Практическая кристаллография

Рис. 5.8. Символы плоскостей и их нормалей в кубе

(5.32), из которых первая относится к определению символа направления в кристалле, а вторая — к определению символа атомной плоскости.

Если правые части этих уравений совпадают (и формально, и численно), то индексы атомной плоскости А, к, I должны совпадать с соответствующими ин­ дексами и, v, w направления в кристалле. Геометрически это совпадение означа­ ет условие параллельности направления [HVW] в кубическом кристалле и нор­ мали одноименной атомной плоскости {hkt). Именно этому условию парал­ лельности [uvw\ и (hkt) соответствует равенство направляющих косинусов на­ правления [MVW] и одноименной атомной плоскости {hkt).

Завершим анализ причин сопоставления уравнений (4.9) и (5.32) несколь­ кими примерами численного соответствия символов атомных плоскостей и их нормалей в кубических кристаллах (рис. 5.8).

5.14. Особенности индицирования гексагональных кристаллов

Как отмечалось в гл. 4, использование обычной декартовой трехосной коор­ динатной системы для описания гексагональных кристаллов вызывает опреде­ ленные трудности из-за несоответствия симметрии подобной координатной системы и симметрии кристалла. Действительно, в трехосной координатной системе символы граней гексагональной призмы, связанных простой верти­ кальной осью симметрии шестого порядка, получают разнотипные символы. Лишь при добавлении искусственной координатной оси OU, которая совмест­ но с осями ОХ и ОУлежит в горизонтальной плоскости и образует с ними углы по 120°, удается получить однотипные (четырехосные) символы для направле­ ний в гексагональном кристалле, связанных элементами симметрии. В этих слу­ чаях переходы от трехзначных символов к четырехзначным и обратно описы­ вали с помощью системных формул (4.22) и (4.23).

При описании граней и атомных плоскостей гексагональных кристаллов переход от трехосной координатной системы к четырехосной И обратно про-

которые имеют общий след пересечения с горизонтальной плоскостью основа­ ния призмы, следует учитывать особенность их символов: первые три индекса (А, к, /) таких плоскостей совпадают (рис. 5.10).

Строго говоря, переход к четырехосной системе необходим лишь тогда, когда требуется определить сходство атомного строения граней или атомных плоско­ стей, связанных элементами симметрии, чтобы отличить эти грани от других, которые элементами симметрии не связаны. Другими словами, из сходства сим­ волов граней делают вывод об идентичности их атомного строения. Но когда нужно воспользоваться, например, методом перекрестного умножения индек­ сов граней (для нахождения трехосных символов направления в гексагональ­ ном кристалле), то, конечно, нужно применять трехосные индексы (hkl).

Добавление четвертой координатной оси не является лишним для исполь­ зования традиционных способов описания граней и атомных плоскостей гек­ сагональных кристаллов. Так, при определении отношения индексов плоскости по методу Миллера к обычному соотношению (5.22) добавляют еще одно, чет­ вертое отношение (по числу формальных координатных осей):

где ОА, ОВ, ОЕ, ОС — отрезки, которые отсекает данная грань гексагонального кристалла на осях координат OX, OY, OU, OZсоответственно. То же самое соот­ ношение представляют также в несколько ином виде:

Аналогичным образом поступают и в случае определения индексов грани гексагонального кристалла по методу направляющих косинусов, добавляя еще один член к стандартному соотношению (5.33):

Q

h к i I —cosX cos ц cose:—cosv (5.45) ao

В качестве примера индицирования граней гексагонального кристалла на рис. 5.10 приведены сопоставления символов вертикальных и наклонных атом­ ных плоскостей гексагонального кристалла, которые имеют одинаковые следы пересечения с плоскостью нижнего основания. Видно, что переход от верти­ кального положения к наклонному отражается только на изменении последне­ го индекса /, так как первые три индекса определяются только величинами отрезков, отсекаемых гранями на горизонтальных осях координат, а поскольку в обоих приведенных случаях три грани имеют одинаковые следы, их соответ­ ствующие индексы остаются постоянными.

При решении определенного класса задач кристаллографии возникает не­ обходимость определения угла яр между нормалью атомной плоскости (Ш) и атомным рядом ±[uvw] (или между нормалью грани и ребром кристалла).

Угол яр между нормалью атомной плоскости (hkl) и кристаллографическим направлением [uvw] определяется выражением:

- для кристаллов кубической сингонии

•Jh2+k2+l2Ju2+v2 + w2 ’

- для кристаллов тетрагональной сингонии (с учетом отношения осевых единиц а0 и с0)

Выводы. Символы атомных плоскостей обладают такими же замечательны­ ми свойствами, как и символы кристаллографических направлений. При своей феноменальной компактности и простоте они характеризуются исключитель­ ной информативностью.

Символы атомных плоскостей позволяют не только определять с математи­ ческой точностью их пространственную ориентировку, но также отличать плотно заселенные атомные плоскости от малозаселенных, определять двугранные углы между атомными плоскостями, выделять атомные плоскости, которые связаны друг с другом элементами симметрии и обладают одинаковыми атомными ри­ сунками и одинаковыми свойствами.

Символ атомной плоскости (hkt) определяют либо по методу индексов Мил­ лера (5.18), либо по методу отрезков (5.19), либо по символам ее атомных рядов (5.25), либо по известному символу другой атомной плоскости (5.30), либо по направляющим косинусам нормали атомной плоскости (5.31) и (5.35), либо по координатам трех точек (5.37). Учитываются особенности определения симво­ лов атомных плоскостей кубических (5.32) и гексагональных кристаллов (5.43)

и(5.44). Производится определение символа ребра кристалла по символам смеж­ ных граней (5.41).

Учитывая особое значение метода индексов Миллера для описания граней кристаллов и соответствующих атомных плоскостей приведем примерный ал­ горитм для практической работы с кристаллами или их моделями.

1.Произвести установку кристалла, которая включает в себя выбор коорди­ натных осей и единичной грани кристалла.

2.Индицируемую грань кристалла мысленно продолжить (если в этом воз­ никает необходимость) до пересечения с выявленными координатными осями

иоценить величины отрезков, отсекаемых этой гранью на осях координат.

3.Аналогичную работу провести с единичной гранью кристалла.

4.Найти параметры (р, q, г) определяемой грани кристалла с помощью отно­ шений отрезков, отсекаемых этой и единичной гранями кристалла на соответ­ ствующих координатных осях а0

5.Определить примерные значения индексов (h, к, I) определяемой грани кристаллов как обратных величин соответствующих параметров (р, q, г).

6.Составить отношения индексов и провести их округление, учитывая при этом округлении возможные неточности при определении отрезков, отсекае­ мых на координатных осях как определяемой гранью, так и гранью кристалла, принятой за единичную.

7.Удовлетворительным результатом определения символа рабочей грани кри­ сталла является получение тройки целых, взаимно простых и небольших чисел, заключенных в круглые скобки.

Детальному ознакомлению читателя с разнообразными методами описания атомных плоскостей в кристалле в значительной степени способствует не только детальный анализ каждого из методов в отдельности и их сравнение, но и мно­ жество приводимых практических примеров.

Двугранные углы между атомными плоскостями определяют по формулам (5.45), или (5.46), или (5.47), или (5.48) (в зависимости от сингонии кристалла).

Угол между атомной плоскостью и атомным рядом определяют по форму­ лам (5.49), или (5.50), или (5.52), или (5.53) (в зависимости от сингонии крис­ талла).

ГЛАВА 6. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗДДАЧ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ (СТЕРЕОГРАММЫ). КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СЕТКА Г.В.ВУЛЬФА

6.1. Многообразие специфических задач кристаллографии

Впервые на особенности пространственной ориентировки различных гра­ ней природных кристаллов как на важнейший классификационный признак обратил внимание во второй половине XVII в. датский ученый Нильс Стеной, который сформулировал первый закон кристаллографии — закон постоянства двугранных углов кристаллов (см. гл. 2). Ему удалось отделить влияние разнооб­ разных случайных, в большинстве своем внешних факторов, вызывающих чрез­ вычайную изменчивость форм естественной огранки кристаллов, от влияния внутренних факторов, которые определяют природу и строение самого крис­ талла и его огранку. Стеной сумел преодолеть историческую традицию подхода к кристаллам и доказал, что их строение подчиняется определенным правилам, открыв тем самым первую главу новой науки — кристаллографии. Таким обра­ зом, кристаллография зародилась как наука об описании кристаллов, и важней­ шими ее направлениями стали методы описания взаимного пространственно­ го расположения элементов естественной огранки кристаллов: их граней, ребер, углов между гранями, углов между ребрами.

В предшествующих главах рассмотрены многочисленные методы описания граней и ребер кристаллов, включая методы их определения с помощью специ­ альных кристаллографических символов, которые позволили описывать про­ странственную ориентировку граней и ребер с математической точностью и с такой же предельной точностью определять углы между ними. В этой связи упоминалось также о замечательном труде одного из основоположников со­ временной кристаллографии Е.С.Федорова — создателя книги «Царство крис­ таллов», содержащей описание почти девяти тысяч (!) кристаллов. По этим угловым характеристикам геологи и минералоги определяют химический со­ став кристаллов по их внешнему виду непосредственно в полевых условиях.

Однако для всестороннего описания такого сложного, специфического объекта, как кристалл со множеством его граней, каждая из которых характеризуется своей особой пространственной ориентировкой, перечисленных методов недо­ статочно. Действительно, даже самые точные измерения углов между соседни­ ми гранями кристалла и его ребрами не дают достаточного представления о полной совокупности всех многочисленных граней и ребер кристалла, об их взаимном пространственном расположении. Возможности графического изоб­ ражения кристаллов с помощью их эскизов хотя и дают наглядное представле­ ние о внешнем облике кристалла, но такое изображение носит поверхностный характер: оно не отражает одной из самых важных характеристик кристалла — всего многообразия угловых характеристик между различными гранями крис­ талла.

Для решения задачи документального описания естественной огранки при­ родных кристаллов кристаллографы воспользовались опытом старейшей науки о Земле — географии, где давно уже была решена проблема замены объемной модели земной поверхности — глобуса — более удобной ее моделью: плоскими географическими картами, без которых сегодня не может обойтись ни один человек ни на Земле, ни даже в космосе. Более того, опыт географии предоста­ вил в распоряжение кристаллографов широкие возможности для выбора конк­ ретной методики построения «географических карт» кристаллов. В результате наибольшее распространение в кристаллографии получила стереографическая проекция.

6.2. Сущность метода стереографической проекции

Направление ОА в кристалле методом параллельного переноса совмещают с центром сферы О (рис. 6.1, а). Точку А пересечения направления ОА со сферой называют сферической проекцией (СФП) направления ОА, а саму сферу называ­ ют сферой проекций. На сфере проекций отметим: две особые точки N и S — северный и южный полюсы соответственно; полярную ось NOS; экватор BDE, который делит сферу проекций на верхнюю (или северную) и нижнюю (или южную) полусферы. Экваториальное (горизонтальное) сечение сферы BDEO служит плоскостью стереографической проекции (СП) (стереографическая — по-гречески gtepeog — пространственная).

Для построения стереографической проекции направления ОА проводят луч зрения SA из противоположного (южного) полюса S сферы проекций (точка А находится в северном полушарии) в точку А, где находится сферическая проек­ ция направления ОА. Точка пересечения а луча зрения SA с горизонтальной плоскостью стереографической проекции BDEO называется стереографической проекцией направления ОА.

Круг стереографической проекции обычно показывают на самостоятельном рисунке (отдельно от рисунка сферической проекции или вообще вместо него) вместе со всеми точками, которые принадлежат этой плоскости (рис. 6.1, б). Круг

Рис. 6.1. Схемы построения проекций направления в кристалле (а); круг стереографических проекций (стереограмм) (б); сферическая и соответствующая стереографическая проекции грани (в)

граней куба сливаются в одну линию, что, впрочем, не противоречит принципу построения стереографической проекции.

Во-вторых, грань кристалла или его атомную плоскость можно заменить соответствующей нормалью и вместо построения стереографической проек­ ции плоскости строить стереографическую проекцию ее нормали точно таким же образом, каким ранее строили стереографическую проекцию направления ОА в кристалле (см. рис. 6.1, а). В данном случае стереографические проекции нормалей вертикальных граней кристалла будут располагаться на контуре кру­ га проекций, проекции нормалей горизонтальных граней — в центре круга про­ екций (рис. 6.2, в), а проекции наклонных граней — между контуром и центром круга проекций. Стереографические проекции нормалей граней кристалла или его атомных плоскостей называют также гномостереографическими проекциями.

Различие между стереографическими проекциями направлений в кристалле и гномостереографическими проекциями его граней сводится лишь к соответ­ ствующим обозначениям этих проекций: проекции направлений обозначаются символом в квадратных скобках [MVW], проекции нормалей граней и плоскостей

— символом в круглых скобках (hkl). Например, гномостереографические проек­ ции граней куба (рис. 6.2, в) именно своими символами отличаются от стерео­ графических проекций координатных направлений (рис. 6.2, г), которые парал­ лельны ребрам куба, а во всем остальном эти проекции совпадают.

6.3.Построение стереографической проекции направления

спомощью кристаллографической сетки Г.В. Вульфа

Рассмотрев принципы построения стереографической проекции, позволяю­ щей заменить объемные изображения пространственных объектов их плоски­ ми эквивалентами, перейдем непосредственно к измерению углов между крис­ таллографическими направлениями по их стереографическим проекциям, а также к определению углов между направлениями в кристалле и осями координат ОХ, OY, OZ, которые необходимы не только для определения пространственной ори­ ентировки соответствующих направлений в кристалле, но и для определения символов атомных рядов и атомных плоскостей.

Для определения пространственной ориентировки направления в кристалле

ОА используют специальную полярную систему координат, которая включает в себя два угловых параметра: полярное расстояние р и долготу ср.

Полярным расстоянием р называют центральный угол LNOA между поляр­ ной осью NOS и направлением в кристалле ОА, при этом угол р отсчитывают от северного полюса N (рис. 6.1, а). Этот центральный угол LNOA стягивается дугой NA. Полярное расстояние может принимать значения от 0°до180° Так, для вертикального направления ON угол р составляет 0°, для любого из горизон­ тальных направлений (например, OB, OD или ОЕ) полярное расстояние р со­ ставляет 90°, для вертикального направления OS значение р = 180°, для наклон­ ного направления ОА величина полярного расстояния р = LNOA составляет приблизительно около пятидесяти угловых градусов.

Долготой ф называют центральный угол L.BOD между начальным меридиа­