7;z 1 .

Векторы BM и N коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Запишем условие коллинеарности:

17

x 2 y 7 z 1.

5 1 7

Полученное равенство является каноническим уравнением искомой прямой.

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку C 2;3; 5 параллельно плоскости : 3x 2y z 11 0.

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка C и плоскость . Проверим, лежит ли точка C в плоскости . Для этого необходимо подставить координаты точки C в уравнение плоскости . Если получится верное равенство, то точка лежит на плоскости, если не верное, то

C

Плоскость задана общим уравнением, следовательно, можно указать координаты нормального вектора плоскости, которыми являются коэффициенты при x , y и z в уравнении плоскости:

C

N

Проведем через точку C плоскость параллельно плоскости (перпендикулярно к вектору N )

18