Практическая кристаллография

рядка с горизонтальной осью симметрии второго порядка привело к образова­ нию шести горизонтальных осей симметрии второго порядка, расположенных под углами, равными половине элементарного угла вертикальной оси симмет­ рии Ь6 Аналогичные результаты можно получить и для других вертикальных осей симметрии, если заменить ось симметрии L6 на 14 или на Lv или даже на Lr

Результаты проведенного анализа взаимодействия элементов симметрии кри­ сталлических многогранников будут служить теоретической базой при даль­ нейшем выводе 32 точечных групп (классов) симметрии.

Необходимо особо подчеркнуть, что рассмотренные случаи взаимодействия элементов симметрии не имеют никакого отношения к инверсионным осям симметрии, их результаты можно применять исключительно к простым осям симметрии.

Располагая достаточным набором матричных описаний каждого из элемен­ тов симметрии (гл. 3, приложение 2), можно аналитическим методом с помощью матриц непосредственно анализировать взаимодействие любых элементов сим­ метрии друг с другом независимо от вышеприведенных теорем. С этой целью производят так называемое перемножение матриц соответствующих элементов симметрии, и полученную в результате этого перемножения новую матрицу сопоставляют со сводкой матриц элементов симметрии (приложение 2) для расшифровки полученного результата.

Рассмотрим технику перемножения матриц преобразования в общем виде. Умножая матрицу А, составленную из направляющих косинусов одного из эле­ ментов симметрии, на матрицу 5 другого элемента симметрии, получают новую матрицу D некоторого нового элемента симметрии (для расшифровки которо­ го в последующем будем обращаться к сводке матриц из приложения 2):

Для этого последовательно и попарно перемножают элементы строк матри­ цы А на элементы столбцов матрицы В и составляют суммы этих произведений. Так, элементы первой строки матрицы А умножают на элементы первого столб­ ца Матрицы В и получают первый элемент матрицы D:

dH= albl + a2 bA+ аъЪг

Затем элементы первой строки матрицы А умножают последовательно на эле­ менты второго столбца матрицы В и получают следующий элемент матрицы D:

dX2 = ахЪ2 + а2 Ь5 + агЬ%

Покажем также, что в соответствии с теоремой 4 при взаимодействии про­ стой вертикальной оси симметрии второго порядка L2 с горизонтальной зер­ кальной плоскостью симметрии т возникает новый элемент симметрии: центр симметрии С:

Действительно, полученная в результате перемножения двух исходных мат­ риц новая матрица полностью соответствует аналогичному выражению для центра симметрии С.

С помощью матричного метода докажем, что при взаимодействии двух вза­ имно перпендикулярных вертикальных зеркальных плоскостей симметрии тх (100) и ту (010) (см. приложение 2) возникает простая вертикальная ось сим­ метрии второго порядка Ь2:

(матрица тх) (матрица ту) (матрица 12)

Приложение 2 оканчивается описанием операции отождествления (№ 40), которая занимает особое положение среди остальных симметрических преоб­ разований и поэтому требует специального пояснения. Дело в том, что при последовательном многократном применении одного и того же элемента сим­ метрии (например, простой поворотной оси симметрии) фигура и ее элементы (кристаллический многогранник со своими гранями и ребрами) возвращаются в исходное положение (например, после поворота на 360° вокруг оси симмет­ рии), которому как раз и соответствует операция отождествления. Так, двукрат­ ный поворот фигуры вокруг простой оси симметрии второго порядка L2 (эле­ ментарный угол равен 180°) соответствует полному повороту фигуры на 360° Следовательно, после перемножения двух соответствующих матриц 2 х (№ 2) (каждая из которых описывает поворот фигуры на 180° вокруг оси ОХ) должна появиться матрица операции отождествления ( № 40 ), что на самом деле имеет место:

между координатными осями. Но во всем остальном переход к операции отож­ дествления не отличается от предыдущих примеров: после трех поворотов на 120° грани и ребра кристаллического многогранника займут свои исходные положения, доказательством чего служит получение матрицы отождествления:

Обращение к операции отождествления целесообразно также и для предуп­ реждения ошибок в записи матриц направляющих косинусов других элементов симметрии, например матрицы горизонтальной зеркальной плоскости симмет­ рии mz (№ 33):

или центра симметрии (№ 1):

Следует отметить, что иногда число шагов (до получения матрицы отожде­ ствления) превышает предполагаемое количество. Например, для достижения этой матрицы в случае инверсионной оси симметрии 3 нужно сделать не три, а шесть операций перемножения исходных матриц.

7.3. Определение точечных групп (классов) симметрии низшей и средней категорий и их международная символика

32 точечные группы симметрии (ТГС) или 32 класса симметрии делятся по своей симметрии на три категории: низшую, среднюю и высшую. Низшая кате- гория включает в себя восемь ТГС, которые не содержат осей симметрии выс­ шего порядка (т.е. не содержат осей симметрии третьего, четвертого и шестого порядков). В среднюю категорию входят девятнадцать ТГС, содержащих по од­

ной оси симметрии высшего порядка (т.е. по одной оси симметрии третьего, четвертого или шестого порядков). И наконец, высшая категория объединяет пять классов симметрии, каждый из которых содержит несколько осей симмет­ рии высшего порядка.

Для следующей партии ТГС воспользуемся теоремой 3 о взаимодействии вертикальной оси симметрии Ьп с параллельной плоскостью симметрии, в со­ ответствии с которой в кристалле должно возникнуть п вертикальных плоско­ стей симметрии.

В результате взаимодействия вертикальной оси симметрии второго порядка 2 с вертикальной плоскостью симметрии (т) возникает сочетание элементов симметрии (или класс симметрии) L22P (рис. 7.8, а), которому соответствует международный символ 2 тт (его иногда представляют в виде mm2 или в со­ кращенной форме тт). Отметим, что угол между вертикальными плоскостями симметрии (90°) в данном случае составляет половину элементарного угла (для оси симметрии второго порядка — линии пересечения этих плоскостей сим­ метрии), что соответствует теореме 1.

При взаимодействии вертикальной простой оси симметрии третьего поряд­ ка 3 с вертикальной плоскостью симметрии (т) возникает точечная группа (класс) симметрии Зт с тремя вертикальными плоскостями симметрии, дву­ гранные углы между которыми (60°) составляют половину соответствующего элементарного угла, с формулой симметрии ЬгЪР(рш. 7.8, б).

Рис. 7.8. Стерешрафические проекции ТГС, образованных комбинациями вертикальных осей симметрии Ln с плоскостями симметрии, и проекции соответствующих граней: а — mm2 и проекции нормалей граней ромбической пирамиды; б — Зт и проекции нормалей граней дитригональной пирамиды; в — 4тт и проекции нормалей граней дитетрагональной пирамиды; г — бтт и проекции нормалей граней дигексагональной пирамиды

Аналогичным образом взаимодействие вертикальной простой оси симмет­ рии шестого порядка 6 с горизонтальной плоскостью симметрии (т) приводит к новому.классу симметрии 6 /т с формулой симметрии L6PC (рис. 7.9, в).

Полная сводка очередной партии точечных групп (классов) симметрии при­ водится в табл. 7.1 (№ 15—17).

Если при выводе двух предыдущих партий классов симметрии выбирали для анализа взаимодействия с вертикальными простыми осями симметрии либо вертикальные, либо горизонтальные плоскости симметрии, то в данной, очеред­ ной партии будем рассматривать взаимодействие этих осей симметрии одно­ временно и с вертикальными плоскостями симметрии, и с горизонтальными плоскостями симметрии. Так, добавляя к элементам симметрии класса mm2 с вертикальной осью симметрии второго порядка (2 ) и двумя вертикальными плоскостями симметрии (рис. 7.8, а) еще горизонтальную плоскость симметрии, получим новые линии пересечения двух вертикальных плоскостей симметрии с горизонтальной плоскостью симметрии. В соответствии с теоремой 1 эти ли­ нии пересечения плоскостей симметрии являются осями симметрии второго порядка. Таким образом, общее число осей симметрии второго порядка возрас­ тет до трех: к одной вертикальной добавились еще две горизонтальных оси симметрии второго порядка (рис. 7.10, а).

Помимо того, к перечисленным элементам симметрии в соответствии с тео­ ремой 4 добавится еще и центр симметрии: точка пересечения оси симметрии четного порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии. К тому же коли­ чество плоскостей симметрии здесь совпало с числом осей симметрии четного порядка. В результате получили класс симметрии ттт с соответствующей фор­ мулой симметрии ЗЬ2 ЗРС. Здесь запись международного символа известна в двух вариантах: полном (2 / ттт) и сокращенном (ттт).

Аналогичным образом получим в результате взаимодействия элементов сим­ метрии класса 4тт (рис. 7.8, в) с горизонтальной плоскостью симметрии (т) новый класс симметрии 4/ттт с четырьмя дополнительными горизонтальны­ ми осями симметрии второго порядка и центром симметрии С (рис. 7.10, б). Формула симметрии этого класса содержит перечисление всех без исключения элементов симметрии (в учебных символах: LfiL^PC).

Рис. 7.10. Стереографические проекции ТГС, образованных комбинациями осей симметрии Llk с вертикальными и горизонтальными плоскостями симметрии Р, и проекции нормалей соответствующих граней: а — ттт и проекции нормалей граней ромбической дипирамиды; 6 — 41ттт и проекции нормалей граней дитетрагональной дипирамиды; в — 6/ттт и проекции граней дигексагональной дипирамиды

Взаимодействие элементов симметрии класса бтт (рис. 7.8, г) с дополни­ тельной горизонтальной плоскостью симметрии приводит таким же образом к образованию нового класса симметрии 6 /ттт с шестью дополнительными горизонтальными осями симметрии второго порядка, центром симметрии С (рис. 7.10, в) и соответствующей формулой симметрии: Le6 L2 lPC.

Полная сводка данной партии классов симметрии, образованных в ре­ зультате взаимодействия вертикальных простых осей симметрии одновре­ менно с вертикальными и горизонтальными плоскостями симметрии, при­ водится в табл. 7.1 (№ 18—20).

Для вывода следующей партии точечных групп (классов) симметрии вос­ пользуемся результатами изучения взаимодействия вертикальных простых осей симметрии с горизонтальными осями симметрии второго порядка, которые были обобщены в теореме 5. Там было доказано, что при взаимодействии вертикаль­ ной оси симметрии Ln с горизонтальной L2 возникают дополнительные гори­ зонтальные оси симметрии второго порядка, общее число которых равно по­ рядку п вертикальной оси симметрии.

При взаимодействии вертикальной оси симметрии второго порядка 2 с го­ ризонтальной осью симметрии того же порядка возникает класс симметрии 222 с формулой симметрии 3Lv который содержит три взаимно перпендику-

Рис. 7.11. Стереографические проекции ТГС, образованных комбинациями вертикальных осей симметрии Ln с горизонтальными осями симметрии Lv и проекции нормалей соответствующих граней: а — 222 и проекции нормалей граней ромбического тетраэдра; 6 — 32 и проекции нормалей граней тригонального трапецоэдра; в — 422 и проекции нормалей граней тетраго­ нального трапецоэдра; г — 622 и проекции нормалей граней гексагонального трапецоэдра