Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

472

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

1.1.20. Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(4;–3)

перпендикулярно к прямой	x 2	y 1	.
	5
		2

1.1.21. Записать уравнение прямой, проходящей через точку В(–1;1) и образующей угол в 45 с прямой 4x 2y 3 0.

1.1.22.Записать уравнение прямой, проходящей через точки А(–1;4) и В(3;3).

1.1.23.Записать уравнение прямой, проходящей через точку Р(3;–5) перпендикулярно к прямой 3x 4y 7 0.

1.1.24.Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(–5;6) и

		x 2	y 1
образующей угол в 45	с прямой			.
		5	2

1.1.25. Записать уравнение прямой , проходящей через точку А(–2;5)

парллельно прямой	x 2	y 1	.
	5
		2

1.1.26. Записать уравнение прямой, проходящей через точку С(9;1) перпендикулярно к прямой 4x 2y 3 0.

1.1.27.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–1;6) и образующей угол в 135 с прямой 3x 4y 7 0.

1.1.28.Записать уравнение прямой, проходящей через точку С(–3;3)

параллельно прямой 4x 2y 3 0.

1.1.29. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–1;6)

перпендикулярно к прямой	x 2	y 1	.
	5
		2

1.1.30. Записать уравнение прямой, проходящей через точку С(0;3) и

		x 7
образующей угол в 135	градусов с прямой		y 4.
образующей угол в 135	градусов с прямой	3	y 4.
1.1.31. Найти расстояние от точки A( 3;5) до прямой				x 2	y 1	.
1.1.31. Найти расстояние от точки A( 3;5) до прямой				5		.
				5	2

1.2. Изобразите линию, заданную в полярной системе координат.

1.2.1. 3sin2	1.2.2. 3cos2
1.2.3. 4sin2	1.2.4. 4cos2
1.2.5. 5sin3	1.2.6. 2cos3
1.2.7. 4sin3	1.2.8. 4cos3
1.2.9. 2sin4	1.2.10. 3cos4
1.2.11. 3sin5	1.2.12. 2cos5
1.2.13. 5sin6	1.2.14. 2cos6
1.2.15. 2	1.2.16 3
1.2.17. 4sin7	1.2.18. 3cos7
1.2.19. 3sin2 2	1.2.20. 3cos2 2
1.2.21. 5sin2	1.2.22. 2cos2
1.2.23. 1 sin	1.2.24. 1 cos
1.2.25. 6sin2 3	1.2.26. 8cos2 3

1.2.27.	2 sin2	1.2.28.	3 cos2
1.2.29.	3 sin	1.2.30.	2 cos

Оглавление

Оглавление.................................................................................................................	1
2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ...........................................	2
§2.1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки...................	2
§2.2. Каноническое уравнение прямой..............................................................	3
(Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данному вектору)...................................................................................................	3
§2.3. Параметрическое уравнение прямой .......................................................	6
§2.4. Взаимное расположение прямых в пространстве..................................	6
§2.5. Уравнение плоскости в пространстве......................................................	8
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.......................	8
§2.6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ...................	11
параллельно двум данным векторам..............................................................	11
§2.7. Общее уравнение плоскости.....................................................................	14
(Уравнение плоскости, проходящей через данную точку...........................	14
перпендикулярно к данному вектору).............................................................	14
§2.8. Нормальное уравнение плоскости..........................................................	22
(уравнение плоскости, находящейся на расстоянии p от начала
координат, нормаль к которой составляет углы , β и γ с
положительными направлениями осей координат соответственно)........	22
§2.9. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду......	24
§2.10. Расстояние от точки до плоскости........................................................	25
§2.11. Взаимное расположение плоскостей.....................................................	29
§2.12. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве............	32
Задачи к главе 2 ...................................................................................................	45

2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§2.1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Прямая в пространстве. Способы задания

Пусть даны две точки M1 x1; y1;z1 и M 2 x2; y2;z2 . Необходимо записать уравнение прямой M1M 2 .

Сделаем рисунок.

M 2

Записать уравнение прямой – это значит связать координаты произвольной точки прямой некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x;y :

Определим векторы M1M и M1M 2 :

M 2

Векторы M1M и M1M 2 коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов :

M1M x x1;y y1;z z1 ; M1M 2 x2 x1; y2 y1;z2 z1 .

Запишем условие коллинеарности:

x x1			y y1			z z1			.
x		x	y		y
	2			2		z	2	z
		1			1			1

Полученное равенство и является уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

§2.2. Каноническое уравнение прямой

(Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору)

Прямая в пространстве. Способы задания

Даны точка M 0 x0; y0;z0 и вектор p p1; p2; p3 :

M 0

Проведем через данную точку прямую параллельно данному вектору:

M 0

Записать уравнение прямой – это значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x; y;z :

M 0

Определим вектор M 0M :

M 0

Векторы M 0M и p коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Найдем координаты вектора M 0M :

M 0M x x0; y y0;z z0 .

Запишем условие коллинеарности:

x x0	y y0		z z0		.
p	p
		2	p	3
1

Полученное равенство является уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

ВАЖНО:

1)Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой.

2)Вектор p называется направляющим вектором прямой.

3)В каноническом уравнении прямой числа, стоящие в знаменателе определяют координаты направляющего вектора.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A 2; 7;3

параллельно прямой l :	x 1	y 3		z 4	.
		5
4			2

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка A, прямая l . Проверим, лежит ли точка A на прямой l . Для этого необходимо подставить координаты точки A в уравнение прямой l . Если получится верное равенство, то точка лежит на прямой, если не верное, то точка не лежит на

прямой. При	подстановке получаем:					2 1		7 3	3	4	или,	после
						4		5	2
		1		1
преобразований,			2		. Равенство неверно,		следовательно,				точка	A не
	4			2

лежит на прямой l .

Прямая l задана каноническим уравнением, следовательно, можно указать направляющий вектор прямой, координатами которого являются числа, стоящие в знаменателях дробей в левой и правой частях уравнения, т.е. p 4; 5;2 - направляющий вектор прямой l .

Проведем через точку A прямую параллельно прямой l :

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x; y;z на искомой прямой:

Определим вектор AM :

Векторы AM и p коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны. Найдем координаты вектора AM :

AM x 2;y 7 ;z 3 x 2; y 7;z 3 .

Запишем условие коллинеарности векторов:

x 2		y 7		z 3	.
4		5	2

Полученное уравнение является уравнением искомой прямой.

§2.3. Параметрическое уравнение прямой

Прямая в пространстве. Способы задания

Запишем каноническое уравнение прямой

x x0	y y0		z z0		.
p	p
		2	p	3
1

В случае если точка лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. при подстановке координат точки в уравнение прямой вместо x, y,z , получим верные равенства. При подстановке координат другой точки прямой, опять же получаем верное равенство, значение отношения будет другим. Таким образом, переходя от одной точки прямой к другой, всякий раз получаем верное равенство с новым значением отношения. Обозначим значение отношения через t и выразим x, y,z через t :

x x0	y y0		z z0		t
p	p
		2	p	3
1

	x x			0
				0
			p
		1
или	y y			0
				0
			p2
			p2
	z z0

			p3

x p1t x0;

t; или y p2t y0;

z p3t z0

Последняя система называется параметрическим уравнением прямой.

ВАЖНО:

1.В параметрическом уравнении прямой коэффициенты при t определяют координаты направляющего вектора прямой.

2.Чтобы получить координаты какой-либо точки прямой, необходимо в параметрическое уравнение прямой подставить какое-либо значение t .

§2.4. Взаимное расположение прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые

Прямые в пространстве могут быть параллельны, или располагаться под некоторым углом, могут пересекаться или скрещиваться.

Пусть даны прямые l :

x x1

y y1

z z1

и l

x x2

y y2

z z2

Прямые заданы каноническими уравнениями, которые определяют направляющие векторы прямых p p1; p2; p3 и q q1;q2;q3 соответственно.

Взаимное расположение прямых определятся взаимным расположением направляющих векторов.

1. Пусть прямые параллельны, тогда их направляющие векторы коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

p1 p2 p3 . q1 q2 q3

Полученное равенство является условием параллельности прямых.

2. Пусть прямые перпендикулярны, тогда их направляющие векторы перпендикулярны. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0:

p1 q1 p2 q2 p3 q3 0.

Полученное равенство является условием перпендикулярности прямых. 3. Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами:

p1q1 p2q2 p3q3

arccos

p12 p22 p32 q12 q22 q32

В пространстве прямые могут лежать в одной плоскости, либо скрещиваться.

1. Пусть прямые l1 и l2 скрещиваются. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, можно указать направляющие векторы прямых

p p1; p2; p3 и q q1;q2;q3 и точки M1 x1;y1;z1 и M 2 x2;y2;z2 , лежащие на данных прямых соответственно.

M 2

Определим вектор M1M 2 x2 x1;y2 y1;z2 z1 .

M 2

Если прямые скрещиваются, то векторы p, q и M1M 2 некомпланарны, т.е. их смешанное произведение не равно 0:

x2 x1	y2 y1	z2 z1	0.
x2 x1	y2 y1	z2 z1
p1	p2	p3
q1	q2	q3

Последнее неравенство является условием того, что прямые скрещиваются.

2) Пусть прямые лежат в одной плоскости, тогда рассмотренные выше векторы p, q и M1M 2 компланарны и их смешанное произведение равно 0:

x2 x1	y2 y1	z2 z1	0.
x2 x1	y2 y1	z2 z1
p1	p2	p3
q1	q2	q3

Последнее равенство является условием того, что прямые лежат в одной плоскости.

§2.5. Уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Плоскость, проходящая через 3 заданные точки

Даны три точки M1 x1, y1,z1 ; M 2 x2, y2,z2 и M 3 x3, y3,z3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.8 Mб8453.pdf
#
15.11.20221.83 Mб0457.pdf
#
15.11.2022277.89 Кб046.pdf
#
15.11.20221.86 Mб1462.pdf
#
15.11.2022278.22 Кб047.pdf
#
15.11.20221.92 Mб0472.pdf
#
15.11.20221.94 Mб1476.pdf
#
15.11.20221.94 Mб2477.pdf
#
15.11.20221.94 Mб4479.pdf
#
15.11.2022278.23 Кб048.pdf
#
15.11.20221.94 Mб3481.pdf