Практическая кристаллография

Рис. 8.8. К выводу комплекса возможных граней гексагонального кристалла (на примере точечной группы симметрии Ът2)\ а — стереографическая проекция; б — сферический треугольник (2П0) - (0001) —(1120) для выбора позиции проекции пробной грани; в — проекции граней тригональной призмы {2110}; г — проекции граней тригональной призмы {1120}; д — проекции граней пинакоида {0001}; е — проекции граней гексагональной призмы {1010}; ж — проекции граней дитригональной призмы {3120}; з — проекции граней тригональной дипирамиды {2ТТ1};

и — проекции граней гексагональной дипирамиды {1011}; к — проекции граней дитригональной Дипирамиды {3121}

(0001), получим для очередной возможной грани символ (1011). После размно­ жения этой пробной грани соответствующими элементами симметрии полу­ чим новый кристаллический многогранник — гексагональную дипирамиду (рис. 8.8, и). Дальнейшее перемещение проекции пробной грани по этой биссек­ трисе в точку 7 (рис. 8.8, б) и затем в точку 8 приведет к двум другим гексаго­ нальным дипирамидам с символами {2021} и {1012} соответственно.

Взаключительной стадии перемещения по сферическому треугольнику про­ следуем от точки 2 на контуре круга проекций к противоположной вершине, лежащей в центре круга проекций, в точку 9, которая лежит где-то посередине указанного маршрута. Выбрав в этой точке пробную грань, получим для нее символ (3121), что будет соответствовать одному из двенадцати символов гра­ ней дитригональной дипирамиды (рис. 8.8, к).

Вкачестве примера зоны, образованной разными типами граней гексаго­ нального кристалла (рис. 8.9), приведена следующая последовательность наиме­ нований соответствующих граней и их символов:

2)дитригональная дипирамида —(2131);

3)тригональная дипирамида —(1121);

4)гексагональная дипирамида —(01Т1);

5)тригональная дипирамида —(1212);

6)гексагональная дипирамида —(1101);

7)тригональная дипирамида —(2111);

8)дитригональная дипирамида —(3121);

9)гексагональная призма —(ТОЮ).

Следует обратить внимание на четкое соблюдение правила суммирования индексов соседних граней для всей приведенной довольно длинной цепочки из девяти следующих друг за другом граней гексагонального кристалла.

В заключение приведем итоговую стереографическую проекцию комплекса возможных граней гексагональных кристаллов, в которой представлены грани со сравнительно высокими значениями индексов (рис. 8.10).

Выводы. Если Н. Стеной, несмотря на изменчивость форм естественной ог­ ранки кристаллических многогранников, сумел доказать, что углы (двугранные)

между соответствующими гранями определенного кристалла являются константами, то Р. Гаюи доказал, что причина этого постоянства заключается в зако­ номерном, периодическом внутреннем строении кри­ сталлических тел.

X. Вейсс, развивая учение Гаюи, не только разрабо­ тал положение о пространственной решетке — мате­ матической модели периодического внутреннего строе­ ния кристалла, — но и провел теоретическое исследо­ вание изменчивости форм естественной огранки кри­ сталлов, которое можно свести к следующему выводу:

грани кристалла, пересекающиеся по параллельнымребрам и образующие одну из зон кристалла, построены из одина­ ковых, параллельных друг другу атомных рядов.

1010

Рис. 8.10. Комплекс стереографических проекций возможных граней гексагональных кристаллов (при записи символов граней опущены круглые скобки)

Закон зон позволяет решить многие типичные задачи кристаллографии:

-определить совокупность возможных граней кристалла, которые парал­ лельны определенному кристаллографическому направлению и входят в соот­ ветствующую зону;

-определить символы граней кристалла методом суммирования индексов соседних граней, который позволяет значительно упростить работу по индицированию граней кристалла, а также служит прекрасным средством контроля полученных результатов;

-установить простую связь между символами граней и ребер кристалла,

позволяя с математической точностью определить символ линии пересечения двух граней кристалла, которая служит действительным или возможным реб­ ром данного кристалла.

-определить теоретически неограниченную совокупность возможных гра­ ней, свойственных кристаллу данной симметрии;

-самым существенным образом облегчить работу с кристаллами, особенно при построении сложных стереографических проекций.

Взаконе зон органично связаны друг с другом основополагающие пред-

ставления о симметрии и анизотропии кристаллов и сформулированы базовые положения о возможных и действительных гранях, а также о возможных и дей­ ствительных ребрах естественной огранки кристалла. На базе этих представле­ ний были построены комплексы возможных граней кристаллов в виде специ­ альных стереографических проекций (например, комплекс возможных граней кубических кристаллов или комплекс возможных граней гексагональных кри­ сталлов).

ГЛАВА 9. ПОСТРОЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

9.1. Задачи стандартных стереографических проекций

При решении ряда прикладных задач физики твердого тела, металловедения, физики прочности материалов, рентгенографии, технологии полупроводников приходится пользоваться различными стереографическими проекциями, ори­ ентировка которых отличается от направления [001]. (До настоящего момента пользовались в этом курсе кристаллографии именно такой, наиболее распрост­ раненной ориентировкой стереографической проекции, помещая стереографи­ ческую проекцию вертикального направления [001] или [0001] в центре круга проекций.)

В качестве типичного примера использования стереографической проекции для демонстрации анизотропии физических свойств кристалла рассмотрим ори­ ентационную зависимость предела прочности кристаллов поваренной соли NaCl (которая упоминалась в гл. 4, рис. 4.1) (рис. 9.1). Приведенная стереографическая проекция позволяет определить величину предела прочности указанных крис­ таллов для любого кристаллографического направления.

Эта проекция покрыта линиями, которые соединяют друг с другом те крис­ таллографические направления, которые характеризуются одинаковыми проч­ ностными свойствами данного кристалла начиная с минимальных значений прочности (4 МПа) вдоль координатных направлений <100>, которые совпада­ ют с осями симметрии Ь4, до ее максимальных значений (14 МПа) вдоль осей симметрии Ьъ <111>. Хотя линии равной прочности следуют друг за другом с интервалами в 100 МПа, любые промежуточные значения можно получить ме­ тодами линейной интерполяции, не говоря уже о том, что сами эти изолинии могут быть проведены на стереографической проекции гораздо чаще.

При этом следует отметить два обстоятельства. Во-первых, на приведенной стереографической проекции (рис. 9.1) показан полный круг проекций, в то время как для иллюстрации свойств высокосимметричных кристаллов, какими являются упомянутые кубические кристаллы (в том числе, класса симметрии тЗт), часто приводят лишь один его октант, поскольку именно в силу симмет­ рии остальные октанты ничем не отличаются друг от друга.

Рис. 9.1. Анизотропия предела прочности кристаллов NaCl (стереографическая проекция [001]) (цифры у изолиний — значения пределов прочности, МПа)

Второе обстоятельство имеет весьма существенное значение для характери­ стики исключительно высокой информационной способности самой стерео­ графической проекции. Действительно, по своей информационной емкости и высочайшей компактности стереографическая проекция значительно превос­ ходит другие безмашинные информационные методы. В этом смысле со сте­ реографической проекции как с информационным средством высокой емкос­ ти могут соперничать лишь математические модели алгебраического типа, при этом бесспорно уступая стереографическим методам в своей наглядности.

Возвращаясь к формулировке задачи о построении новых стереографичес­ ких проекций с различными пространственными ориентировками осей проек­ ции, которые отличаются от привычного полюса [001], отметим, что новые про­ екции, ничем не уступая старой [001], могут существенно превосходить ее по своему удобству, позволяя более наглядно продемонстрировать характерные особенности той или иной ориентационной зависимости некоторого физичес­ кого свойства.

9.2.Построение проекции с осью типа <100>

Впредыдущей главе были рассмотрены отдельные элементы вывода воз­ можных граней кубического кристалла на базе стереографической проекции с полюсом [001]. Необходимо подчеркнуть, что именно стереографические про­ екции с полюсом [001] получили самое широкое распространение как при описании анизотропии свойств кристаллов, так и при построении стереографи­ ческих проекций с иными полюсами.

Напомним, что при выводе возможных граней кубического кристалла (п. 8.9) проводился анализ возможных положений проекции пробной грани в одном, отдельно взятом сферическом треугольнике с известными вершинами-(ПО)— (010)—(111). Тогда мы прослеживали зависимость символа грани от положения проекции нормали грани в сферическом треугольнике и сумели дойти до грани общего положения (231), проекция которой занимала положение внутри этого треугольника.

Рассмотрев порядок формирования символов возможных граней, перейдем

кобщей схеме построения стандартных стереографических проекций, пригодной не только для кубической, но и для других ортогональных координатных сис­ тем. Конечно, подобная схема потребуется лишь в тех случаях, когда доступ к подходящей стандартной стереографической проекции затруднителен. В этих случаях рекомендуется следующее.

1.Нанести, пользуясь сеткой Вульфа, проекции координатных осей ±[100], ±[010], ±[001] и диагоналей граней куба <110> (или диагоналей граней тетраго­ нальной или ромбической призмы в случаях тетрагональных или ромбических кристаллов).

2.Обозначить стереографические проекции нормалей граней типа {100} и {110} в соответствии с поставленной задачей.

3.С помощью сетки Вульфа разбить круг стереографической проекции дуга­ ми больших кругов на сферические треугольники типа (100)—(ПО)—(111).

4.На границах сферических треугольников построить проекции возможных граней типа (210), (211) и (221).

5.Провести дуги больших кругов типа (100)—(012)—(100), (100)—(021)—(ТОО), а также (110)—(011)—(Т01)—(110) и (110)—(021)—(201)—(TT0).

6.Нанести проекции возможных граней кристалла в новых точках пересече­ ния больших кругов и определить их символы, проверив полученные результа­ ты с помощью метода суммирования индексов соседних граней.

7.Получив новые возможные грани, провести большие круги новых зон и проиндицировать проекции новых граней в новых точках пересечения боль­ ших кругов и т.д.

После обсуждения общих вопросов перейдем к непосредственному построе­ нию стереографической проекции с полюсом [100] (рис. 9.2).

Расставив проекции направлений ±[100], ±[010], ±[001] на концах верти­ кального и горизонтального диаметров круга проекций и в его центре и пост­ роив проекции диагональных сечений куба <110>, нанесем стереографические проекции нормалей граней типа {100} и {110}. Далее, пользуясь описанной ме­ тодикой, построим стереографические проекции новых возможных граней кри­

сталла, контролируя полученные результаты индицирования граней с помощью метода суммирования индексов, вплоть до достижения нужного ранга симво­ лов.

Для построения эквивалентного отражения пространственного положения грани кристалла с помощью соответствующей стереографической проекции обратимся к анализу соотношения между индексами грани (hkt) и ее направ­ ляющими косинусами.

Для кубических кристаллов задача определения координатных углов X, р, v по известному символу грани (hkt) решается с помощью уравнения (5.32). На­ пример, определим значения координатных углов нормали грани (hkt) = (124):

Обозначим cosX= x. Тогда cosp = 2x и cosv = Ax. Подставим эти значения в уравнение (5.32):

cos2X + cos2p + cos2v = x2 + 4x2 + 16x2 = 21x2 = 1.

Отсюда x = 0,2182. Углы: X = arccosx = arccos 0,2182 = 77,3956°; p = arccos2x = = arccos 0,4364 = 64,1233°; v = arccos4x = arccos 0,8729 =29,2059° Проверка no (5.32) дает положительный результат:

cos2X + cos2p + cos2v = 0,0476 + 0,1904 + 0,7619 = 0,9999 » 1.

Таким образом, с помощью метода направляющих косинусов смогли прове­ сти определение точного положения соответствующих проекций на круге про­ екций, по которому можно совершенно однозначно представить себе простран­ ственную ориентировку грани кристалла.

Аналогичные расчеты координатных углов X, р, v для тетрагональных и ром­ бических кристаллов отличаются от приведенного расчета для кубического кри­ сталла только учетом соотношения между осевыми единицами а0, Ь0, с0.

Для проверки полученных результатов индицирования возможных граней, а также для построения отдельных стереографических проекций приводим пере­ чень координатных углов X, р, v и соответствующие кристаллографические сим­ волы граней (hkt) кубических кристаллов (табл. 9.1).

Пользуясь приведенными значениями, можно определить углы X, р, v (в гра­ дусах) не только для указанных граней, но и для других граней данной простой формы с помощью простой перестановки индексов. Например, в первом окган-

Т а б л и ц а 9.1. Координатные углы (град.) для нормалей граней кубических кристаллов

100 00,00 90,00 90,00 310 18,43 71,57 90,00

110 45,00 45,00 90,00 314 53,96 78,69 38,33

111 54,74 54,74 54,74 320 33,69 56,31 90,00

112 65,91 65,91 35,26 324 56,15 68,20 42,03

113 72,45 72,45 25,24 331 46,51 46,51 76,74

114 76,37 76,37 19,47 332 50,24 50,24 64,76

210 26,56 63,44 90,00 334 59,04 59,04 46,69

213 57,69 74,50 36,70 410 14,04 75,96 90,00

214 64,12 77,40 29,21 430 36,87 53,13 90,00

221 48,20 48,20 70,53 441 45,87 45,87 79,98

223 60,98 60,98 43,31 443 51,34 51,34 62,06

Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла (рис. 9.2) состоит из сравнительно небольшого количества плотных «цепочек» проекций нормалей возможных граней, объединенных в соответ­ ствующие зоны дугами больших кругов. Наметим лишь некоторые из таких плотных дуг (по строчкам), указывая при этом лишь часть принадлежащих им проекций (на верхней полусфере) и соответствующий символ зоны:

(001)—(102)—(101)—(201)—(100)—(201)—(101)—(102)—(001) => зона ±[010]; (011)—(122)—(111)—(211)—(100)—(211)—(111)—(122)—(ОТТ) => зона ±[011]

(010)—(120)—(110)—(210)—(100)—(210)—(110)—(120)—(010) => зона ±[001]

(011)—(122)—(1II)—(211)—(100)—(211)—(111)—(122)—(Oil) => зона ±[011] (001)—(011)—(010)—(011)—(001)—(011)—(ОТО)—(ОМ)—(001) => зона ±[100]

(012) —(112)—(212)—(312)—(100)—(312)—(212)—(112)—(012) => зона ±[021] (021)—(121)—(221_)—(321)—(100)—(321)—(221)—(121)—(021) => зона ±[012] (021)—(121)—(221)—(321)—(100)—(321)—(221)—(121)—(021) => зона ±[012]: (012)—(112)—(212)—(312)—(100)—(312)—(212)—(112)—(012) => зона ±[021].

Можно также отметить ряд других цепочек, которые соответствуют иным зонам: (001)—(120)—(001); (001)—(1ТО)—(001); (001)—(2l0)—(00Т); (001)—(210)—(001); (001)—(110)—(001); (001)—(120)—(001); (011)—(111)—(01Т); (011)—(211)—(ОТТ); (011)—(2lT)—(Oil); (011)—(111)—(011);

(010)—(102)—(010); (ОТО)—(101)—(010); (OlO)—(201)—(010); (0l0)—(201)—(010);

(010)-(lO l)—(010); (OlO)—(102)—(010); (Oil)—(111)—(Oil); (Oil)—(211)—(011);

(011)—(2TI)—(Oil); (O ll)-(lTI)—(Oil) и др.

o o i

Рис. 9.2. Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла класса симметрии т Зт (полюс проекции [100])

9.3. Построение проекции с произвольной осью

Рассмотрим методику построения стереографической проекции с произволь­ ной осью проекции на основе имеющейся стереографической проекции с по­ люсом [001], с тем чтобы затем перейти к частным методам и построению не­ скольких других стандартных стереографических проекций.

Пусть для решения некоторой задачи требуется вывести в центр круга про­ екций некоторое направление [MVW] взамен привычного полюса [001].

Во-первых, определим пространственное положение некоторой оси поворо­ та [UVW\ всего комплекса направлений, всей стереографической проекции в целом, которая позволит перевести стереографическую проекцию некоторого кристаллографического направления [иуи>] из периферии в центр круга новой стереографической проекции. С этой целью воспользуемся правилом перекре­ стного перемножения индексов исходной оси проекции [001] и конечной оси проекции [MVW]:

В результате определился символ горизонтальной оси поворота всей стерео­ графической проекции в целом и направления [uvw] будущей оси проекции в частности: \UVW\ = ±[v«0].

Вслед за определением символа оси поворота \UVW\ вычисляем величину соответствующего угла поворота 0 стереографической проекции вокруг этой оси, пользуясь формулой для определения угла 0 между направлениями [w^w,] и [u2v2w2] в кубическом кристалле:

где

А * yjuf +v? + w,2;

+ V2 + Wl

Опробуем полученные расчетные формулы на нескольких примерах.

Если осью стереографической проекции нужно сделать ось симметрии третьего порядка [111], то всю проекцию вместе с указанной осью симметрии следует повернуть вокруг горизонтальной оси симметрии второго порядка

Если осью стереографической проекции нужно сделать горизонтальную ось симметрии второго порядка [110], то всю проекцию вместе с указанной осью симметрии следует повернуть вокруг другой горизонтальной оси симметрии второго порядка [UVW\ = ±[ll0] на угол 0 = arccos 0 = 90° (оси поворота в обоих приведенных примерах совпадают).