Практическая кристаллография

ма эффективной при доказательстве инвариантности определения символов направлений.

При определении символа направления в кристалле по методу направляю­ щих косинусов следует избегать довольно распространенной практики, которая заключается в чрезмерно грубом округлении численных значений косинусов (вплоть до единственного знака после запятой!) и приводит к ошибкам в оценке количественных отношений индексов.

Для гексагональных и тригональных кристаллов применяют особую, четы­ рехосную систему координат и особые индексы направлений [г, г2г3г4], которые рассчитывают либо по обычным символам [«vw] (4.21), либо по методу направ­ ляющих косинусов (4.25).

При индицировании направлений и атомных рядов в гексагональных крис­ таллах следует активно использовать многозвенные формулы (4.21) и (4.23) для перехода от трехзначных символов Миллера к четырехзначным символам Браве (и обратно) в целях приобретения прочного навыка работы с этими своеобразными переходными соотношениями.

Углы между направлениями [ujVjw^ и [M2V2W2] определяют по формулам (4.26), или (4.31), или (4.32), или (4.33), или (4.34) (в зависимости от сингонии крис­ талла).

ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИМВОЛОВ АТОМНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

5.1. Геометрическая мотивировка задачи

Рассмотрим известное геометрическое уравнение плоскости (в форме де­ терминанта), которая располагается параллельно векторам г, = и,а + v,b + w,c и г2 = и2а + v2b + w2c и проходит через точку М(х{, у,; г,):

Или в развернутой форме

(х - x,)(v,>v2 - v2w,) + (у ~ y,)(w,M2 - W2M,) + (z - z,)(«,v2 - u2v,) = 0. (5.2)

Это уравнение позволяет определить величины отрезков ОА, ОВ и ОС, кото­ рые отсекает данная плоскость АВС на осях координат (рис. 5.1). Обозначим

ОА = а", 0В= b", 0С= с"(величины а", Ь", с"называют в математике параметра­ ми плоскости). Параметр о" получим из уравнения (5.2) при у = z = 0:

Отсюда находим искомый параметр х = а" — величину отрезка ОА, отсекае­

Аналогичным образом находим из (5.2) значения параметров b"(при х = z = 0)

Таким образом, с помощью уравнения (5.1) уда­ лось найти корректное математическое решение за­ дачи для плоскости, параллельной векторам г, и г2 и проходящей через точку М. Однако такое решение следует признать слишком сложным для решения задач кристаллографии. Поэтому в дальнейшем по­ пробуем отыскать более простую форму решения по­

Рис. 5.1. Атомная плоскость АВС ставленной задачи.

5.2. Аналог уравнения плоскости в отрезках

Обратимся к весьма простому по форме уравнению аналитической геомет­ рии — уравнению плоскости в отрезках:

где а", Ь", и с" — параметры плоскости.

Преобразуем это уравнение, сохраняющее свой прежний геометрический смысл, приспособив его для решения задач кристаллографии. Предварительно подчеркнем, что уравнение (5.8) одинаково применимо не только в привыч­ ных декартовых прямоугольных координатных системах, но и в менее употре­

бительных (в математике, но не в кристаллографии) декартовых косоугольных системах координат. Последнее обстоятельство позволяет рассматривать резуль­ таты, которые будут приведены в настоящей главе как общие выводы, пригод­ ные для любых координатных систем, применяемых для описания кристаллов.

Хотя атомная плоскость в кристалле формально ничем не отличается от определения плоскости в математике, что позволяет использовать для описа­ ния атомных плоскостей весь аппарат аналитической геометрии, обратим вни­ мание на одно их существенное различие. Поскольку в кристалле каждая атом­ ная плоскость из семейства параллельных атомных плоскостей обладает совер­ шенно одинаковым атомным рисунком и совершенно эквивалентна всем ос­ тальным атомным плоскостям своего семейства, любую такую атомную плос­ кость можно мысленно перемещать параллельно самой себе (транслировать) без нарушения ее свойств. Действительно, грань растущего кристалла способна перемещаться параллельно самой себе, воспроизводя при этом одну за другой совершенно идентичные атомные плоскости, что дает основание использовать при описании атомных плоскостей кристалла формальное право параллельного переноса, которое по своему содержанию вполне эквивалентно вышеупомяну­ тому праву параллельного переноса координатных осей в кристалле, которым оперировали в предыдущей главе при рассмотрении параллельных атомных рядов.

Воспользуемся этим правом параллельного переноса и переместим парал­ лельно самой себе атомную плоскость (5.8) таким образом, чтобы она прошла через начало координат, не изменяя своей пространственной ориентировки. Формально такое перемещение отразится только на свободном члене уравне­ ния плоскости:

Подставим в (5.9) значения величин а", 6"и с''из (5.4), (5.6) и (5.7) и после сокращения на общий множитель получим уравнение атомной плоскости, ко­ торая располагается параллельно векторам г, = и,а + v,b + w,c и г2 = и2а + v2b + + и>2с и проходит через начало координат:

Геометрический смысл уравнения (5.10) сводится к тому, что любая точка с Координатами х, у, z принадлежит плоскости, которая проходит через начало Координат и определяется двумя принадлежащими ей радиус-векторами

г, = м,а + v,b + w,c и г2= и2а + v2b + w2c.

5.3. Общее уравнение атомной плоскости

Выразим величины, входящие в уравнение (5.9), в новых, атомных масштаб­ ных единицах (соответственно а0, Ь0, с0), используя тем самым это уравнение для кристаллографии:

С учетом перехода к новым масштабным «кристаллографическим» коорди­ натам введем новые обозначения координат точки данной атомной плоскости, определенной тремя указанными параметрами:

а также заменим значения «атомных» параметров атомной плоскости (т.е. отрез­ ков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях OX, OY и ОТ) обрат­ ными величинами А, к и /:

которые называют индексами атомной плоскости (или индексами Миллера).

В результате проведенных преобразований получим общее уравнение атом­

Уточним геометрический смысл этого фундаментального уравнения. Атом­ ная плоскость (Ш), проходящая через начало координат и определяемая трой­ кой индексов h,k, l — тремя целыми, взаимно простыми и небольшими числами, содержит в себе радиус-вектор г с координатами и, v, w. Другими словами, полу­ ченное общее уравнение (5.14) можно трактовать как условие принадлежнос­ ти кристаллографического направления [uvw] атомной плоскости (hkl) или, еще, как условие параллельности направления [uvw\ атомной плоскости (hkl).

Координаты точки и, v, w в уравнении (5.14) можно рассматривать не только как координаты конкретного атома кристаллической структуры, но и как ко­ нец радиус-вектора (с одноименными координатами), а также как тройку чисел, которые определяют конкретное кристаллографическое направление [uvw\, при­ надлежащее атомной плоскости (hkl).

5.4. Определение плоскости с помощью параметров Вейсса

При выводе общего уравнения атомной плоскости (5.14) неоднократно ис­ пользовали понятие параметров плоскости, тройка которых однозначно опре­

p q г = а а а — \ 1 1;

—параметры плоскости ABCD (рис. 5.3,6):

р q г = °° а а = °° 1 1;

—параметры плоскости ABCD (рис. 5.3, в):

р q г = а а °° = 1 1 оо;

—параметры грани ABCD (рис. 5.3, г):

р q /-=оо оо а — 00 00 1.

5.5.Определение единичной грани кристалла

Вразных разделах кристаллографии часто используется термин «единичная грань» кристалла. И хотя в это понятие вкладывается весьма простой смысл, рассмотрим его подробнее, с тем чтобы предупредить возникновение какихлибо затруднений при использовании этого термина.

Единичная грань кристалла — это такая грань, которой соответствуют еди­ ничные параметры, т.е. значения всех трех параметров, равные единице:

р= q = r= 1

или

р q г = 1 1 1.

Как следует из простого, но чисто формального разъяснения, последний Вариант носит более общий характер, поскольку позволяет приобщить к числу единичных граней не только одну-единственную грань (р = q = г = 1), но и все параллельные ей грани с одинаковыми, повторяющимися параметрами: Р = q = г = 2; p = q = r = 3 ; p = q = r= 4 u т.д. (Забегая немного вперед, отметим, что понятие единичной грани применяется также к граням с симво­ лом (111), где каждая из трех единиц представляет собой индекс Миллера.)

Почему же этой единичной грани уделяют так много внимания? Ответ На этот вопрос приводит к закону Браве. В соответствии с этим законом грани растущего кристалла покрыты наиболее плотными атомными сетка­ ми (атомными плоскостями с максимальной ретикулярной плотностью — см. гл. 2). Как будет показано ниже, именно таким атомным плоскостям со­ ответствуют грани кристалла с минимальными значениями индексов Мил­

лера (типа (100), (110), (111)). Из всех граней кристалла, расположенных наклонно по отношению ко всем трем координатным осям, выделяется, прежде всего, именно единичная грань (111).

Определение единичной грани кристалла позволяет решить весьма ответственную задачу: определить фактическое соотношение между осевыми, или масштабными, единицами кристалла — отношение осевых единиц прямо про­ порционально отношению отрезков, которые отсекает единичная грань крис­ талла на координатных осях:

д0 Ьй с0 =ОА, ОВ{ ОС,

Действительно, без определения масштабных единиц теряет всякий смысл решение задачи об однозначном определении пространственного положения любой грани кристалла и любой его атомной плоскости.

Если параметры грани определяются отношениями

04, ОВ1_ОС1 ао Ь0 со

то для единичной грани (при р = q = г = 1) отношение отрезков ОА , ОВ{ и ОС, равно непосредственно отношению осевых (масштабных) единиц:

04, ОВх ОСх = а0 А0 с0

Следовательно, только при условии замены неизвестного отношения масш­ табных единиц отношением отрезков, которые отсекает единичная грань крис­ талла на координатных осях, может быть решена задача определения парамет­ ров (и обратных им величин: индексов Миллера) любой грани кристалла.

5.6. Определение плоскости с помощью индексов Миллера

Немецкий кристаллограф Миллер, предложил для определения простран­ ственного положения граней кристалла оригинальный и простой метод, сохра­ нив при этом все несомненные достоинства метода параметров Вейсса и устра­ нив при этом свойственные методу Вейсса неудобства при описании граней кристалла, которые параллельны осям координат. Миллер предложил использо­ вать для определения любой грани кристалла не сами параметры р, q, г, а обрат­ ные им величины — индексы А, к, I:

Индексы Миллера А, А, / представляют собой тройку целых, взаимно простых

чисел, которые обратно пропорциональны параметрам Вейсса. Если параметры Вейсса — р, q, г — определяли как отношения отрезков ОА2, ОВ2, ОС2, отсекае­ мых определяемой гранью кристалла А2В2С2на осях OX, OY, OZ, к соответствую­ щим отрезкам ОАх, ОВх, ОСх, отсекаемым единичной гранью того же кристалла АХВХСХ, то в случае определения индексов Миллера необходимо воспользовать­ ся обратными отношениями.

По Миллеру, каждая грань кристалла обозначается специальным символом с помощью тройки индексов А, к, /, заключенных в круглые скобки (hkl). По­ скольку индексы А, к, I представляют собой, как правило, небольшие целые чис­ ла, индексы внутри круглых скобок не отделяются друг от друга какими-либо знаками (запятыми или точками с запятой).

Для примера определим символы нескольких граней вышеупомянутого кристалла (рис. 5.2). В соответствии с определением (5.18) для грани А2В2С2 (с параметрами: р = 2; q = 2; г = I) получим индексы

и соответствующий символ этой грани — (112) (читается: грань один—один- два). Для соседней (левой) грани той же тетрагональной пирамиды А2В'2С2 (с параметрами: р = 2; q = —2; г = 1) получим символ (ll2) (читается: одинодин с минусом—два), который отличается от первого символа только знаком при втором индексе. Для единичной грани АХВХСХполучим символ (111). Для передней вертикальной грани тетрагональной призмы получим символ (100) (читается: один—ноль—ноль). Для правой грани той же призмы — символ (010), Для левой грани — символ (ОТО), для задней грани — символ (ТОО).

Таким образом, проведенная проверка системы определения символов гра­ ней по Миллеру подтвердила ее полную работоспособность: избавились от знаков Типа «оо» и сохранили индивидуальный характер символов для каждой грани Кристалла. Следовательно, зная символ какой-либо грани кристалла (А2В2С2) и отношение отрезков ОАх, ОВх, ОСхдля единичной грани (или отношение осе­ вых единиц а0, Ь0, с0), можно однозначно определить пространственное положе­ ние этой грани. Так, из (5.15) и (5.18) можно получить соотношение

ОА, ОВ, ОС,

(5.19)

ОА2 ' ОВ2 ' ОС2

Отсюда можно получить соотношение для определения отрезков ОА2, ОВ2, ОС2, отсекаемых на осях координат гранью А2В2С2:

Например, зная отрезки ОАх, ОВ,, ОСхи заданный символ грани (hkl) - (112),