Практическая кристаллография

Т а б л и ц а 10.1. Характеристики граней гексагонального кристалла

Теперь можно приступить к определению остальных координатных углов

из которого найдем искомый угол X, который равен другому искомому углу ц:

-2

Полученные значения координатных углов грани d2 в соответствии с отно­ шением направляющих косинусов (10.9) равны:

0,4781 0,4781 (-0,9562) (1,6330 • 0,2927) = 1 1 :2 :1 .

В заключение приводим сводные данные координатных углов нормалей гра­ ней гексагональной дипирамиды (табл. 10.2).

Та б л и ц а 10.2. Характеристики граней гексагональной дипирамнцы

10.6. Задача 6. Определить типичные символы ребер и зон гексагонального крис­ таллического многогранника и построить характерные стереографические проек­ ции зон

При работе с символами граней и ребер гексагональных кристаллов (и прежде всего при разнообразных преобразованиях этих символов) необходимо учиты­ вать условный характер четырехзначных символов. Так, если переход от трехос­ ной координатной системы к четырехосной (и обратно) при описании симво­ лов граней кристалла сводится к простой операции добавления (или устране­ ния) одного индекса без всякого изменения остальных индексов, то при опи­ сании символов ребер гексагональных кристаллов подобный переход требует пересчета всех без исключения индексов по специальным формулам.

В принципе, расчеты символов ребер гексагонального кристалла (рис. 10.3, а) по известным символам пересекающихся граней не отличаются от анало­ гичных расчетов для других кристаллов, но при этом не следует забывать, что применяемый при этом преобразовании инструмент перекрестного перемно­ жения соответствующих индексов работает только в трехосных системах коор­ динат. Следовательно, перед проведением подобных расчетов четырехосные сим­ волы граней и ребер необходимо перевести в соответствующие трехосные. По завершении расчетов символов граней или ребер (в трехосных символах) окон­ чательные результаты могут быть при необходимости переведены в четырехос­ ные символы.

Решение задачи начнем с определения символов вертикальных ребер крис­ талла. Для этой цели сравним символы вертикальных ребер на стыке граней р{ и 5, и на стыке граней р2и s2 Для этого сначала переведем четырехосные симво­ лы этих граней (hkit) (а именно в таком виде они представлены в предыдущей задаче) в соответствующие трехосные (hkl), для чего достаточно убрать третий индекс /:

Теперь для определения символов ребер можно приступить к операции пе­ рекрестного перемножения соответствующих индексов пересекающихся пар граней обеих гексагональных призм:

Таким образом, в обоих случаях получили для вертикальных ребер кристалла совершенно идентичные символы, что свидетельствует о правильности решения.

Для перевода полученных трехосных символов ребер [rnw] в четырехосные [г,гЛ г4] используем пересчетные формулы (4.21), в результате чего получим для вертикальных ребер символ [гуг2г/^ = ±[0001] (вместо г4 = 3 записали r4 = 1, что равносильно сокращению отношений индексов г,: г2: г3: г4 на общий множитель).

Далее определим символы горизонтальных ребер. Возьмем опять две пары

В рассматриваемом кристалле имеется несколько зон с горизонтальными осями зон. Так, зона, в которую входят грани p —d —m —d —p —dw—m2—d.—pr имеет горизонтальную ось ±[0ll0], причем проекции нормалей всех перечис­ ленных граней данной зоны располагаются на одном диаметре круга проекций. Аналогичные проекции граней, принадлежащих другим зонам кристалла с го­ ризонтальными осями зон, также располагаются на других диаметрах круга про­ екций.

При анализе огранки кристаллического многогранника (рис. 10.3, а) были выявлены две группы наклонных ребер, которые служат признаком объедине­ ния граней кристалла в соответствующие зоны. Так, на стереографической про­ екции нормалей граней кристалла (рис. 10.5) выделена с помощью дуги боль­ шого круга группа граней, которые принадлежат зоне с наклонной осью зоны [1013]: p - d - d - p - d l0- d n- p 6

На той же проекции объединены с помощью другой дуги большого крута стереографические проекции нормалей граней, входящих в зону с наклонной осью [Ш З] другого типа, которая включает в себя следующие грани: st—d — d —s —dw—dt—sv На той же проекции можно также указать другие зоны с на­ клонными осями обоих указанных типов.

10.7. Задача 7. С помощью символов граней гексагонального кристалла опреде­

лить величины углов между нормалями, а также величины соответствующих двугранных углов для действительных граней кристалла

Из примеров рассмотренных задач видно, что символы граней кристалла обладают исключительной информационной емкостью. Действительно, при своем ничтожном объеме (всего 3—4 печатных знака !) символ грани (hkl) не только позволяет с математической точностью описать пространственную ориенти­ ровку любой грани кристалла, но и дает возможность точно определить линии пересечения данной грани (hkl) кристалла с другими его гранями, позволяет определить параллельность грани кристалла (hkl) определенному кристалло­ графическому направлению [MVW] и принадлежность грани (hkl) соответствую­ щим зонам кристалла [MVW].

Более того, в соответствии с законом Браве по символу грани можно кос­ венным образом судить об относительной степени атомной заселенности той или иной грани кристалла: чем меньше абсолютные величины индексов грани, из которых состоит символ грани, тем плотнее данная грань заселена атомами, тем вероятнее ее образование при росте кристалла из материнской фазы и тем большее влияние данная атомная плоскость оказывает на свойства кристалла.

На примере этой задачи познакомимся с другими замечательными свой­ ствами символов граней кристалла: с их способностью производить измерение углов между нормалями граней кристалла, а также величин двугранных углов — тех самых двугранных углов, открытие постоянства которых Стенопом в 1669 г, положило начало науке о кристаллах — кристаллографии.

Как будет показано далее, величина угла между нормалями двух граней гек­

сагонального кристалла (рис. 10.3, а) однозначно определяется с помощью сле­ дующей формулы:

Для определения угла между нормалями граней гексагональной призмы рхи гексагональной дипирамиды dx используем непосредственно четырехзначные символы указанных граней (hkil) для подстановки индексов h, к, I в (10.12):

В результате определяем величину угла между нормалями указанных гра­ ней:

0 = arccos 0,95618 = 17,02387°

Следовательно, величина угла между гранями гексагональной призмы рхи гек­ сагональной дипирамиды dx составляет 162,97613°

Аналогично между нормалями граней гексагональной дипирамиды dx(2111)

ипинакоида /и, (0001) получим угол 0 = arccos 0,29277 = 72,97613°

Следовательно, величина угла между гранями гексагональной дипирамиды dxи пинакоида тх составляет 107,02387°

Между нормалями соседних граней гексагональной дипирамиды dx (2ll 1) и d2 (1121) получим угол

0 = arccos 0,54286 = 57,12165°

Следовательно, величина угла между соседними гранями гексагональной дипи­ рамиды dxи d2 составляет 122,87835°

Аналогичным образом можно точно установить величину углов между лю­ быми гранями гексагонального кристалла.

Кристалл имеет четыре оси симметрии третьего порядка, которые ориенти­ рованы в пространстве как объемные диагонали в кубе. Так, одна из таких осей симметрии третьего порядка проходит через противоположные стыки двух ше­ стерок граней: 1—2—6—10—9—5 — в передней верхней правой вершине куба и 13—14—20—24—23—19 — в задней нижней левой вершине куба. Эта ось сим­ метрии связывает друг с другом грани 1—6—9, 2—10—5, 3—18—16 и др.

Кристалл имеет также оси симметрии второго порядка, которые ориентиро­ ваны в пространстве как линии, соединяющие друг с другом середины проти­ воположных параллельных ребер куба. Например, одна из таких наклонных осей симметрии второго порядка проходит через середину ребра на стыке граней 1и 5 (а также через середину ребра на стыке граней 19 и 23) и соединяет друг с другом следующие пары граней, одинаковых по форме и равных по своим раз­ мерам: 1—5, 2—6, 4—9, 3—17и др.

Таким образом, получаем формулу симметрии 3L44Z.36T29/)C, что соответ­ ствует международному символу тЗт.

Указанных элементов симметрии вполне достаточно, чтобы связать друг с другом все без исключения 24 одинаковые по форме и равные по своим разме­ рам грани кристаллического многогранника и безошибочно сопоставить его с тетрагексаэдром (рис. 1.2, б).

Определив симметрию кристаллического многогранника и установив под­ линное наименование данного 24-гранника (тетрагексаэдра) перейдем к вы­ бору координатных осей и определению координатных углов нормалей и соот­ ветствующих символов граней кристалла. В качестве осей координат выберем три взаимно перпендикулярных оси симметрии четвертого порядка, а за начало координат — точку их пересечения, которая является центром симметрии. По рис. 10.6, а можно предположить, что вертикальная грань 9 тетрагексаэдра отсе­ кает на горизонтальной координатной оси OYотрезок ОВ, который примерно в два раза превосходит по своей длине аналогичный отрезок ОА, отсекаемый той же гранью на другой горизонтальной оси симметрии ОХ.

Подобная оценка не противоречит закону Браве, поскольку из всех возмож­ ных наклонных граней кристалла, которые отсекают на естественных коорди­ натных осях различной длины отрезки, наиболее вероятно присутствие граней типа (210} и {321}. Действительно, если с помощью метода отрезков определить наиболее вероятный символ грани 9:

ОА ' ОВ ’ ОС ~ 1'2 ' оо “ 2 1 ’

то наше предположение подтвердится: появление на кристалле граней типа {230}, {310}, {410} и других наклонных граней значительно менее вероятно по сравнению с вероятностью присутствия в огранке кристалла грани типа {210}.

Рассчитаем координатные углы нормали грани 9: (hkl) = (210) с помощью формулы (5.32) (учитывая / = 0):

\ = arccos 0,89443 = 26,565°;