Практическая кристаллография
..pdfПодставим результаты замены переменных в условие нормировки (4.11):
(.х)2 + (2х)2 + (Зх)2 = 1 . |
(4.12) |
В результате решения этого уравнения получим значение направляющего косинуса для первого координатного угла X: х = ±7 (1 /1 4 ) = ±0,26726. Знак «минус» можно не учитывать, поскольку все индексы данного направления яв ляются величинами положительными. Для второго координатного угла ц значе ние направляющего косинуса равно 0,53452. Для третьего угла v направляющий косинус равен 0,80178. С помощью обратных тригонометрических функций можем определить реальные значения самих координатных углов:
X = |
arccosx = |
arccos 0,26726 |
= 74,4986°, |
ц = |
arccos2x = |
arccos 0,53452 |
= 57,6885°, |
v = |
arccos3x= arccos 0,80178 = 36,6992° |
||
Ознакомившись с методом определения направляющих косинусов по изве стному символу кристаллографического направления, определим значения ко ординатных углов для объемной диагонали ОМ куба (рис. 4.2, а). Учитывая рав ный наклон этой диагонали по отношению ко всем трем координатным осям (объемная диагональ в кубе является осью симметрии третьего порядка), мо жем считать все три координатных угла одинаковыми и в соответствии с (4.9) принять для нее символ [111]. Тогда из условия нормировки (4.11) определим значения направляющих косинусов
cosX = cosp = cosv := 7(1/3) = 0,57735 |
(4.13) |
и для координатных углов получим соответствующие значения
X = ц = v = arccos 0,57735 = 54,7356°
Завершим анализ формулы (4.9) примером расчета символа направления в кубическом кристалле по результатам практического определения координат ных углов X = 77,5°, ц = 55,0°, v = 37,5° В соответствии с (4.9) попробуем определить отношения индексов:
и |
v w = cos 77,5°: cos 55,0°: cos 37,5° = 0,2164 0,5736 0,7934 = |
= 1 |
2,651 : 3,666. |
Полученные численные отношения, к сожалению, не оказались целочислен ными. Полагая, что наблюдаемые отклонения от целых чисел являются ре зультатом погрешностей измерения координатных углов, проведем округле ние указанных экспериментальных отношений: и v w - 1 3 4. По анало гии с предыдущими расчетами, используя уравнения типа (4.11) и (4.12), по
лучим соответствующие значения координатных углов для кристаллографи ческого направления [134]: X = 78,70°; ц = 53,98°; v = 38,37° Таким образом, в нашем случае возможная инструментальная ошибка А может составлять ±(0,9-5-1,2)°. Действительно, АХ = —1,2°; Дц = +1,0°; Av = +0,9°
Рассмотренный метод определения символов кристаллографических направ лений по направляющим косинусам широко используется для уточнения про странственной ориентировки атомных рядов и осей симметрии.
4.7. Определение символов направлений по координатам двух точек
До сих пор мы ограничивались определением символов направлений, кото рые проходили через начало координат: символ направления определялся либо по координатам радиус-вектора (4.2), либо по направляющим косинусам ради ус-вектора (4.8). И хотя мы уже упоминали о праве параллельного переноса осей координат, которое позволяет значительно расширить возможности рассмот ренных методов определения символов направлений и атомных рядов, однако пока еще не касались решения общей задачи, когда направление задается лю бой парой точек.
Отметим, что во многих предшествовавших построениях кристаллическая структура как бы совмещалась со своей координатной системой, точнее, с мате матической моделью кристаллической структуры (с ее собственной простран ственной решеткой). Поскольку между кристаллической структурой и ее про странственной решеткой имеется строгое геометрическое и размерное соответ ствие, каждому узлу пространственной решетки соответствует атом в кристал лической структуре. При этом координаты узлов пространственной решетки отождествляются с координатами соответствующих атомов кристаллической структуры.
Переходим к решению упомянутой общей задачи, где требуется определить символ направления в кристалле, которое задано двумя точками: Л(и,; v,; w,) и В(и2; v2; w2). В качестве таковых точек подразумеваются как атомы кристалли ческой структуры, так и соответствующие узлы пространственной решетки. По
строим соответствующие радиус-векторы: |
|
|
ОА *= |
+ v,b + w,c; OB = и2а + v2b + w2с. |
(4.14) |
Достроим третью сторону векторного треугольника ОАВ — вектор АВ
(рис. 4.5, а): |
|
АВ = ОВ —ОА = (ы2 —«,)а + (v2 - v,)b + (w2 - w^c. |
(4.15) |
Из последнего выражения в соответствии с определением (4.2) Можно най ти индексы [MVW] искомого символа направления АВ:
и v w - (ы2 - «,) (v2 - v,) (w2 - w,). |
(4.16) |
Рис. 4.5. Символ направления по двум точкам (а) и инвариантность символа направления в кристалле (б)
Таким образом, если известны координаты двух любых атомов, принадлежа щих данному направлению, — индексы этого направления определяют из отно шений разностей координат. При определении символа атомного ряда вносят поправку на двойной знак:
и v w = ±(и2 - «,) (v2 - V,) (w2 - w,). |
(4.17) |
В частном случае, когда одна из двух точек совпадает с началом коорди нат (радиус-вектор ОА вырождается в точку и, = v, = w, = 0), выражения (4.16) и (4.17) переходят в (4.2) и (4.3) соответственно.
Определим символ направления АВ (рис. 4.5, а). По координатам атомов
А( 1; 0; |
1) и В(0; 1; 1) найдем искомый символ с помощью соотношения |
(4.16) |
: и : v^w = (0 — 1) (1 —0) (1 —1) = Т: 1 0. Итак, символ направле |
ния АВ — [ПО]. Для одноименного атомного ряда будем иметь символ ±[Il0] или ±[110] (что то же самое). Такой же результат можно получить, если, используя право параллельного переноса координатных осей, перенести нача ло координат в точку А. Тогда точка В изменит свои координаты на В(Т; 1; 0), и получим тот же символ для направления АВ: [110].
Определим символ направления LH (рис. 4.5, б). Воспользуемся исходными ра диус-векторами OL и ОН. Подставим координаты атомов 1(1; 1; 1) и Я(1; 1; 1) в выражение (4.16) и v w = (1 — 1) (1 ~ I) (1 — 1) = 0 2 0 = 0 1 0 и получим в соответствии с (4.16) символ направления LH [010].
Убедимся, что символ кристаллографического направления не зависит от положения начала координат и является величиной инвариантной. Выберем, например, начало координат не в точке О, а в точке Е. В этом случае координаты точек L и Я изменятся: Ц 1; 0; 1) и Я(1; 2; 1). Подставим новые координаты в формулу (4.16): и : v : w = (1 —1) (2 —0) (1 —1) = 0 2 0 = 0 1 0 и вновь получим для направления LH символ [010]. Напомним, что сокращение в по следнем равенстве (на множитель 2) является результатом сокращения тройки индексов направления на общий множитель, поскольку индексы должны быть числами взаимно простыми.
4.8. Определение символа направления по известному символу другого направления
В некоторых случаях, когда нельзя воспользоваться ни определением симво ла направления по координатам радиус-вектора (4.4), ни определением симво ла направления по направляющим косинусам (4.8), которые включают в себя отношения осевых (масштабных) единиц а0, Ь0и с0, можно использовать следу ющий метод определения искомого символа направления в кристалле [M2V2W2] по известному символу другого направления
Для решения задачи воспользуемся методом направляющих косинусов и составим соответствующие выражения для индексов обоих направлений:
Mi |
vi |
wi = |
(cosXj/a0) |
(cos^x,/bQ) |
(cosv,/c0), |
(4.18) |
u2 |
v2 |
w2 = |
(cosX2/ a0) |
(cos\i2/b0) |
(cosv2/c0). |
(4.19) |
Разделим (4.19) на (4.18) и получим соотношение для определения индек сов искомого направления:
и2 v2 w2 = ы,(cosX2/cosX,) v,(cosp2/cosp,) w^cosvj/cosv,), |
(4.20) |
которое не зависит от осевых (масштабных) единиц а0, Ь0 и с0
4.9.Особенности определения символов ребер и атомных рядов
вгексагональных кристаллах
Перед анализом особенностей описания направлений в гексагональных кри сталлах напомним некоторые свойства индексов и, v, w и символов [мги>].
Несмотря на свою внешнюю простоту, описание одной из важнейших характеристик кристаллического вещества — направления в кристалле — сим волом [i/wj позволяет с математической точностью идентифицировать направ ление любого ребра кристалла, любого атомного ряда.
Важным достоинством этих символов является их однотипность, внешнее сходство при описании эквивалентных, симметричных направлений в кристал лах, обладающих одинаковыми физическими свойствами. Уникальные досто инства этих весьма простых и компактных кристаллографических символов обеспечиваются благодаря удачному учету закономерностей атомного строе ния кристаллов и строгому соблюдению четких правил индицирования направ лений в кристаллах, которые вырабатывались в течение XIX века.
Однако в силу особой специфики гексагональных кристаллов их описание на базе обычной общепринятой трехосной декартовой системы координат ока залось недостаточным, хотя, казалось бы, трехмерная декартова система коорди нат позволяет с математической точностью определить положение каждого атома в трехмерном пространстве кристалла.
Как известно, гексагональные кристаллы описываются координатной си стемой, которая учитывает их особенности (а0 = Ь0*со; а = р = 90°; у = 120°). Однако попытки описать симметрично равные (связанные законной вер тикальной осью симметрии шестого порядка L6) направления ОА, ОВ и ОЕ в гексагональной призме (рис. 4.6, а) приводят к сомнительному ре зультату: символы этих эквивалентных направлений описываются разно типными символами: ОА ~ [100], ОЕ - [110], ОВ - [010]. Действительно, подставив координаты точки А( 1; 0; 0) в соотношение (4.2), получим сим вол [100] направления ОА. Аналогичным образом, подставив координаты точки Е( 1; 1; 0) в (4.2), получим символ [110] направления ОЕ, а по коор динатам точки В(0; 1; 0) найдем символ [010] направления ОВ. Здесь символ направления ОЕ принципиально отличается от символов эквива лентных направлений ОА и ОВ, хотя эти три направления являются сим метрично равными.
В качестве внешней причины указанного несоответствия можно упомянуть различное расположение горизонтальных ребер гексагональной призмы по от ношению к осям координат: если каждое из ребер ОА и ОВ ориентировано параллельно одной из горизонтальных осей симметрии, то ребро ОЕ располага ется косо по отношению к этим координатным направлениям.
Анализ причин нарушения однотипности символов при индицировании на правлений в гексагональных кристаллах приводит к несоответствию между сим метрией кристалла, с одной стороны, и симметрией использованной для описа ния свойств этого кристалла координатной системы, с другой стороны. На са мом деле, если эквивалентные горизонтальные атомные ряды в структуре гек сагонального кристалла совмещаются друг с другом в результате поворота вок руг вертикальной оси симметрии шестого порядка на угол, кратный элементар ному углу 60°, то при повороте на 120° вокруг той же вертикальной оси симмет рии горизонтальные оси координат не совмещаются друг с другом. Действи тельно, если при повороте против часовой стрелки ось ОХудается совместить с Положением оси OY, то ось OYпри повороте на тот же угол в том же направле нии не удается совместить с эквивалентной горизонтальной осью координат (ввиду отсутствия таковой).
Рис. 4.6. К определению направлений в гексагональном кристалле (а) и вспомогательная система координат для них (б)
Проведенный анализ появления разнотипности символов эквивалентных направлений в гексагональных кристаллах при индицировании их в обычной трехосной декартовой системе координат привел в свое время Браве к Идее
заменить трехосную координатную систему на четырехосную. Действительно, если к двум горизонтальным осям координат ОХ и OY добавить еще одну горизон тальную ось координат OUтаким образом, чтобы эта новая, дополнительная 0сь OU составляла со старыми осями координат ОХ и OY одинаковые углы по 120° (рис.4.6, б) (при таких же осевых единицах а0), то в результате такой реконст рукции удастся устранить вышеуказанное противоречие между симметрией кристалла и симметрией новой, четырехосной координатной системы. Теперь при повороте на 120° вокруг вертикальной координатной оси OZ против часо вой стрелки ось ОХ займет положение оси OY, ось OY займет положение новой оси OU, а эта новая ось OUзаймет положение оси ОХ, т.е. при повороте на угол, кратный элементарному, произойдет совмещение всех трех эквивалентных го ризонтальных координатных направлений.
Прежде чем показать практические преимущества новой, четырехосной ко ординатной системы (по сравнению с рассмотренной выше трехосной), По пробуем сориентироваться в новой системе. Если в прежней обычной трехос ной координатной системе не было затруднений с элементарным определе нием координат точки, то с добавлением четвертой оси координат неизбежно возникают проблемы: определение координат точки становится неоднознач ным (потому что пространство кристалла остается трехмерным!). В целях обес печения однозначного определения символов направлений при индицирова нии гексагональных кристаллов Браве предложил использовать специальные формулы для перехода от трехосных символов направления [wvw] к четырех осным [г, г2г3 г4]:
г| = 2и v; r2= 2v~ и; г3 = - и - v; r4 = 3w. |
(4.21) |
Важным следствием приведенных переходных формул Браве (4.21) являет ся обязательное равенство нулю суммы первых трех индексов четырехосного символа направления:
г, + г2 + г3 = 0. |
(4.22) |
Приведенные соотношения (4.21) и (4.22) позволяют не только исключить нежелательные последствия возможного неоднозначного определения коорди нат точки в четырехосной системе координат, но и сделать однотипными сим волы эквивалентных направлений в гексагональных кристаллах (которые свя заны элементами симметрии). С помощью формул (4.21) пересчитаем трехос ные символы направлений в гексагональной призме (рис. 4.6, б) на четырех осные по Браве: ОА - [2ll0]; ОЕ ~ [1120]; ОВ - [Ш 0]. Таким образом, в результате применения четырехосной системы координат (по Браве) уда
лось обеспечить достижение однотипности символов эквивалентных направ лений.
Отметим, что переход от трехосных символов направлений Миллера к четы рехосным символам направлений Браве требуется лишь в тех случаях, когда по условиям задачи необходимо выявить в кристалле наличие эквивалентных на правлений (как в вышеприведенном примере). В большинстве случаев доста точно использовать символы Миллера.
Обратный переход от символов Браве к символам Миллера осуществляется
по следующим формулам: |
|
и = (2г, + г2)/3; v = (г, + 2r2)/3; W = г/.3. |
(4.23) |
В заключение рассмотрим применение метода направляющих косинусов для гексагональных кристаллов, который позволяет определить численные значе ния индексов направления по его координатным углам с учетом соотношения между осевыми (масштабными) единицами:
г\ : г2 '■гг: r4 = (cosХ/а0) (cosц/а0) (cose/a0) (3/2)(cosv/c0), |
(4.24) |
где к трем привычным координатным углам X, ц, v заданного направления в гексагональном кристалле с осями OX, OY и OZ добавился еще четвертый угол е с новой координатной осью OU. Приведенную формулу для определения сим вола направления методом направляющих косинусов можно представить в бо лее компактном виде:
гх Г 2 гз r 4 = cos^ cosfA• C0SE (3/2)(a0/c0)c°sv. |
(4.25) |
Для проверки работы указанной формулы потребуется определить величину угла 0 между двумя направлениями [w1v1w1] и [H2V2W2] в гексагональном крис талле:
cos0 = [ихи2 + v,v2 - 0,5-(«,V2 + U2v x) + и>xw2(cjaaf] (А-В), |
(4.26) |
где
А = ^и2 +V,2 - w,v, + (с0 /flo)V ; |
(4.27) |
в e V« 2 +V2 - u2v2 + (cQ/ a0)2 w\ |
(4.28) |
Для определенности положим величину отношения осевых (масштабных) единиц cja 0 = 1,633. Чтобы определить символ направления в гексагональном Кристалле методом направляющих косинусов (4.25), выберем, например, направ ление OR ~ [ ш ] = [111] (рис. 4.6, б) и найдем для него косинусы координат ных углов по формулам (4.26), (4.27) и (4.28).
4. K.M . Розин |
97 |
Начнем с угла между выбранным направлением OR - [111] (рис. 4.6, б) и осью ОХ [100]: cosX = 0,2611. Таким же будет и другой координатный угол ц между направлением OR ~ [111] и осью 0У[О1О]: cosp. = 0,2611 (X = р = 74,86°). Направляющий косинус третьего координатного угла е между направлением OR - [111] и осью 01): cose = —0,5222 (е = 121,4820°). И наконец, рассчитаем по формулам (4.26), (4.27), (4.28) четвертый направляющий косинус координатно го угла v между выбранным направлением OR - [111] и осью OZ [001]: cosv = = 0,8528 (v = 31,4820°). Подставим найденные значения направляющих косину сов направления [111] в соотношение (4.25), учитывая указанное отношение
осевых единиц |
= 1,633): |
|
|
|
|
г, г2 гг |
г4 = 0,2611 0,2611 |
(-0,5222) |
[(3/2) |
0,8528/1,633] = |
|
= 0,2611 |
0,2611 |
(-0,5222) |
0,7833 = 1 |
1 2 |
3. |
Таким образом, с помощью метода направляющих косинусов установили, что трехосному символу направления [111] соответствует четырехосный сим вол того же направления [1123], что вполне соответствует переходным форму лам (4.21).
Воспользуемся этим примером, чтобы отметить примечательную особенность использованного метода направляющих косинусов: сумма первых трех направ-
Рис. 4.7. Сопоставление символов направлений [UVM>] и [/у /3г4]
ляющих косинусов равна нулю, что является следствием геометрических осо бенностей четырехосной координатной системы Браве:
cosX + cosp + COSE = 0. |
(4.29) |
Следует добавить, что четырехосную систему Браве используют также ввиду
ееудобства для описания направлений в кристаллах тригональной сингонии. Что касается определения символов атомных рядов в гексагональных крис
таллах, то отличие этих символов от соответствующих символов направлений сводится лишь к двузначности первых: перед символами атомных рядов ста вятся знаки плюс-минус (±). Например, атомный ряд ОА (рис. 4.6, а) можно обозначить двумя способами: ±[100] либо ±[2П0].
Сопоставление обеих систем символов направлений в гексагональных кри сталлах представлено на рис. 4.7. Многочисленные примеры индицирования направлений в гексагональных кристаллах приведены в гл. 10: «Решение комп лексных задач».
4.10. Определение углов между направлениями в кристалле
Кристаллические тела обладают уникальной особенностью: их свойства за висят от направления. Примеры анизотропии свойств кристаллов уже упоми нались в пособии. В связи с этим задача определения углов между направлени
ями в кристалле приобретает особую актуальность. |
|
Для определения угла 0 между направлениями |
и [U2V2W2] вернемся к |
исходным векторным обозначениям соответствующих направлений: R, = и,а + |
|
+ Vjb + и>,с и Rj = и2а + v2b + w2c. Составив скалярное произведение этих
векторов (R^Rj) = |
|R,| • |R^J -cos0, найдем искомое выражение: |
(R,-R2) |
(4.30) |
(|R,NR2|)
Учитывая использованное выше выражение cos0 для гексагональных и тригональных кристаллов (4.28), приведем соответствующие развернутые выраже ния cos0 для кристаллов некоторых других сингоний.
Так, для кристаллов кубической сингонии угол 0 между направлениями [«,v|wI] и [W2V2W2] определяется выражением, которое уже использовалось в предыдущих главах:
COS0 = |
и,и2+v,v2 + wtw2 |
(4.31) |
|
\Juf + v,2 + w2{ yjul + V2 + w\
Для кристаллов тетрагональной сингонии аналогичный угол определяется с уче том конкретного соотношения между осевыми (масштабными) единицами cja^.
COS0 = |
_______ U,U2+ ViV2 + W, W2(C0/ flp)2 |
(4.32) |
|
|
^juf + v,2 + wf (c0 / a0)2yjul + v2 + w2(c0 / a0) 2 |
Для кристаллов ромбической сингонии угол 0 между направлениями [и ,^ ,]
и [M2V2W2] определяется выражением |
|
|
|
COS0 = |
щи2аг0 +у,уА2 +wxw2cl |
|
(4.33) |
2 |
2 2 |
||
л/и^ |
+ v260 + и>2с0 j u 2a 2 + v,2b, |
+ и*с„ |
|
Для кристаллов гексагональной сингонии аналогичный угол определяется с учетом конкретного соотношения между осевыми (масштабными) единицами Со/а0:
“i«2 + V1V2 - ° , 5 -(«I V2 - u 2Vl) + wxW2(cJa0f |
(4.34) |
|
COS0 = |
м,v, + wl(c0 / a0)2yjul + v2 - w 2(c0/a0)2 |
|
yjuf + v2 - |
|
|
Выводы. Символы направлений и атомным рядов в кристаллах, несмотря на свою внешнюю предельную простоту, обладают множеством поразительных до стоинств: они позволяют с математической точностью охарактеризовать любое направление в кристалле, определить его пространственное положение, отли чить по внешнему виду символов плотноупакованные атомные ряды от других, выделить эквивалентные атомные ряды, обладающие одинаковой структурой и одинаковыми физическими свойствами, охарактеризовать анизотропию крис талла и его симметрию, рассчитать углы между различными направлениями, выделить атомные ряды, которые связаны друг с другом элементами симмет рии и обладают одинаковой структурой и одинаковыми свойствами.
Установив сингонию кристалла, определяют положение осей координат и отношение осевых (масштабных) единиц (по соответствующим межатомным расстояниям).
Символ кристаллографического направления [MVW] определяют либо по ко ординатам радиус-вектора (4.4), либо по направляющим косинусам (4.8), либо по координатам двух узлов пространственной решетки (4.16), либо с помощью известного символа какого-либо направления того же кристалла (4.20). По скольку определение символа направления в кристалле по координатам ради ус-вектора (4.2) является одним из наиболее простых методов описания крис таллов, то использование права параллельного переноса координатной системы
(или права переноса начала координат из одного узла пространственной ре шетки в другой узел пространственной решетки) во многих случаях позволяет существенным образом облегчить определение символов направлений и атом ных рядов.
Существенную пользу в освоении методов индицирования направлений и атомных рядов в кристаллах приносит проверка полученного результата всеми возможными способами. В частности, подобная методика может оказаться весь