Практическая кристаллография
..pdfУчитывая широкую популярность кубических кристаллов в решении мно гих технических задач, приведем еще несколько характерных примеров дей ствия этой наклонной оси симметрии третьего порядка [111]. Выберем в каче стве исходной вертикальную грань ромбододекаэдра D (110) (р = 90°; ср = 45°) (рис. 7.2, б, рис. 1.2, в). Наклонная ось симметрии третьего порядка [111] позволит связать эту грань с другими гранями ромбододекаэдра: Е (011) (р = 45°; ф = 0), F( 101) (р = 45°; Ф = 90°).
Этой же наклонной осью симметрии третьего порядка [111] можно связать друг с другом грани пентагондодекаэдра: G (210) (р = 90°; ф), К (021) (р = ф; Ф = 0), М (102) (р = 90° —ф; ф = 90 —ф°) (рис. 7.2, в, рис. 1.2, г), а также грани общего положения пентагонтритетраэдра: У (312), Р (231), R (123) (рис. 1.1, д).
Наличие простой оси симметрии четвертого порядка Z,4 характерно не толь ко для кристаллов класса симметрии 4, к анализу которого переходим, но и для некоторых классов симметрии кубических кристаллов, что позволяет объеди нить рассмотрение воздействия этих осей симметрии.
Вертикальная ось симметрии четвертого порядка (рис. 7.3, а) связывает друг с другом грани вертикальной тетрагональной пирамиды с одинаковыми значе ниями полярных расстояний (р): А (111) (ф = 45°), В (111) (ф = 315°), С (111) (Ф = 225°), D (111) (ф = 135°) (рис. 1.8, б).
Горизонтальная ось симметрии четвертого порядка (рис. 7.3, б) связыва ет друг с другом грани тетрагональной призмы (с горизонтальной осью): А (р; ф = 90°), В (90° - р; Ф = 270°), С (180° - р; ф = 270°), D (90° + р; Ф = 90°).
Для кристаллов гексагональной сингонии класса симметрии 6 с единствен ной осью симметрии шестого порядка Ь6 характерна лишь вертикальная ори ентировка последней. В качестве примера действия такой оси симметрии при ведем грани гексагональной пирамиды (рис. 1.8, в), которые образуют одинако вые углы с вертикальной осью пирамиды и сферические координаты которых различаются лишь своими долготами: А (р; ф), В (р; ф + л/6), С (р; ф + л/3), D (р; Ф + л/2), £(р; ф + 2л/3), F(p; <р+5я/6) (рис. 7.4).
Завершив рассмотрение классов симметрии, где в роли единственных эле ментов симметрии присутствовали простые поворотные оси симметрии, пере ходим к анализу аналогичных классов симметрии, в которых единственными элементами симметрии выступают инверсионные оси симметрии. Напомним,
Рис. 7.3. Объединение граней с помощью осей симметрии четвертого порядка: а — граней А, В, С, D тетрагональной пирамиды вертикальной осью симметрии; б — граней А, В, С тетрагональной призмы D горизонтальной осью симметрии
что инверсионные оси симметрии отличаются от про стых осей симметрии наличием двух компонентов сим метрического преобразования: у инверсионных осей сим метрии помимо поворота на элементарный угол присут ствует еще второй компонент — отражение в центре ин версии (как в центре симметрии).
Инверсионный класс симметрии 3 содержит един ственный элемент симметрии, т. е. вертикальную инвер сионную ось симметрии третьего порядка, которая вклю чает в себя сложное симметрическое преобразование: поворот на элементарный угол 120° и отражение в цент ральной точке фигуры (как- в центре симметрии).
Важно отметить, что инверсионная ось симметрии тре тьего порядка имеет эквивалентную замену с помо щью двух простых элементов симметрии: простой оси
симметрии третьего порядка Ьг и центра симметрии С. Подобная замена позво ляет во многих случаях упростить решение задачи.
Для ромбоэдра — кристаллического многогранника тригональной сингонии (рис. 1.11, г) — характерно наличие вертикальной инверсионной оси симмет рии третьего порядка / 3, которая включает в себя помимо простой поворотной оси симметрии третьего порядка Ьъеще центр симметрии. На рис. 7.5, а приве дена стереографическая проекция нормалей граней ромбоэдра А, В, С, D, Е, F Проследим, каким образом инверсионная ось симметрии третьего порядка мо жет связать друг с другом эти грани. Например, грань ромбоэдра А поворачива ется под действием инверсионной оси (против часовой стрелки) на 120° и становится в положение грани В (это — лишь промежуточное положение для грани А). Затем осуществляется вторая часть описываемого симметрического преобразования: отражение в центре симметрии, в результате которого грань А переходит с верхней полусферы, где она ранее находилась, на нижнюю полу сферу и совмещается с равной ей гранью F со сферическими координатами (я — р; <р = 150°).
В свою очередь, грань / ’совершает поворот на 120° по нижней полусфере и временно занимает положение грани D, после чего отражается в центре сим метрии, переходит на верхнюю полусферу и совмещается с равной ей гранью С со сферическими координатами (р; ф = 210°). Пользуясь тем же алгоритмом, можно с помощью инверсионной оси симметрии третьего порядка связать друг с другом и остальные грани ромбоэдра: грань С — с гранью Е, грань Е — с гранью В, грань В — с гранью D и, наконец, грань D — с гранью А.
Таким образом, с помощью инверсионной оси симметрии третьего порядка можно связать друг с другом все шесть равных граней ромбоэдра, доказав тем самым их полную эквивалентность. Особо отметим, что инверсионная ось сим метрии третьего порядка существенным образом отличается от других инвер сионных осей симметрии (инверсионных осей симметрии четвертого и шесто го порядков) тем, что у нее центр инверсии совмещен с центром симметрии. Упомянутые инверсионные оси симметрии четвертого и шестого порядков во обще не имеют центра симметрии (имеют лишь центр инверсии, который в
отличие от центра симметрии не является самостоятельным элементом сим метрии, а действует только в совокупности с самой инверсионной осью). Воз можно, из-за сходства обоих центров часто можно встретить ошибочное утвер ждение об их идентичности.
Класс симметрии ? характеризуется наличием одной единственной верти кальной инверсионной оси симметрии четвертого порядка. Особенности вер тикальной инверсионной оси симметрии четвертого порядка рассмотрим на наглядном примере кристаллического многогранника, который образован ком-
Рис.7.5. Объединение граней кристаллов вертикальными инверсионными осями симметрии: а — граней А, В, С, D, Е, /'ромбоэдра осью L,\ б — граней А, В, С, Dтетраэдра и граней a, b, с, d верти кальной тетрагональной призмы осью в — тетраэдра и вертикальной тетрагональной призмы (в комбинации); г — стереографической проекции в; д — граней АВС тригонаЛЬной призмы осью ; е — граней А, В, С, D, Е, /тригональной дипирамиды осью Ьъ
бинацией граней тетрагонального тетраэдра А, В, С, D (рис. 1.11, а) и тетраго нальной призмы abed (рис. 1.7, б) (как показано на рис. 7.5, б).
Грани вертикальной тетрагональной призмы abed отсекают вершины тетра гонального тетраэдра ABCD (рис. 7.5, б). При этом пропадают все плоскости симметрии и горизонтальные оси симметрии второго порядка, которыми рас полагали обе составляющие фигуры, а_из двух вертикальных осей симметрии четвертого порядка (инверсионная ось 4 у тетраэдра и простая ось 4 у призмы) остается инверсионная ось симметрии. На рис. 7.5, в приведена стереографичес кая проекция нормалей фигуры, показанной на рис.7.5, б.
Грань А (р; ср = 45°) после поворота на элементарный угол 90° (против часовой стрелки) занимает положение на верхней полусфере со сферическими координатами (р; ср = 315°) (точно над гранью D), а после последующего отра жения в центре инверсии переходит в диаметрально противоположную точку сферы и совмещается с гранью С (л — р; ср = 135°). Далее по тому же алгоритму грань С можно совместить с гранью В, грань В — с гранью D, а грань D — с гранью А. В свою очередь, вертикальные грани фигуры аналогичным образом совмещаются друг с другом: грань а (90°; ср) — с гранью с (90°; ф + л/2), грань с (90°; ф + л/2) — с гранью b (90°; ф + л), грань b (90°; ф + л) — с гранью d (90°;
Ф+ Зл/2), грань d (90°; ф + Зл/2) — с гранью а (90°; ф ) .
Приведенный пример позволяет наглядно убедиться в отсутствии центра симметрии у инверсионной оси симметрии четвертого порядка. Если бы такой центр присутствовал, то у каждой грани обязательно присутствовало бы соот ветствующее отражение — аналогичная грань в диаметрально противополож ной точке сферы.
К инверсионному классу симметрии 6 принадлежат кристаллы, грани кото рых связаны единственным элементом симметрии — инверсионной оси сим метрии шестого порядка Ьг. Для примера рассмотрим вертикальные грани тригональной призмы (с поперечным сечением в виде равностороннего треуголь ника) (рис. 1.7, а). Стереографические проекции их нормалей представлены на рис. 7.5, г. Хотя грани этой призмы повторяются через каждые 120°, было бы преждевременным принять этот угол за элементарный угол.
Действительно, если грань А повернуть всего на 60° (против часовой стрел ки), то после отражения в центре инверсии (в центре сферы проекций) эта грань совместится с аналогичной гранью С. После такого же поворота и отра жения в центре инверсии грань С совместится с гранью В, а грань В — с гранью А. Следовательно, грани тригональной призмы связаны друг с другом верти кальной инверсионной осью симметрии шестого порядка, которая включает в себя два симметрических преобразования: поворот на элементарный угол 60° и отражение в центре инверсии — зеркальной точке, как в центре симметрии.
Подтвердим правильность такого определения. Повернем (против часовой стрелки) грань тригональной дипирамиды А (р; ф = 30°) на 60° — элементар ный угол, характерный для оси симметрии шестого порядка (рис. 7.5, д), и отра зим ее в центре инверсии (т.е. в центральной точке сферы проекций — в дан ном случае ее можно назвать зеркальной точкой). В результате этих преобразо ваний грань А совместится с эквивалентной гранью F (л — р; ф = 150°) на нижней полусфере. Аналогичным образом эта вертикальная инверсионная ось
симметрии шестого порядка поможет совместить грань F с гранью В, грань В — с гранью D, грань D — с гранью С, грань С — с гранью Е, грань Е — с гранью А.
Кроме того отметим, что симметрическое преобразование, описываемое ин версионной осью симметрии шестого порядка, можно заменить двумя просты ми симметрическими преобразованиями — поворотом вокруг простой пово ротной оси симметрии третьего порядка L3на 120° и отражением в перпенди кулярной плоскости симметрии, что покажем на примере тригональной дипи рамиды (рис. 1.9, а).
Действительно, грань А (рис. 7.5, д) после поворота на 120° и отражения в горизонтальной плоскости совместится с равной ей гранью Е (на нижней по лусфере). Грань Е, в свою очередь, после аналогичных преобразований займет положение равной ей грани С (на верхней полусфере), грань С займет положе ние грани D, грань D заместит грань В, грань В сменит грань F и, наконец, грань F займет положение грани А и замкнет цепочку симметрических преобразова ний, эквивалентных инверсионной оси симметрии шестого порядка.
Завершая рассмотрение первой партии точечных ipynn (классов) симмет рии, которые представлены единственными элементами симметрии, перейдем к классу симметрии т, кристаллы которого содержат единственную плоскость симметрии. Взаимное расположение стереографических проекций граней, ко торые связывает друг с другом эта плоскость симметрии, существенным обра зом зависит от пространственной ориентировки самой плоскости симметрии, поэтому в дальнейшем изложении рассмотрим любые возможные положения плоскости симметрии.
Горизонтальная плоскость симметрии связывает друг с другом грани А и В (рис. 7.6, а). Их стереографические проекции (подразумеваем, конечно, стерео графические проекции их нормалей) накладываются друг на друга. Поэтому обе грани будут характеризоваться одинаковой долготой ср, а их полярные рас стояния будут: для грани А — р, а для грани В — (я - р).
Вертикальная плоскость симметрии Р связывает друг с другом грани А и В (рис. 7.6, б). В отличие от предыдущего случая, когда проекции симметричных граней располагались на разных полусферах (рис. 7.6, а), при отражении проек ции в вертикальной плоскости симметрии ее полусфера остается прежней. Если полярные координаты грани А (р; ср), то полярное расстояние грани достанется прежним (р), а долгота грани В изменится на величину я: (ср + л).
Для построения отражения стереографической проекции грани А (р; <р) в наклонной плоскости симметрии Р (рис. 7.6, в) совместим центральным пово ротом кальки точки С и Я плоскости симметрии с вертикальным диаметром сетки Вульфа (рис. 7.6, г). Через полюсы сетки Вульфа и проекцию грани А проведем меридиональную дугу НаАС. По горизонтальному диаметру сетки Вульфа отложим отрезок Ьс, равный отрезку ab — углу между плоскостью сим метрии Р и меридиональной плоскостью НаАС, и проведем еще одну меридио нальную дугу НсС. Теперь осталось отложить на новом меридиане угловой от резок ВС, равный дуге АС. Точка В — искомая стереографическая проекция нормали грани, которую наклонная плоскость симметрии Р связывает с гранью А. На рис. 7.6, д показан результат возврата стереографической проекции в ис ходное положение.
Данный обзор был посвящен анализу одиночных, изолированных элементов симметрии, связывающих друг с другом аналогичные, равные и равноценные грани кристалла, ребра кристалла, эквивалентные атомные плоскости, анало гичные атомные ряды. Цель этого обзора — не только в ознакомлении с деся тью простейшими точечными группами (классами) симметрии, но и в подго товке к анализу более сложных объектов: стереографических проекций граней кристаллических многогранников, когда взаимосвязь граней кристалла опреде ляется не одним отдельным, одиночным изолированным элементом симмет рии, а всей совокупностью многих элементов симметрии, которыми многие кри сталлы довольно богаты.
Предстоящая расшифровка стереографических проекций, благодаря кото рым можно с математической точностью описывать взаимное пространствен ное расположение неограниченного множества атомных рядов и атомных плос костей кристалла, осложняется не только количеством одновременно присут-
Рис. 7.6. Объединение граней А и В плоскостью симметрии: а — горизонтальной Р, б — вертикальной Р, в — наклонной Р (исходная грань А); г — наклон ной Р (построение отражения грани А в этой плоско сти); д — наклонной Р (связывает грани А и В)
ствующих в кристалле разнообразных элементов симметрии, но и тем, что эти элементы симметрии еще вступают друг с другом в сложное взаимодействие, к анализу которого приступаем в следующем пункте.
7.2. Взаимодействие элементов симметрии кристаллических многогранников
Рассмотрим пять задач (условно именуемых теоремами) взаимодействия элементов симметрии: 1) плоскостей симметрии друг с другом; 2) простых осей симметрии друг с другом; 3) осей симметрии с параллельными плоско стями симметрии; 4) осей симметрии четного порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии (или с центром симметрии); 5) оси симметрии Ln с перпендикулярной осью симметрии второго порядка Lr
Теорема 1. Линия пересечения плоскостей симметрии является осью симметрии
Рассмотрим взаимодействие двух вертикальных плоскостей симметрии Рх и Р2, образующих двугранный угол 0 (рис. 7.7, а), а также несимметричную фиг. А, с тем чтобы проанализировать результат последовательного отражения этой фи гуры в обеих плоскостях симметрии.
Зеркальное отражение фиг. А в вертикальной плоскости Рхприводит к по явлению фиг. В. Хотя предмет и его изображение связаны симметрией, однако очевидно, что «хвосты» обеих фигур обращены в разные стороны. Последующее отражение фиг. В во второй плоскости симметрии Р2 (отражение отражения) представлено фиг. С, у которой «хвост» вновь повернут в исходное положение (вправо).
Таким образом, результат последовательного отражения пробной фиг. А в двух пересекающихся под углом 0 плоскостях симметрии полностью эквива лентен повороту на угол 20 вокруг линии L пересечения этих плоскостей. Сле довательно, линия L на самом деле является осью симметрии.
Если двугранный угол между плоскостями симметрии Рхи Р2 составлял 0, то, заменяя отражение исходной фиг. А в плоскостях симметрии Рхи Р2 одним поворотом фиг. А на угол 20 относительно линии пересечения плоскостей L, перейдем от двукратного симметрического преобразования одного типа (отра жения в зеркальной плоскости симметрии) к однократному симметрическому преобразованию другого типа (повороту вокруг оси симметрии), что является Доказательством логического заключения.
Рассмотренный результат взаимодействия пересекающихся плоскостей сим метрии имеет ряд немаловажных следствий. Во-первых, из того факта, что угол поворота фиг. А в два раза превышает угол между пересекающимися плоско стями симметрии, следует весьма серьезный вывод об ограничении возможных знач^ний между плоскостями симметрии в кристалле. Действительно, разре шенные углы между плоскостями симметрии в кристаллах ограничены лишь следующими величинами: 30°, 45°, 60° и 90°, поскольку кристаллы могут иметь только оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков (с со-
о
Рис. 7.7. К взаимодействию элементов симметрии друг с другом: плоскостей симметрии (а); осей симметрии (б); оси симметрии с плоскостью симметрии (в)\ оси симметрии четного порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии (г); оси симметрии с центром симметрии (д); оси симметрии Ln с перпендикулярной осью симметрии второго порядка Ь2 (е)
ответствующими элементарными углами 180°, 120°, 90° и 60°). Во-вторых, линия пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии является осью симметрии второго порядка. Этот частный случай имеет важное значение, поскольку довольно часто встречается при решении теоретических и практи ческих задач (например, при пересечении вертикальных и горизонтальных плос костей симметрии друг с другом). В-третьих, в ряде теоретических выкладок можно прибегнуть к эквивалентной замене простой поворотной оси симмет-
Аналогичным образом можно показать, что при взаимодействии оси сим метрии шестого порядка с параллельной плоскостью симметрии возникнет шесть таких плоскостей симметрии под углами 30°, а при взаимодействии оси сим метрии третьего порядка с параллельной плоскостью симметрии возникнет три таких плоскости симметрии под углами 60° и т.д.
Теорема 4. При взаимодействии оси симметрии четного порядка Ьгк с перпендикулярной плоскостью симметрии Р возникает центр симметрии С
На рис. 7.7, г показаны вертикальная ось симметрии второго порядка Ь2 и горизонтальная плоскость симметрии Р, а также исходная несимметричная фиг. 1, верхняя и нижняя поверхности которой окрашены в разные цвета (белый и черный). Повернув фиг. 1 вокруг оси симметрии на элементарный угол 180°, мы получим фиг.2, обращенную к нам своей нижней (черной) стороной. Затем, воспользовавшись плоскостью симметрии Р, получим фиг. 3 и 4.
Для расшифровки полученного результата (рис. 7.7, г) сопоставим его с (рис. 7.7, д), где показан результат размножения аналогичной фиг.1 с помощью центра симметрии С. Сопоставление обоих результатов позволяет сделать вы вод о присутствии в обоих случаях одного и того же элемента симметрии — центра симметрии. Действительно, подобно рис. 7.7, д, где обе фигуры, связан ные центром симметрии, обращены к нам разными своими сторонами, на рис. 7.7, г присутствуют такие же разноцветные пары: фиг. 1 и 4, фиг. 3 и 2.
Важные следствия теоремы 4 сформулированы ниже.
1.Если у кристаллического многогранника имеется ось симметрии четного порядка и центр симметрии, то у него обязательно должна быть плоскость сим метрии, перпендикулярная указанной оси симметрии.
2.Если у кристаллического многогранника обнаружены плоскость симмет рии и центр симметрии, то у него обязательно должна быть простая ось сим метрии четного порядка, которая располагается перпендикулярно плоскости симметрии.
Теорема 5. При взаимодействии простой оси симметрии (л-го порядка) Lnс перпендикулярной осью симметрии второго порядка Ьг возникает и таких же осей симметрии Lv которые образуют друг с другом углы, равные половине элементарного угла
Для доказательства этого положения рассмотрим взаимодействие вертикаль ной простой оси симметрии шестого порядка Ь6 и горизонтальной оси симмет рии второго порядка L2 (рис. 7.7, е). После размножения пробной фиг. 1 с помо щью вертикальной оси симметрии Ь6 получим аналогичные фиг. 2—6. Затем продолжим размножение пробных фигур с помощью горизонтальной оси сим метрии Ь2 и получим еще шесть фигур: 1 —6', обращенных к нам своими ниж ними сторонами.
Таким образом, взаимодействие вертикальной оси симметрии шестого по-