472

Решение. Изобразим данные задачи на рисунке. Дана точка D , прямая l . Проверим, лежит ли точка D на прямой l . Для этого необходимо подставить координаты точки D в уравнение прямой l . Если получится верное равенство, то точка лежит на прямой, если не верное, то точка не лежит на прямой. При

подстановке получаем: 231 3121 или, после преобразований, 13 13. Равенство верно, следовательно, точка D лежит на прямой l :

D

Прямая l задана каноническим уравнением, следовательно, можно указать направляющий вектор прямой, координатами которого являются числа, стоящие в знаменателях дробей в левой и правой частях уравнения, т.е.

p 3;12 – направляющий вектор прямой l .

D

p

Проведем через точку D прямую перпендикулярно к прямой l :

D

p

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

11

M

D

p

Определим вектор DM :

M

D

p

Найдем координаты вектора DM :

DM x 2;y 3 .

Векторы DM и p перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0:

3 x 2 12 y 3 0 или 3x 12y 42 0.

Последнее уравнение является общим уравнением искомой прямой.

§1.4. Нормальное уравнение прямой

(уравнение прямой, находящейся на расстоянии p от начала

координат, нормаль к которой составляет угол с

положительным направлением действительной оси)

Сделаем рисунок. Расстояние от начала координат до прямой определяется длиной перпендикуляра OP , проведенного из начала координат к прямой. Нормаль к прямой – это перпендикуляр к прямой.

12

y

P

p

x

O

Записать уравнение прямой – значит связать некоторым равенством координаты произвольной точки прямой. Поэтому возьмем произвольную точку M x;y на искомой прямой:

y

P

p

M

x

O

Определим векторы OM и единичный вектор e , сонаправленный вектору OP : y

P

p

M

e

x

O

Найдем координаты этих векторов:

13

Длина вектора e равна единице, следовательно, OM e p или, в координатной форме, x cos y sin p . Перенеся все слагаемые в одну часть, окончательно получим:

x cos y sin p 0.

ВАЖНО:

1)Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой.

2)В нормальном уравнении прямой свободный член всегда неположителен. Модуль свободного члена в нормальном уравнении прямой определяет расстояние от прямой до начала координат.

3)В нормальном уравнении прямой коэффициенты при x и y определяют

координаты единичного нормального вектора прямой. Сумма квадратов этих коэффициентов равна 1.

§1.5. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Нормальное уравнение прямой – это частный случай общего уравнения прямой. Если для коэффициентов общего уравнения прямой выполняются условия 2), 3) из предыдущего параграфа, то уравнение является нормальным.

Пример. Выбрать из предложенных уравнений нормальные:

а) 4x 2y 3 0;

б) 0,5x 0,2y 3 0; в) 0,6x 0,8y 0,1 0.

Решение. В нормальном уравнении прямой свободный член должен быть неположителен, поэтому уравнение б) не является нормальным, уравнение б) – общее уравнение прямой.

Сумма квадратов свободных членов нормального уравнения прямой равна единице.

Уравнение а): 42 ( 2)2 20 1, следовательно уравнение не является нормальным.

Уравнение б): 0,62 ( 0,8)2 0,36 0,64 1, следовательно, уравнение является нормальным.

Как свести общее уравнение прямой к нормальному? Мы можем преобразовать уравнение, умножив его на некоторое число так, чтобы новое уравнение удовлетворяло условиям нормальности. Пусть дано общее уравнение прямой:

Ax By C 0.

Умножим его на некоторое число D :

ADx BDy CD 0.

Полученное уравнение будет нормальным, если CD 0, т.е. знак числа D противоположен знаку числа C , и AD 2 BD 2 1. Из последнего равенства получаем, что

14

ПРАВИЛО. Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, необходимо разделить обе части уравнения на корень квадратный из

Полученное уравнение является нормальным уравнением прямой.

нормального уравнения прямой известны расстояние от начала координат до

15

Определим вектор OM 0

x

O

l

и найдем проекцию OK вектора OM 0 на вектор e .

x

O

l

По рисунку видно, что OK OP PK . По условию задачи OP p . Из свойств отрезков, заключенных между параллельными прямыми PK M 0L M 0,l .

Получаем: OK прe OM 0 OMe0 e OM 0 e x0 cos y0 sin и

OK OP PK p M 0,l , следовательно, x0 cos y0 sin p M 0,l или

M 0,l x0 cos y0 sin p .

Сравнив полученное выражение с левой частью нормального уравнения прямой, получим правило.

ПРАВИЛО 1. Чтобы найти расстояние от точки до прямой необходимо подставить координаты точки в левую часть нормального уравнения прямой и взять полученное число по модулю.

ПРАВИЛО 2. Если при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения прямой, получается положительное число, то точка и начало лежат по разные стороны от прямой, если получается число отрицательное, то точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.

16

ПРАВИЛО 3. Если при подстановке координат двух заданных точек в левую часть нормального уравнения прямой, получаются числа одного знака, то точки лежат по одну сторону от прямой, если получаются числа разных знаков, то точки лежат по разные стороны от прямой.

Пример. Найти расстояние от точки A( 1;3) до прямой l : x 4 3 y 7 2 .

Решение. Для решения задачи воспользуемся правилом 1. Прямая задана каноническим уравнением. Приведем его к общему виду.

Полученное общее уравнение прямой приведем к нормальному виду.

В левую часть полученного нормального уравнения подставим координаты точки A и возьмем полученное число по модулю.

смежные или в вертикальные?

Решение. Сделаем предварительное исследование.

Если точки попадают в один угол (см. рис. 1), то обе точки лежат по одну сторону относительно прямой l1 и по одну сторону относительно прямой l2.

Если точки попадают в вертикальные углы (см. рис. 2), то точки лежат по разные стороны от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2. Если точки

попадают в смежные углы (см. рис. 3 и рис. 4), то по отношению к одной прямой они лежат по одну сторону, а по отношению к другой – по разные.

17

При подстановке получаем числа разных знаков, следовательно, точки A и B лежат по разные стороны от прямой l1.

Приведем уравнение прямой l2 к нормальному виду.

При подстановке получаем числа одного знака, следовательно, точки A и B лежат по одну сторону от прямой l2. Мы попадаем в условия рисунка 4, т.е.

точки лежат в смежных углах.

§1.7. Уравнение прямой через угловой коэффициент

коэффициентом. Тогда уравнение приобретает вид

18

p2 P

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPT , в котором PT p2 , OT p1.

Выразим угловой коэффициент через координаты направляющего вектора:

k p2 PT tg POT . p1 OT

Угол POT равен углу наклона прямой l к положительному направлению оси абсцисс OX . Следовательно, угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

угловой коэффициент.

2. Коэффициент при переменной x называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

19

3. Свободный член b равен ординате точки пересечения прямой с осью ординат.

b

y kx b

x

O

§1.8. Уравнение прямой в отрезках

Возьмем общее уравнение прямой, перенесем свободный член C уравнения в правую часть и разделим обе части уравнения на число C :

ВАЖНО:

Числа, стоящие в знаменателях дробей уравнения прямой в отрезках, определяют координаты точек пересечения прямой с осями координат.

Пример. Прямая отсекает отрезок, равный 3 от положительного направления оси OY и отрезок, равный 2 от отрицательного направления оси OX . Записать общее уравнение прямой.

20