Практическая кристаллография

Рис. 8.4. К построению комплекса проекций нормалей возможных граней кубического кристал­ ла: а — грани куба {100} в трех зонах <001>; б — грани ромбододекаэдра {110} на биссектрисах углов между осями координат <001>; в — грани октаэдра {111} на стыках шести сферических треугольников; г — грани общего положения {123} (внутри сферических треугольников {100}—

{110}— { 111})

Далее обратимся к стыкам шести сферических треугольников, расположен­ ных в центре каждого из восьми октантов (рис. 8.4, в). По правилу суммирова­ ния определим символы соответствующих возможных граней кубического кри­ сталла {111}.

Теперь, когда не осталось больше свободных стыков сферических треуголь­ ников, можно перейти к заселению проекциями возможных граней середин сторон сферических треугольников (рис. 8.4, г), которым соответствуют грани с символами {210} (на диаметрах и контуре круга проекций), а также грани с символами {112} и {122} (на серединах сторон сферических треугольников, рас­ положенных внутри каждого октанта).

Чтобы подтвердить удобство определения символов граней кристалла с по­ мощью рассматриваемого правила сложения индексов соседних граней, перей­ дем к определению символов граней общего положения, проекции которых

располагаются не на контуре круга проекций и не на его диаметрах, не на границах сферических треугольников, а занимают положения внутри этих тре­ угольников.

Примером подобной грани общего положения может служить упоминавша­ яся выше грань (231), проекция которой располагается внутри сферического треугольника (ПО)—(010)—(111). Ранее уже приводился символ грани (231) как результат суммирования соответствующих индексов соседних граней (ПО) и (121), принадлежащих одной и той зоне. Такой же результат получим, сумми­ руя соответствующие индексы других пар граней, проекции которых располо­ жены по границам того же сферического треугольника: (111) и (120), а также (010) и (221). Заметим, что проекция одной грани, входящей в каждую из пере­ численных пар, занимает положение в вершине данного сферического треу­ гольника, а другая — в центре противолежащей стороны того же сферического треугольника.

Такой же алгоритм срабатывает при определении символов граней общего положения и во всех других сферических треугольниках. Кроме того, определить ориентировочный символ грани общего положения можно, суммируя соответ­ ствующие индексы граней, проекции которых располагаются в вершинах сфе­ рического треугольника, что схематически указывается следующим образом:

Отметим, что рассмотренный метод суммирования индексов на практике позволяет быстро получить лишь ориентировочный результат индицирования граней кристалла, являясь, по существу, удобным графическим, приближенным методом. Так, определяя символ грани общего положения в последнем примере, можно достоверно определить соотношение между индексами — выстроить индексы в порядке их старшинства. Но отличить одну грань общего положения (Л # к * I * 0) от другой грани общего положения (например, грань (231) от другой грани с похожим соотношением индексов (342) или (341)) рассматри­ ваемый метод суммирования индексов, конечно, не позволяет.

В заключение отметим, что рассматриваемый метод суммирования индексов можно представить в более общем виде. Если каждое из уравнений (8.3) умно­ жить на определенные множители (т и п)

и затем их суммировать, то получим общую формулировку данного метода:

Таким образом, в соответствии с методом суммирования для решения по­ ставленной задачи можно использовать любую линейную комбинацию индек­ сов, что намного расширяет возможности рассматриваемого метода.

в одну и ту же зону могут входить не только грани, связанные друг с другом какими-либо элементами симметрии, но и совершенно не похожие друг на друга грани одного и того же кристалла. В этой связи можно поставить следую­ щий вопрос: так что же, по существу, объединяет различные по своим размерам и форме (а также по своим свойствам) грани в одну зону? Что же общего могут иметь такие разные смежные грани друг с другом? Или же это объединение носит чисто формальный характер?

Естественный ответ на эти вопросы: эти смежные, непохожие друг на друга грани имеют общее ребро. Но по существу такой ответ является формальным и не отвечает на поставленные вопросы. К сущности вопроса перейдем, напом­ нив, что каждое ребро кристалла представляет собой атомный ряд. Следователь­ но, каждая из смежных граней кристалла построена из таких же атомных рядов, каким является общее ребро пересечения смежных граней. Из решеточного периодического внутреннего строения кристалла вытекает, что каждую грань кристалла можно представить как совокупность одинаковых параллельных атом­ ных рядов, повторяющихся (вследствие симметрии кристалла) друг за другом через строго одинаковые расстояния. Таким образом, разные по своей геомет­ рии смежные грани одного кристалла, принадлежащие одной зоне, выполнены из совершенно идентичных параллельных атомных рядов, что полностью соот­ ветствует глубокому содержанию закона зон Вейсса.

Однако приведенную формулировку, несмотря на указанное соответствие закону зон, нельзя считать исчерпывающей. Действительно, если смежные гра­ ни кристалла построены из совершенно идентичных атомных рядов, то откуда же берется такое существенное различие между этими гранями (и по форме, и по размерам, и по свойствам)? Достаточно вспомнить существенные отличия по ретикулярной плотности атомных плоскостей a -железа: р100 р110 р1П = = 1,00 :1,41: 0,82, которые могут образовывать друг с другом различные комби­ нации простых форм, или аналогичные различия ретикулярных плоскостей в кристаллической структуре меди, приведенные в гл. 2: р100 р110 р1П = = 2,00 1,41 3,27.

Очевидно, причину указанных различий смежных граней следует искать в атомном строении этих граней. Хотя эти грани построены для каждого крис­ талла из одинаковых атомных рядов, атомные сетки этих граней существенно различаются: для граней (100) — квадратные атомные сетки, а для (110) они составлены вытянутыми прямоугольниками, в то время как атомные сетки гра­ ней (111) построены из равносторонних атомных треугольников. Смежные грани комбинаций из разных простых форм, составленные из одинаковых атомных рядов, разнятся либо по расстоянию между атомными рядами, либо по атомно­ му рисунку граней, либо сразу по двум этим признакам.

Разобравшись с особенностями атомной структуры смежных атомных плос­ костей, перейдем еще к одной существенной особенности рассматриваемого закона зон, а именно к той его части, где говорится, что каждая грань кристалла принадлежит, по крайней мере, двум зонам кристалла или в общем случае — нескольким зонам одновременно.

Действительно, в этой формулировке нет ничего особенного, поскольку каж­ дая грань Кристалла представляет собой замкнутый многоугольник, ограничен­

ный либо тремя ребрами, либо нескольким парами параллельных ребер, либо их сочетаниями. В атомной сетке каждой из граней можно выделить не одну сис­ тему параллельных атомных рядов, а практически большое множество систем подобных атомных рядов, ориентированных по различным направлениям. Тео­ ретически каждая из таких систем параллельных атомных рядов может по­ крыть собой грань кристалла.

Даже если обратиться к закону Браве и выбрать из бесчисленного множе­ ства возможных атомных рядов несколько наиболее плотных атомных рядов, то в их числе окажется не один подобный атомный ряд, который может послужить действительным ребром кристалла. Таким образом, многие атомные ряды (с различной ориентировкой и не связанные друг с другом элементами симмет­ рии) могут выполнять роль действительных ребер кристалла, что полностью соответствует закону зон и служит наглядной иллюстрацией анизотропии кри­ сталлического вещества.

Весьма показательно, что именно в законе зон Вейсса объединились сим­ метрия и анизотропия — важнейшие характеристики атомного строения крис­ таллов: симметрия, которая описывает параллельное расположение идентич­ ных атомных рядов в кристалле, и анизотропия, которая описывает различие между непараллельными (и притом несимметричными) атомными рядами.

Таким образом, показано, что в полном соответствии с содержанием закона зон Вейсса зона объединяет грани (или атомные плоскости) кристалла, построен­ ные из идентичных, параллельных друг другу атомных рядов. Наличие на кристал­ ле нескольких различных по своему строению зон служит иллюстрацией ани­ зотропии кристаллического вещества.

8.8. Алгоритм вывода возможных граней кристалла

Процедура вывода возможных граней кристалла на основе закона зон Вейс­ са не отличается какой-либо сложностью. Схема такого вывода представлена на рис. 8.5. Здесь признаком объединения граней кристалла в соответствующую зону служит дуга большого круга, которая объединяет проекции нормалей со­ ответствующих граней кристалла. Точки пересечения каждой пары таких дуг являются проекциями новых возможных граней кристалла.

Появление новых граней, в свою очередь, приводит к возможности построе­ ния новых зон и, следовательно, к построению новых дуг больших кругов и появлению новых точек пересечения этих больших кругов как между собой, так и со старыми большими кругами и т. д. Итак, переходим к более подробному описанию алгоритма вывода возможных граней кристалла.

1.Выбираем на кристалле грани (не менее двух), которые образуют некото­ рую зону кристалла.

2.Определяем их кристаллографические символы (А,^,/,) и (h2k2l2) (см. гл. 5).

3.Строим стереографические проекции их нормалей (см. гл. 6).

4.С помощью кристаллографической сетки Вульфа проводим дугу большого круга через проекции граней (Л^,/,) и (h2k2l2).

5.Пользуясь правилом перекрестного перемножения индексов граней, опре­ деляем символ данной оси зоны [w^w,].

6.Аналогичные действия (по пп. 1—5) производим для других зон кристалла

всоответствии с реальной огранкой кристалла.

7.Выявляем новые точки пересечения больших кругов, объединяющих про­ екции действительных граней кристалла.

8.Для каждой такой точки пересечения больших кругов, являющейся проек­ цией возможной грани кристалла, определяем ее кристаллографический сим­ вол путем перекрестного перемножения индексов соответствующих зон крис­ талла.

9.Построив таким образом проекции новых (возможных) граней, переходим

кпостроению новых зон: новых больших кругов, которые могут объединять друг с другом как новые грани, так и новые со старыми и т. д.

Несмотря на кажущуюся внешнюю громоздкость приведенного алгоритма определения возможных граней кристалла, его структура весьма проста и со­ стоит из повторяющихся и несложных операций: построение больших кругов, определение символов зон и символов новых и новых возможных граней кри­ сталла.

При описанном построении проекций возможных граней кристалла не сле­ дует забывать про вторую полусферу, потому что большие круги имеют две точки пересечения (с экватором сферы проекций). Поэтому, выполнив выше­ описанные операции на одной полусфере (обычно — на верхней), нужно пе­ рейти к другой полусфере.

8.9.Построение комплекса возможных граней кристаллов кубической сингонии

Всоответствии с законом зон Вейсса вывод возможных граней кубических кристаллов начнем с исходных граней октаэдра {111} (рис. 8.6, а). В соответ­ ствии с приведенным алгоритмом (п. 8.8) приступим сразу к построению зон.

Из восьми граней октаэдра можно построить шесть зон, каждой из которых соответствует дуга большого круга, обозначенная цифрой на рис. 8.6, а. Для яс­ ности перечислим символы граней, входящих в каждую из этих зон, и символы самих зон, определенные в соответствии с пп. 5 алгоритма:

Анализ полученной стереографической проекции указывает на появление трех пар точек пересечения: по две точки пересечения на каждую пару зон (пересечение зон: 1 и 3, 2 и 5, 4 и 6). Положения этих точек пересечения указан-

Рис. 8.6. Последовательное построение комплекса возможных граней кубического кристалла: а — зоны в октаэдре {111}; 6 — проекции возможных граней куба {100}; в — зоны, образованные гранями ромбододекаэдра {110}; г — проекции возможных граней тетрагонтриоктаэдра {112}

ных пар зон легко узнаваемы: они располагаются на концах горизонтального и вертикального диаметров круга проекций и в его центре и соответствуют про­ екциям нормалей граней куба. Эти проекции и соответствующие символы воз­ можных граней показаны на рис. 8.6, б.

Появление новых граней сопровождается возникновением трех новых зон, каждая из которых объединяет по четыре грани куба:

В свою очередь, большие круги новых зон (7, 8, 9) дают множество новых точек пересечения с большими кругами старых зон (1—6), которые вынесены на рис. 8.6, в и каждая из которых представляет собой стереографическую про­ екцию нормали очередной возможной грани кристалла. Определение символов новых граней приводится в следующем перечне, где в начале каждого столбца даются номера и символы «старых» зон, а в начале каждой строки — номера и

символы «новых» зон, при этом символ каждой «новой» грани можно найти на пересечении соответствующих столбцов и строк:

Например, в точках пересечения больших кругов «старой» зоны (I) и новой зоны (7) располагаются стереографические проекции возможных граней (110) и (110). Заметим, что символы новых граней можно проверить с помощью мето­ да суммирования соответствующих индексов граней, относящихся к одной зоне. Так, символ грани (110) можно получить суммированием индексов соседних граней (100) и (010), входящих в ту же зону ±[001] (7). Отметим, что в приведен­ ном перечне отражены только новые грани. Очевидно, что приведенная сово­ купность двенадцати граней с однотипными индексами соответствует ромбо­ додекаэдру (см. рис. 1.2, в).

Для получения новых граней построим новые зоны: на рис. 8.6, г проведены дуги четырех больших кругов — четырех очередных новых зон и отмечены точки пересечения новых дуг со старыми. Таких новых точек оказывается по двенадцать на каждой из полусфер — двенадцать на верхней и столько же на нижней полусфере.

Чтобы ускорить процесс определения символов граней нового поколения, можно опять прибегнуть к суммированию индексов соседних граней — методу, который не раз использовался. Например, определим символ новой грани, про­ екция которой (в первом октанте) находится на пересечении новой зоны 10 со старой зоной 4, путем суммирования индексов соседних по дуге 10 граней (110) и (101), что даст для новой грани символ (211). Для другой грани — на пересе­ чении дуг 11 и 5 — получим символ (121) (суммируя индексы соседних по дуге 11 граней (110) и (011)), а для грани на пересечении дуг 12 и 1 получим символ (112) (как сумму индексов соседних по дуге 12 граней (101) и (011)).

К совершенно аналогичным результатам можно прийти, если суммировать индексы других ближайших соседних граней, например получить символ грани (112), сложив соответствующие индексы соседних по дуге 1 граней (001) и (111), или получить символ грани (211), суммируя индексы ближайших сосед­ них по дуге 4 граней (100) и (111).

Итак, продолжая процесс «селекции» новых (возможных) граней кубичес­ кого кристалла, получили уже четвертое поколение граней (начиная от граней

100

Рис. 8.7. Комплекс стереографических проекций возможных граней кубических кристаллов на примере точечной группы симметрии тЗ#я (при записи символов граней опущены круглые скобки)

октаэдра {111} — первое поколение, граней куба {100}— второе поколение, гра­ ней ромбододекаэдра {110} — третье поколение) тетрагонтриоктаэдра {211}.

По-видимому, описанный характер процесса селекции возможных граней кубических кристаллов (на примере класса симметрии тЗт) теоретически не имеет предела, хотя генерация «поколений» выглядит довольно прозрачно: ме­ ханизм появления каждого нового поколения возможных граней кубического кристалла, по существу, предельно прост: от новых граней — к новым зонам, от новых зон — к новым граням следующего поколения и т.д.

В заключение приведем итоговый рис. 8.7, где процесс вывода возможных граней прослежен до получения граней общего положения {321}.

8.10. Построение комплекса возможных граней кристаллов гексагональной сингонии

После детально рассмотренного построения комплекса возможных граней кубического кристалла перейдем к аналогичному процессу построения комп­

лекса граней гексагонального кристалла. Однако, убедившись в возможности упростить этот процесс с помощью метода суммирования индексов, который можно рассматривать как одно из замечательных следствий закона зон Вейсса, часто будем использовать этот метод.

В качестве конкретного объекта для вывода возможных граней возьмем точеч­ ную группу (класс) симметрии 6т2 (рис. 8.8, а), сосредоточив внимание в первую очередь на сферическом треугольнике (2TI0) —(0001) —(1120) (рис. 8.8, б). Рас­ смотрим различные положения проекции пробной грани относительно сторон указанного сферического треугольника.

Левую вершину этого сферического треугольника занимает проекция одной из граней вертикальной тригональной призмы {2П0} (рис. 8.8, в) а другая его вершина (правая) занята гранью (вернее, стереографической проекцией нор­ мали грани) другой тригональной призмы {1120} (рис. 8.8, г), которая разверну­ та по отношению к предыдущей тригональной призме на 180° Третью вершину этого сферического треугольника занимает проекция горизонтальной грани пинакоида (0001) (рис. 8.8, д).

Проанализируем некоторые другие положения проекции пробной грани в сферическом треугольнике. Выберем положение проекции пробной грани (точ­ ку 1 на рис. 8.8, б) ровно посередине стороны треугольника, примыкающей к линии контура круга проекций, — между проекциями граней (2110) и (1120) (рис. 8.8, б). Прежде, чем обратиться к методу суммирования индексов, ответим на вопрос о применимости этого метода по отношению к четырехзначным символам типа (hkil). Действительно, этот метод можно применять к таким сим­ волам, поскольку дополнительный индекс / является линейной комбинацией двух других индексов: / = —(/г + к). Если законность операции сложения соот­ ветствующих индексов была доказана для символов типа (Ш)> то она имеет силу и для символов типа (hkil).

Итак, суммируя индексы соседних граней (2ll0) и (1120), получим символ (1010) для пробной грани 1 (на рис. 8.8, б это символ не указан). Размножение этой пробной грани с помощью заданных элементов симметрии приведет к гексагональной призме (рис. 8.8. ё). Если теперь выбрать проекцию пробной грани в точке 2 (рис. 8.8, б), примерно посередине между гранями (2Т10) и (1010), то придем к символу этой грани (3120) и к дитригональной призме (рис. 8.8, ж).

Получив грани призм трех типов — тригональной, гексагональной и дитри­ гональной, — продолжим перемещение по сферическому треугольнику и оста­ новимся где-то в средней части левой стороны треугольника, например в точке 3 (рис. 8.8, б). Данному положению проекции пробной грани соответствует сим­ в о л ^ ! 11), который получается при суммировании индексов соседних граней (2111) и (0001), и кристаллический многогранник в форме тригональной дипи­ рамиды (рис. 8.8, з).

Перемещение пробной грани вдоль этой стороны треугольника из точки 3 в точку 4 и затем в точку 5 (рис. 8.8, 6) приведет опять-таки к тригональным дипирамидам с символами {4221} и {2Й2} соответственно.

Далее переместимся от грани 1 к противоположной вершине треугольника вдоль биссектрисы в точку 6. Суммируя индексы соседних граней (1010) и