Практическая кристаллография

Таким образом удалось определить и величину угла второго поворота про­ екции 02, и ось этого второго поворота [U2V2W2] = [100].

Заметим, что у задачи возможны и иные пути решения (с другими поворота­ ми) вплоть до изменения ориентировки кристалла за один-единственный по­ ворот (по аналогии с теоремой Эйлера, в соответствии с которой результат двух последовательных поворотов вокруг соответствующих поворотных осей можно заменить одним поворотом вокруг другой оси).

10.2. Задача 2. Построить чертеж грани пентагондодекаэдра, указав символы его граней, ребер и углы между ребрами и между гранями кристалла

На рис. 10.2, а показан типичный двенадцатигранник из семейства кубичес­ ких кристаллов, весьма похожий на пентагондодекаэдр (рис. 1.2, г). Действитель­ но, все его грани похожи друг на друга: имеют форму одинаковых пятиугольни­ ков и, по-видимому, связаны друг с другом элементами симметрии — хорошо просматриваются три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (две вертикальные и одна — горизонтальная), каждая из которых делит данный кри­ сталлический многогранник на две зеркально равные части.

Намеченные три взаимно перпендикулярные оси симметрии, каждая из ко­ торых соединяет друг с другом середины параллельных ребер кристалла, очень напоминают оси симметрии второго порядка. Например, при повороте на 180° вокруг любой из этих осей равные грани кристалла меняются своими местами.

Для полной аналогии с кубическим пентагондодекаэдром важно еще отме­ тить наличие наклонных осей симметрии третьего порядка, проходящих через стыки трех равных ребер кристалла, которые на рис. 10.2, а отмечены треуголь­ никами.

Проведенного анализа огранки рассматриваемого кристаллического много­ гранника, видимо, достаточно,чтобы отнести его к классу симметрии m3, а гра­ ни его признать относящимися к одной простой форме, что позволяет присту­ пить к определению символа одной из граней кристалла, воспользовавшись тем весьма удачным обстоятельством, что каждая из его граней параллельна одной из координатных осей. Так, выделенная справа грань, расположенная парал­ лельно координатной оси ОХ отсекает на оси OY отрезок ОВ, а на оси OZ — отрезок ОС, который вдвое больше отрезка ОВ. Следовательно, символ этой грани кубического кристалла можно определить, используя метод отрезков:

Определение символов других граней значительно облегчено, поскольку они образуются из комбинаций тех же самых индексов (0, 1 и 2), записанных в ином порядке или с иными знаками, как у граней кристалла, которые связаны эле­ ментами симметрии (рис. 10.2, б).

После определения символов граней пентагондодекаэдра приступим к ин-

Рис. 10.2. Пентагондодекаэдр (д); символы его граней (б) и ребер (в); углы между ребрами (г); чертеж грани (д) (треугольниками обозначены выходы наклонных осей третьего порядка)

дицированию ребер, окружающих грань (210), путем перекрестного перемноже­ ния индексов смежных граней:

Наличие сходных символов у четырех ребер грани (210) нельзя считать случайным совпадением: эти ребра связаны друг с другом элементами сим­ метрии (двумя наклонными осями симметрии третьего порядка, обозначен­ ными на рис. 10.2, в треугольниками, и горизонтальной плоскостью симметрии, которая делит эту грань на две равные части). Указанные четыре ребра не только характеризуются однотипными символами, но и имеют одинаковые размеры благодаря указанным элементам симметрии, что значительно облег­ чит построение чертежа грани.

Для построения этого чертежа проведем расчеты углов при вершинах пяти­ угольника (рис. 10.2, г), пользуясь формулами (9.2), причем, несмотря на очевид­ ное равенство углов г) и со, а также а и яр, в целях проверки результатов будем проводить аналогичные расчеты для всех углов:

cosri = ±(0-2 + 0 -4 + 1 I)/(VI) • (V2l) = ±1/л/2Т; т) = arccos(—0,2182) = 102,6044°;

coso = ±(2 • 1 + 4 • 2 + 1 -4)/(V2T) • (V2 T) = ±6/21;

Сумма этих пяти углов совпадает с теоретической суммой: 539,9999° - - 540,0000° и подтверждает предположение о том, что все пять углов этого пятиу­ гольника тупые (поэтому выбрали из двух возможных знаков косинусов только отрицательные значения) (рис. 10.2, г).

Проверив правильность проведенных расчетов, приступим к построению чер­ тежа грани (210), которая, впрочем, неотличима от всех других граней этого кри­ сталлического многогранника (кроме своей пространственной ориентировки).

1.Проведем ребро ±[001] (произвольной длины) (рис. 10.2, д).

2.Из верхней точки А этого ребра проводим луч АВ (произвольной длины) под углом Г|.

Ha этом работа над чертежом завершается, поскольку при аккуратном (и, разу­ меется, правильном) построении точка Е должна лежать на начальном ребре ±[001], угол при вершине Одолжен совпадать с расчетным углом ад, а длины всех четырех последних ребер должны быть одинаковыми (АВ = ВС= CD — DE * АЕ).

Что же касается величины двугранных углов, то их расчеты по формуле (10.1) приводят к двум следующим значениям. Для двугранных углов, примыкающих к горизонтальным ребрам кристалла, а также к его вертикальному ребру, эта величина равна: arccos(—3/5) = 126,87° Все остальные углы между гранями, примыкающие к наклонным ребрам пентагондодекаэдра, составляют одинако­ вые величины: arccos(—2/5) = 113,58°

10.3. Задача 3. Уточнить приведенные составы двух зон и определить символ

грани, которая может принадлежать обеим этим зонам: зона 1: (231), (321), (121), (121) и (321); зона 2: (201), (312), (312), (132) и (021)

Очевидно, при определении состава приведенных зон кристалла мог про­ изойти какой-то сбой, например ошибка в определении координатных углов, по которым производился расчет символов грани, или ошибка графического ха­ рактера. Следовательно, первым шагом в решении данной задачи являются вы­ явление возможных ошибок в составах зон и отсев соответствующих символов.

Проверку принадлежности граней каждой из двух зон и устранение оши­ бочных данных можно произвести графическим методом. Для этого по приве­ денным символам нужно для каждой грани рассчитать координатные углы нормалей и построить соответствующие стереографические проекции. Тогда проекции всех граней, входящих в данную зону, выстроятся на одной дуге боль­ шого круга, а проекции ошибочно включенных в состав зоны граней останутся в стороне от этой дуги.

Однако описанный графический метод уточнения состава зон, несмотря на свою бесспорную наглядность, требует предварительного, довольно трудоемко­ го расчета величин координатных углов: по десяти заданным символам требу­ ется рассчитать значения тридцати координатных углов с помощью системы уравнений типа (5.32). О том, насколько такой метод решения задачи является утомительным, можно судить по следующим данным рассчитанных углов X, ц, v

Выберем путь аналитической проверки условия принадлежности указанных граней одной определенной зоне. Действительно, если какой-либо из заданных символов окажется лишним для конкретной зоны, то это сразу же выявится при определении символа зоны.

Для определения символа зоны методом перекрестного перемножения ин­ дексов смежных граней будем группировать заданные символы граней попар­ но в том же порядке, в каком они идут в списке. Для компактности записи будем заменять подробное построение столбцов и строчек при перекрестном перемножении индексов символом «х»:

(231)х(321) => [irnv]= ±[Й5],(321)х(121) => [uvw] = ±[012], (l21)x(121) =* [uvw]= ±[012], (121)x(321) =s> [uvw] = ±[012].

Сопоставление полученных символов зоны 1 показывает, что в трех после­ дних парах получены совпадающие результаты. Следовательно, грань (231) была ошибочно включена в зону ±[012] и на этом основании не будем учитывать ее далее.

Аналогичную проверку принадлежности к своей зоне проведем и со спис­ ком граней зоны 2.

Если обе крайние пары дали совпадающий результат ±[112], то обе средние пары дали весьма странные результаты, вероятной причиной чего явилось оши­ бочное включение грани (312) (которая вошла в обе средние пары при пере­ крестном перемножении индексов) в состав зоны 2. Действительно, если ис­ ключить эту грань из списка зоны 2, то получим вполне закономерный резуль­ тат, подтверждающий наши предположения:

(132)х(312) =* [MVW] = ±[112].

Итак, уточнив составы обеих зон и определив их символы (±[012] и ±[112]), сможем дать ответ на основной вопрос данной задачи и определить символ возможной грани кристалла, которая может принадлежать обеим зонам. Для этого достаточно произвести перекрестное перемножение соответствующих индексов осей обеих зон:

[012] х [112] => (Ш) = ±(421).

Таким образом, установили символ возможной грани кристалла (hkl) = ±(421), которая будет принадлежать обеим зонам кристалла одновременно.

Очевидно, к аналогичному результату можно прийти и графическим путем по точке пересечения двух больших кругов, каждый из которых объединяет проекции граней своей зоны (как было показано на рис. 8.5).

10.4. Задача 4. Определить формулу симметрии, точечную группу (класс) сим метрии, простые формы и построить стереографическую проекцию элементов симметрии гексагонального многогранника

По приведенному рис. 10.3, а кристаллического многогранника можно опре­ делить, что это — кристалл гексагональной сингонии, так как его грани связаны вертикальной осью симметрии шестого порядка L6, которая перпендикулярна плоскости чертежа. Кристаллический многогранник имеет грани четырех типов: шесть одинаковых развитых вертикальных граней гексагональной призмы (р — р6); шесть одинаковых узких вертикальных граней второй гексагональной при­

змы ( s —s6), развернутых по отношению к гра­ ням первой гексагональной призмы на угол 30°, двенадцать одинаковых наклонных граней гексагональной дипирамиды (d —dn); две оди­ наковые горизонтальные грани пинакоида (ffij—т 2).

Кроме вертикальной оси симметрии L6 кристаллический многогранник имеет шесть вертикальных плоскостей симметрии 6Р, про­ ходящих через вершины пинакоида (т —т2) и середины его ребер: грань рхподобна и равна параллельной грани рА\ грань р2 — грани р5; грань рг — грани р6\ грань s, — грани s4; грань s2 — грани s5; грань s3 — грани s6. Таким же образом эти вертикальные плоскости симмет­ рии связывают друг с другом подобные и рав­ ные наклонные грани гексагональной дипи­ рамиды: грань dx с гранью dA, грань d2с гра­ нью d5, грань d2с гранью d6, грань d7 с гранью dl0и т.д. (рис. 10.3, б).

Приведенный рис. 10.3, а кристаллическо­ го многогранника свидетельствует также о сходстве его верхних и нижних граней: гра­ ней пинакоида т , и т2, граней гексагональ­ ной дипирамиды d{и dnи т.д., что характерно для горизонтальной плоскости симметрии. Кроме того, этот рисунок кристаллического многогранника позволяет сделать вывод о наличии горизонтальных осей симметрии вто­ рого порядка, три из которых проходят через середины вертикальных прямоугольных гра­ ней первой гексагональной призмы р —р6, а

Рис. 10.3. Гексагональный кристаллический многогран­ ник (о); его элементы симметрии (6) и стереографи­ ческие проекции нормалей граней (в)

еще три — через центральные точки вертикальных прямоугольных граней вто­ рой гексагональной призмы s —s6 (6L2). Например, одна из таких горизонталь­ ных осей симметрии, которая проходит через центральные точки граней р, и р4, связывает друг с другом следующие пары равных граней: s{и s6, s2и s5, s2и s4, р2 и р6, рги р5, от, и от2 </, и dv d2и dl2, d2и dn и т. д.

Попробуем объединить найденные элементы симметрии в формулу симмет­ рии L66LJP. Заметив, что число осей симметрии четного порядка совпало с числом плоскостей симметрии и что у каждой из таких осей симметрии нахо­ дится перпендикулярная плоскость симметрии, вспомним, что именно такое совпадение свидетельствует о наличии у соответствующего кристаллического многогранника особого элемента симметрии — центра симметрии. Действи­ тельно, такая особая, «зеркальная» точка имеется и у рассматриваемого крис­ талла: в центральной точке кристаллического многогранника, где пересекаются друг с другом все семь плоскостей симметрии, а также все семь осей симметрии (четного порядка). Этим центром симметрии соединяются друг с другом одина­ ковые элементы огранки: от, и от2, р{и р4, 5, и s4, dxи dlQи т. д.

Итак, уточненная формула симметрии выглядит следующим образом: L66L27PC. Этой формуле симметрии соответствует международный символ точечной груп­ пы (класса) симметрии 6/ттт. Здесь в первой позиции символа (6/от) указы­ ваются главная вертикальная ось симметрии шестого порядка (L6) и перпен­ дикулярная зеркальная плоскость симметрии (/от), во второй и третьей позици­ ях международного символа — плоскости симметрии, параллельные главной оси симметрии.

Определив формулу симметрии, точечную группу (класс) симметрии и про­ стые формы кристаллического многогранника (рис. 10.3, а), переходим к заклю­ чительной стадии задачи — построению стереографической проекции элемен­ тов симметрии. В центре круга проекций (рис. 10.3, в) располагаем проекцию вертикальной главной оси симметрии шестого порядка L6 Через центр круга проекций проведем через равные угловые промежутки шесть проекций верти­ кальных плоскостей симметрии, а проекцию седьмой — горизонтальной плос­ кости симметрии — вдоль линии контура круга проекций (концентрично по отношению линии контура круга проекций).

И наконец, укажем проекции горизонтальных осей симметрии второго по­ рядка, выходы которых располагаются в точках пересечения проекций верти­ кальных осей симметрии с контуром круга проекций (и проекцией горизон­ тальной плоскости симметрии). Часто у центра круга проекций указывают сим­ вол центра симметрии С в знак присутствия в данном классе симметрии этого элемента симметрии, хотя, строго говоря, стереографической проекции зеркаль­ ной точки не существует.

10.5. Задача 5. Произвести установку гексагонального кристалла (выбор координатных направлений и единичной грани), определить координатные углы и символы граней кристалла, если по рентгеновским данным определено отно­ шение осевых единиц с0/а 0 = 1,633

Решение задачи начнем с выбора координатных осей (рис. 10.3, а). Для гекса­ гонального кристалла, который относится к точечной группе (классу) симмет­ рии 6/ттт (см. задачу 4), в соответствии с правилами установки в качестве горизонтальных осей координат выбирают «естественные» оси координат: го­ ризонтальные оси симметрии второго порядка с углом между ними у = 120° Главная ось симметрии — вертикальная ось симметрии шестого порядка L6 — служит другой естественной осью координат (OZ).

Если выбор вертикальной оси координат OZ не вызывает сомнений, то при выборе горизонтальных осей симметрии возникают две возможности: либо выб­ рать в качестве осей ОХ и OY оси второго порядка, перпендикулярные граням гексагональной призмы рхи рг, либо направить эти оси координат перпендику­ лярно граням другой гексагональной призмы s{и sv поскольку в обоих этих случаях можно воспользоваться совершенно равноценными горизонтальными осями симметрии второго порядка.

Однако этот вопрос получает вполне однозначное решение при выборе так называемой единичной грани кристалла, которая в трехосной системе коорди­ нат обозначается символом типа {111} и определяет отношение осевых единиц. В нашем случае наклонными гранями кристалла, которые могут играть роль такой единичной грани {111}, являются грани гексагональной дипирамиды, на­ пример грань d2 Действительно, эта грань располагается симметрично по отно­ шению к граням первой гексагональной призмы рхи рг (и, следовательно, сим­ метрично по отношению к соответствующим осям второго порядка, отсекая на этих осях равные отрезки).

Поскольку грань гексагональной дипирамиды d2представляет собой семей­ ство наиболее развитых наклонных граней кристалла (отсекая при этом рав­ ные отрезки на координатных осях ОХ и OY), то в соответствии с законом Браве можем принять ее за единичную грань (111) (используя трехосную сис­ тему координат), определив тем самым однозначный выбор естественых коор­ динатных осей: ось ОХ проходит через горизонтальную ось второго порядка, перпендикулярную грани />,; ось ОY — через горизонтальную ось второго по­ рядка, перпендикулярную грани р2; ось OZ — через вертикальную ось симмет­ рии шестого порядка, перпендикулярную граням пинакоида т{ и т2

Переходя от трехосной системы координат к четырехосной (как того требу­ ет принадлежность данного кристалла к гексагональной сингонии), добавим еще одну горизонтальную координатную ось OU, расположив ее вдоль горизон­ тальной оси симметрии второго порядка, которая перпендикулярна грани р5 первой гексагональной призмы (рис. 10.3, а). При этом символ грани (Ш ) пре­ образуется в соответствующий четырехосный символ (hkil), где / = —(А + к). Тогда для единичной грани d2 вместо символа (111) будем использовать соот­ ветствующий символ (1121).

В соответствии с определением осей координат построим стереографичес­

кие проекции нормалей граней кристаллического многогранника (рис. 10.3, в). Здесь проекции нормалей вертикальных граней обеих гексагональных призм занимают положения на контуре круга проекций, т.е. на выходах всех шести горизонтальных осей симметрии второго порядка, а проекции нормалей гори­ зонтальных граней пинакоида располагаются в центре круга проекций. Поло­ жения проекций этих граней позволяют вполне однозначно определить соот­ ветствующие координатные углы между нормалями этих граней и каждой из четырех координатных осей.

Прежде чем перечислить координатные углы указанных вертикальных и го­ ризонтальных граней кристаллического многогранника, отметим два обстоя­ тельства. Во-первых, указанные на рис. 10.3, в проекции нормалей граней гекса­ гональной дипирамиды d —dn носят условный характер, поскольку в отличие от вертикальных и горизонтальных граней для их описания необходимо точно указать угол наклона этих граней (что будет сделано позднее). Во-вторых, опре­ деление углов между нормалями граней и соответствующими осями координат (А. — угол между нормалью грани и осью ОХ, ц — угол между нормалью грани и осью ОУ, е — угол между нормалью грани и осью OU, v — угол между нормалью грани и осью OZ) целесообразно сочетать с определением символов этих гра­ ней в соответствии с соотношением (5.45). Например, для вертикальной грани р, первой гексагональной призмы получим в соответствии с приведенным со­ отношением следующие отношения индексов:

Итак, для гранир, с помощью метода направляющих косинусов получили символ (hkil) = (2110). Координатные углы нормалей граней и их символы (рис. 10.3, а) приведены в табл. 10.1.

Перейдем к определению координатных углов нормалей наклонных граней гексагональной дипирамиды. Начнем с грани dv Ее символ определим с помо­ щью закона зон, сложив индексы соседних с ней граней р, (2110) и т1(0001), в результате чего получим для грани dxсимвол (2П1). Обозначим соответствую­ щие координатные углы на стереографической проекции (рис. 10.4, а), откуда следует, что для этой грани сумма координатных углов X и v равна 90°, или

Заменив в этом соотношении угол v на указанную разность (90° - X) и исполь­ зуя известное тригонометрическое преобразование, получим выражение