Практическая кристаллография

кости симметрии можно найти также и на плоских атомных сетках из прям0угольников (рис. 3.2, в) (они располагаются параллельно сторонам этих прямо­ угольников), и на самом многограннике (вдоль продолговатых граней ромбоэд­ ра и перпендикулярно этим граням).

Хотя в приведенных иллюстрациях рассмотрены лишь некоторые из эле­ ментов симметрии кристаллов (простые поворотные оси симметрии и зеркаль­ ные плоскости симметрии), однако роль элементов симметрии как инструмен­ тов описания периодического атомного строения кристаллов и их естествен­ ной огранки была прослежена достаточно подробно. В дальнейшем детально определим каждый тип элементов симметрии.

3.2. Определение простых поворотных осей симметрии

Простые поворотные оси симметрии являются одной из важнейших харак­ теристик кристаллического вещества; они определяются следующими пара­ метрами: порядком оси симметрии и элементарным углом поворота.

Элементарный угол поворота со соответствует минимальному углу пово­ рота вокруг оси симметрии, в результате которого достигается самосовмещение фигуры. Так, в случае квадратной атомной сетки (рис. 3.2, а) элемен­ тарный угол со = 90°, в случае треугольной атомной сетки (рис. 3.2, б) эле­ ментарный угол со = 120°, а в случае атомной сетки из прямоугольников (рис. 3.2, в) элементарный угол со = 180°

Порядок оси симметрии N означает количество самосовмещений фигуры за ее полный поворот (на 360°) вокруг оси симметрии. Между порядком оси симметрии и соответствующей величиной элементарного угла существует про­ стое соотношение:

Следовательно, для квадратной атомной сетки (рис. 3.2, а) используем ось симметрии четвертого порядка: N = 360°/90° = 4 и обозначим ее Ь4 — учебный символ. Кроме указанного учебного символа для той же цели применяют также международный символ: 4 (просто одна цифра — порядок оси симметрии). Для треугольной атомной сетки (рис. 3.2, б) используем ось симметрии третьего поряд­ ка £3(или 3): N= 360°/120° = 3. Для атомной сетки из прямоугольников (рис. 3.2, в) используем ось симметрии второго порядка /,2(или 2): N= 360°/180° = 2. Приведем обозначения оси симметрии шестого порядка: Lb(или 6). Напомним, что соответ­ ствующий элементарный угол составляет 60°: со = 360°/6 = 60° (приложение 1).

Отметим, что все указанные структурные многоугольники, из которых были построены рассмотренные атомные сетки (квадраты, треугольники и прямоу­ гольники), заполняли свои атомные плоскости целиком, без малейших просве­ тов. Этому требованию должны удовлетворять все атомные сетки. Но из всех других возможных правильных плоских многоугольников лишь правильные шестиугольники удовлетворяют указанному требованию. Ни правильными плос­ кими пятиугольниками, ни правильными семиугольниками, ни какими-либо

иными правильными плоскими многоугольниками нельзя без просветов за­ полнить атомную плоскость (рис. 3.3). Это простое заключение позволяет сде­ лать важный вывод: в кристаллах (как объектах неживой природы) могут встре­ чаться лишь оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

Среди осей симметрии существует определенная субординация: оси сим­ метрии третьего, четвертого и шестого порядка именуются осями симметрии высшего порядка. Если кристаллический многогранник имеет одну единствен­ ную ось симметрии высшего порядка, то его именуют в соответствии с наиме­ нованием этой оси симметрии: если это ось симметрии третьего порядка, то кристалл тригональный; если ось симметрии четвертого порядка, то кристалл тетрагональный; если ось симметрии шестого порядка, то кристалл гексаго­ нальный. А если кристалл имеет несколько осей симметрии высшего порядка, различным образом ориентированных в пространстве (как у куба), то его име­ нуют кубическим кристаллом.

Примеры указанных осей симметрии приведены на рис. 3.4. Ромбоэдр (рис. 3.4, а) содержит одну вертикальную ось симметрии третьего порядка. При повороте на элементарный угол (120°) произойдет совмещение друг с другом: равных граней, равных ребер, равных двугранных углов, равных трехгранных вершин. Аналогичные совмещения можно будет наблюдать при повороте на 90° тетрагональной дипирамиды (рис. 3.4, б) вокруг единственной вертикальной оси симметрии четвертого порядка. При повороте на элементарный угол 60° гексагональной пирамиды (рис. 3.4, в) вокруг вертикальной оси симметрии ше­ стого порядка каждая наклонная грань ее совместится с другой такой же гра­ нью, каждое ребро совместится с аналогичным ребром этой пирамиды. Поворот куба на 120° вокруг его объемной диагонали (рис. 3.4, г), которая является одной из четырех осей симметрии третьего порядка, приведет к самосовмещению фи­ гуры. К такому же результату приведут аналогичные повороты вокруг других объемных диагоналей куба. Помимо четырех осей симметрии третьего порядка 4L3 куб оснащен еще тремя осями симметрии высшего порядка — осями сим­ метрии четвертого порядка ЗХ4, каждая из которых проходит через центр фигу­ ры перпендикулярно одной из трех пар параллельных граней (одна из таких осей показана на рис. 3.4, д). В самом деле, поворот фигуры на элементарный (прямой) угол вокруг показанной на рисунке горизонтальной оси симметрии приводит куб к самосовмещению. Для сравнения с осями симметрии высшего порядка, которыми оказался так богат куб, приведем пример простой оси сим­

Рис. 3.4. Примеры различных осей симметрии в кристаллических многогранниках: а — ось L3у ромбоэдра; б — ось LAу тетрагональной дипирамиды; в — ось L6 у гексагональной пирамиды; г — наклонная ось L3 у куба; д— оси LAу куба; е — оси Ь2 у куба

нако после полного оборота вокруг любой прямой любая фигура неизбежно должна совместиться со своим исходным положением совершенно независимо от своей конфигурации. Следовательно, анализируя понятие оси симметрии пер­ вого порядка, пришли к тривиальному результату: любая фигура содержит в себе бесчисленное множество подобных осей симметрии. Подобное понятие оси сим­ метрии первого порядка применяют в тех случаях, когда кристалл лишен других истинных элементов симметрии.

3.3. Определение зеркальных плоскостей симметрии

При анализе различных атомных сеток (рис. 3.2) мы уже пользовались таким элементом симметрии, как зеркальная плоскость симметрии (сокращенно — плоскость симметрии). Плоскость симметрии позволяет разделить фигуру на две зеркально равные части. У куба отмечали наличие как горизонтальной, так и вертикальных плоскостей симметрии, которые располагаются параллельно граням куба. Поскольку у куба — три пары параллельных граней, то подобных плоскостей симметрии тоже будет три: одна горизонтальная и две вертикаль­ ные.

Кроме того, куб имеет несколько диагональных плоскостей симметрии, каж-

порядка Lr Гексагональная пирамида (рис. 3.4, в) также не нарушает указанную закономерность: шесть ее вертикальных плоскостей симметрии, которые про­ ходят через ее ребра, а также по биссектрисам углов при вершине пирамиды, пересекаются по вертикальной оси симметрии шестого порядка L6

Завершая на этой стадии ознакомление с данной группой элементов сим­ метрии кристаллов — зеркальными плоскостями симметрии, отметим еще одну интересную особенность взаимодействия элементов симметрии друг с другом. С этой целью обратимся к тетрагональной дипирамиде (рис. 3.4, б). Здесь на линиях пересечения вертикальных плоскостей симметрии с горизонтальной плоскостью симметрии возникают горизонтальные оси симметрии второго порядка Lr Действительно, в результате поворота на 180° вокруг каждой такой прямой верхняя и нижняя пирамиды поменяются своими местами. Значит, та­ кой поворот приведет к самосовмещению фигуры — к совмещению равных элементов огранки кристалла. Следовательно, линия пересечения двух плоско­ стей симметрии является осью симметрии. Этот весьма важный вывод подтвер­ ждается и всеми предыдущими примерами: везде на линиях пересечения плос­ костей симметрии возникали оси симметрии.

3.4. Определение центра симметрии

Центр симметрии является специфическим самостоятельным элементом сим­ метрии, позволяющим описать некоторые особенности строения кристалли­ ческих тел, которые не удается охарактеризовать ни с помощью простых пово­ ротных осей симметрии, ни с помощью зеркальных плоскостей симметрии (взя­ тых поодиночке). Действительно, фигура, показанная на рис. 3.6 и имеющая вид простого параллелограмма, казалось бы, полностью лишена элементов симмет­ рии. На самом деле, эта фигура обладает двумя парами параллельных и равных по размерам сторон, которые связаны друг с другом новым элементом симмет­ рии —центром симметрии, т. е. особой точкой на пересечении диагоналей парал­ лелограмма. Эта особая точка расположена внутри параллелепипеда таким об­ разом, что она делит пополам каждую из четырех его объемных диагоналей.

Центр симметрии иногда называют зеркальной точкой, поскольку в этой точке как бы происходит зеркальное отражение каждой вершины многогран­ ника в противоположную, равную ей вершину, расположенную на той же пря­ мой по другую сторону от центра симметрии. В этой же зеркальной точке про­ исходят отражения равных противолежащих ребер фигуры и равных противо­ лежащих граней кристаллического многогранника.

Центром симметрии, например, обладает октаэдр (см. рис. 1.3, а), расположен­ ный довольно необычно (рис. 3.7): вертикальное положение здесь занимает не ось симметрии четвертого порядка Ь4(как на рис. 1.3, а), а ось симметрии третьего порядка Ьу Центр симметрии С, расположенный в точке пересечения объемных диагоналей октаэдра ААХ, ВВХи ЕЕХ, связывает друг с другом противоположные (и, конечно, равные) четырехгранные вершины: А с Ах, В с Bv Е с Ех Таким же образом, с помощью центра симметрии С, можно связать пары параллельных ребер октаэдра: АВ{с ВАх,А В с В хАх, BE с ЕХВХ, АЕ с ЕХАХ, ЕАХс АЕХи ВЕХс ЕВХ

3.5. Определение инверсионных осей симметрии и центра инверсии

Все вышеперечисленные элементы симметрии относятся к простым сим­ метрическим преобразованиям. Чтобы обеспечить самосовмещение фигуры с помощью этих элементов симметрии, достаточно либо простого поворота фи­ гуры на соответствующий элементарный угол вокруг оси симметрии, либо про­ стого отражения в зеркальной плоскости симметрии, либо простого отражения в зеркальной точке — центре симметрии. Однако, как среди кристаллических многогранников, так и среди кристаллических структур, встречается множество случаев, когда таких простых преобразований оказывается недостаточно для того, чтобы объективно охарактеризовать симметрию соответствующей фигуры (или структуры).

В качестве примера кристаллического многогранника с подобной сложной симметрией можно привести кубический тетраэдр (рис. 1.1, а) и его производ­ ные (рис. 1.1, б— г).Хотя поперечное сечение кубического тетраэдра (рис. 3.8) представляет собой квадрат (с осью симметрии четвертого порядка), огранка этого кристаллического многогранника не позволяет установить наличие про­ стой поворотной оси симметрии четвертого порядка. Действительно, видимая вертикальная ось симметрии второго порядка, проходящая через центральные точки верхнего и нижнего ребер тетраэдра, может связать друг с другом лишь пару верхних граней тетраэдра и пару нижних его граней по отдельности. Меж­ ду тем полное совпадение геометрии и размеров граней кубического тетраэдра, принадлежащих одной простой форме, и наличие квадратного поперечного се­ чения подразумевают присутствие оси симметрии четвертого порядка. При этих условиях определение вертикальной оси симметрии в качестве простой пово­ ротной оси симметрии второго порядка привело бы к явному занижению сим­ метрии кубического тетраэдра.

Выходом из указанной противоречивой ситуации служит использование но­ вого, специального элемента симметрии — инверсионной оси симметрии четвер­ того порядка (4), которая в отличие от простой поворотной оси симметрии содержит в себе не одно, а два симметрических преобразования: поворот на 90° и отражение в центральной точке фигуры О — в ее цент­ ре инверсии как в центре симметрии. Проверим эти дей­

ствия на элементах огранки кубического тетраэдра. Вершина тетраэдра А после поворота вокруг вертикаль­

ной оси кристаллического многогранника (КМ) по ча­ совой стрелке на указанный элементарный угол попадает в точку Z. Затем из точки Z эта «путешествующая» вер­ шина отражается в центральной точке О (как в центре симметрии) и совмещается с вершиной Е. При этом не­

равных элементов огранки кристалла. Если бы точка О являлась центром сим­ метрии, то отражение в центре симметрии О перевело бы вершину А в точку Y, которая вообще не является точкой тетраэдра. В отличие от центра симметрии центр инверсии не является самостоятельным элементом симметрии, а служит лишь составной частью сложного симметрического преобразования, состояще­ го из поворота фигуры на элементарный угол и отражения в центральной точ­ ке фигуры.

Вершина Е тетраэдра после поворота на 90° попадет в точку X и после отра­ жения в центральной точке тетраэдра О попадет в точку В, заняв при этом положение равной ей вершины В. В свою очередь, вершина В после поворота на элементарный угол попадает в точку Т, а затем после отражения в центре ин­ версии О (как в центре симметрии) совмещается с вершиной С. В свою оче­ редь вершина С после поворота попадет в точку У и затем после отражения в точке О совместится с вершиной А.

Рассмотрев вершины кубического тетраэдра и убедившись, что с помощью инверсионной оси симметрии четвертого порядка удалось связать друг с дру­ гом все четыре вершины этого кристаллического многогранника, перейдем к его ребрам и граням, но при этом ограничимся указаниями начального и ко­ нечного положений этих элементов огранки, опустив для краткости детали это­ го сложного симметрического преобразования, подробно рассмотренные выше. Ребро АВ перейдет в равное ему ребро СЕ, ребро АЕ — в ребро ВС, ребро АС — в ребро BE. Грань АВЕ займет положение равной ей грани ВСЕ, грань ВСЕ перейдет в грань АВС, грань АВС — в грань АСЕ, грань АСЕ — в грань АВЕ.

Таким образом, с помощью нового элемента симметрии — инверсионной оси симметрии четвертого порядка — удалось связать друг с другом все основ­ ные равные элементы огранки кубического тетраэдра. Две аналогичных гори­ зонтальных инверсионных оси симметрии четвертого порядка проходят через середины ребер АЕ и ВС, а также через середины ребер АС и BE. Значит, куби­ ческий тетраэдр обладает тремя взаимно перпендикулярными инверсионными осями симметрии четвертого порядка, проходящими через центры его противо­ лежащих ребер. Символические обозначения инверсионных осей симметрии четвертого порядка отличаются от соответствующих обозначений простых по­ воротных осей симметрии четвертого порядка лишь горизонтальной черточкой над цифрой 4 (как в случае учебного символа, так и в случае интернациональ­ ного символа инверсионной оси симметрии).

Познакомившись на примере кубического тетраэдра с инверсионной осью симметрии четвертого порядка и ее свойствами, рассмотрим определение дру­ гих инверсионных осей симметрии.

Следуя определению инверсионной оси симметрии, рассмотрим действие инверсионной оси симметрии первого порядка как поворот на элементарный угол (в данном случае 360°) и отражение в центральной точке фигуры как в центре симметрии. Поскольку поворот фигуры на указанный элементарный угол сам по себе не изменяет ее пространственного положения, от сложного симметрического преобразования остается практически лишь одна его состав­ ляющая, то действие инверсионной оси симметрии первого порядка сводится к простому отражению в центральной точке фигуры как в центре симметрии.

Таким образом, действие инверсионной оси симметрии первого порядка экви­ валентно действию центра симметрии. По указанной причине эта инверсион­ ная ось симметрии не рассматривается в качестве самостоятельного элемента симметрии, и единственное упоминание об инверсионной оси симметрии пер­ вого порядка сохранилось лишь в международном символе центра симмет­ рии: единица с горизонтальной черточкой сверху (I).

Рассмотрим действие инверсионной оси симметрии второго порядка на при­ мере простого куба (рис. 3.9). Элементарный угол поворота для этой оси сим­ метрии составляет 180° Взяв любую вершину верхнего основания, повернем ее вокруг вертикальной оси на указанный угол и затем отразим в центре куба как в центре симметрии. В результате этого симметрического преобразования выб­ ранная вершина перейдет на нижнее основание куба и окажется точно под своим первоначальным положением. С другой стороны, обе эти вершины мож­ но связать друг с другом с помощью простого отражения в горизонтальной зеркальной плоскости симметрии, проходящей через центр куба. Следовательно, действие рассматриваемой инверсионной оси симметрии второго порядка можно свести к простому отражению фигуры в зеркальной плоскости симметрии и вообще не упоминать в качестве элемента симметрии.

Рассмотрев причины отставки несостоявшихся инверсионных осей симмет­ рии первого и второго порядков, перейдем к анализу инверсионной оси сим­ метрии третьего порядка и с этой целью обратимся к ромбоэдру (рис. 1.11, г). Вертикальная ось ромбоэдра является простой поворотной осью симметрии третьего порядка с элементарным углом 120°. Помимо этой оси симметрии ром­ боэдр содержит еще центр симметрии, который располагается на самой оси симметрии третьего порядка посередине между двумя вершинами. С другой стороны, действие двух указанных элементов симметрии можно заменить с помощью инверсионной оси симметрии третьего порядка. Действительно, по формальному признаку инверсионной оси симметрии третьего порядка соот­