Практическая кристаллография

ветствии с теоремой 1 (и международным символом данного класса симмет­ рии).

Таким образом, в результате проведенного анализа получим формулу симмет­ рии ЬгЗЬ24Р н о в о г о класса симметрии. Если вспомнить про проведенную экви­ валентную замену инверсионной оси симметрии шестого порядка на простую ось симметрии третьего порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии, то можно записать второй вариант формулы симметрии, совершенно равноценный первому варианту: ЬЪЗЬ2 ЗР, а также показать соответствующую второму варианту стереографическую проекцию элементов симметрии (рис. 7.14, б).

Сводка очередной партии точечных групп (классов) симметрии, характер­ ных для инверсионных осей симметрии, приведена в табл. 7.1 (№ 25—27).

7.4.Определение точечных групп (классов) симметрии высшей категории

иих международная символика

Международный символ класса симметрии кубических кристаллов форми­ руется следующим образом. В первой позиции этого символа указывается коор­ динатный элемент симметрии — символ координатной плоскости симметрии (/и), а если таковые плоскости симметрии в кубическом кристалле отсутствуют (и только в этом случае!), то в этой позиции международного символа указыва­ ется порядок координатной оси симметрии (2 или 4, или 4). Во второй позиции международного символа класса симметрии кубического кристалла указывает­ ся цифра 3, что служит признаком присутствия в кубическом кристалле четы­ рех осей симметрии третьего порядка (4Z,3), расположенных, как объемные диа­ гонали куба. И наконец, в последней, третьей позиции международного символа класса симметрии кубического кристалла указывается диагональный элемент симметрии: это в первую очередь диагональная плоскость симметрии (т), а в тех случаях, если таковых в кристалле нет, то указывают символ диагональной оси симметрии (2 или 4), а если отсутствуют и диагональные плоскости сим­ метрии, и диагональные оси симметрии, то третья позиция международного символа остается пустой.

Вотличие от вышеописанных точечных групп (классов) симметрии низшей

исредней категорий, классы симметрии высшей категории имеют множество осей симметрии высшего порядка, характерных для кубических кристаллов, вклю­ чая обязательное присутствие четырех осей симметрии третьего порядка — главного признака кристаллов кубической сингонии. Поэтому при анализе сим­ метрии кубических кристаллов целесообразно рассматривать не отдельные эле­ менты симметрии, а комплексы однотипных элементов симметрии. Оперирова­ ние такими комплексами элементов симметрии оказывается весьма удобным при анализе симметрии кубических кристаллов. Ниже перечислим семь таких комплексов и их характеристики.

1.Комплекс из четырех осей симметрии третьего порядка, которые входят обязательным элементом в каждый из пяти кубических классов симметрии (рис. 7.15, а).

2.Комплекс из трех взаимно перпендикулярных координатных инверсион­ ных осей симметрии четвертого порядка (рис. 7.15, 6 ).

Рис. 7.15. Стереографические проекции комплексов элементов симметрии кубических кристал­ лов: а— комплекс из четырех осей симметрии третьего порядка 4L3; б — комплекс из трех координатных инверсионных осей симметрии четвертого порядка 3 в — комплекс из трех координатных осей симметрии четвертого порядка 3L4; г — комплекс из трех координатных осей симметрии второго порядка 3Ь2\ д — комплекс из трех координатных плоскостей симмет­ рии 3Р \ е — комплекс из шести диагональных осей симметрии второго порядка 6L2; ж — комплекс из шести диагональных плоскостей симметрии 6Ртп

3.Комплекс из трех взаимно перпендикулярных координатных простых осей симметрии четвертого порядка (рис. 7.15, в).

4.Комплекс из трех взаимно перпендикулярных координатных осей сим­ метрии второго порядка, названных координатными, поскольку выполняют со­ ответствующие функции (рис. 7.15, г).

5.Комплекс из трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей симметрии, называемых так потому, что каждая из них располагается перпенди­ кулярно одной из осей координат (оставаясь параллельной двум другим осям координат) (рис. 7.15, д).

6.Комплекс из шести диагональных осей симметрии второго порядка, на­ званных диагональными, поскольку они располагаются по диагоналям между каждой парой осей координат (рис. 7.15, е).

7.Комплекс из шести диагональных плоскостей симметрии, названных так потому, что каждая из них располагается перпендикулярно одной из диагона­ лей между осями координат (рис. 7.15, ж).

Стереографические проекции четырех наклонных осей симметрии третьего порядка 4Lv ориентированных как объемные диагонали куба, располагаются в центрах октантов круга проекций (рис. 7.15, а), образуя с ближайшими осями координат углы по 54,74°, а друг с другом — углы по 70,52° и 109,44°

Стереографические проекции трех взаимно перпендикулярных инверсион­ ных осей симметрии четвертого порядка, принимаемых в кубических кристал­ лах за оси координат, располагаются на концах вертикального и горизонталь­ ного диаметров круга проекций и в его центре (рис. 7.15, б).

Стереографические проекции трех взаимно перпендикулярных простых осей симметрии четвертого порядка, принимаемых в кубических кристаллах за оси координат, располагаются на концах вертикального и горизонтального диамет­ ров круга проекций и в его центре (рис. 7.15, в).

Стереографические проекции трех взаимно перпендикулярных простых осей симметрии второго порядка, принимаемых в кубических кристаллах за оси ко­ ординат, располагаются на концах вертикального и горизонтального диаметров круга проекций и в его центре (рис. 7.15, г).

Стереографические проекции координатных плоскостей симметрии (рис. 7.15, д) проходят по горизонтальному (Pt) и вертикальному (Р2) диаметрам круга проекций, а также по контуру (Р3) этого круга, оставаясь равноудаленными от ближайших осей симметрии третьего порядка (как, например, плоскость сим­ метрии Р\ от осей Ьт и Т3(2)).

Ближайшие диагональные оси симметрии второго порядка (рис. 7.15, ё) об­ разуют друг с другом углы по 60° (как, например, ось Ь2{1) с осью Т2(2)), а с ближайшими осями симметрии третьего порядка — углы по 35,26° (как, напри­ мер, ось L2(l) с о с ь ю Z,3(1)). Диагональные оси симметрии второго порядка обра­ зуют с ближайшими координатными осями симметрии четвертого порядка углы по 45°

Стереографические проекции диагональных плоскостей симметрии (рис. 7.15, ж) проходят через оси симметрии третьего порядка и выходы одной из коор­ динатных осей симметрии. Так, диагональная плоскость симметрии Р2 проходит через оси симметрии Т3(|) и £3(3) и вертикальную координатную ось.

симметрии С (рис. 7.16, в). Действительно, тогда в полном соответствии с теоре­ мой 4 (следствие 3) возникнут три координатные плоскости симметрии (рис. 7.15, д), перпендикулярные координатным осям симметрии второго порядка (рис. 7.15, г). Формула симметрии ЪЬ2 4Ь2 ЪРС. Этому классу симметрии соответствует семейство граней дидодекаэдра {132}, представленных на рис. 7.16, в.

Если к элементам симметрии предыдущего (осевого) класса симметрии 432 добавить центр симметрии С, то в соответствии с теоремой 4 (следствие 3) возникнут новые элементы симметрии (рис. 7.16, г): плоскости симметрии, пер­ пендикулярные соответствующим осям симметрии четного порядка (три коор­ динатные плоскости симметрии (рис. 7.15, д), которые перпендикулярны осям симметрии четвертого порядка (рис. 7.15, в), и шесть диагональных плоскостей симметрии (рис. 7.15, ж), которые перпендикулярны осям симметрии второго порядка). Новому классу симметрии тЗт (читается: эм—три—эм) соответствует формула симметрии 3L44L2 6L2 9PC. Этому классу симметрии соответствует се­ мейство граней тригонгексаоктаэдра {213}, представленных на рис. 7.16, г.

Вывод пятой точечной группы (класса) симметрии 43т кубических крис­ таллов сопряжен с некоторыми трудностями: при работе с инверсионными осями симметрии нельзя использовать вышеприведенные теоремы взаимодей­ ствия элементов симметрии. Поэтому вынуждены обратиться к методу проб­ ных граней, последовательное применение которого позволит выявить весь комплекс элементов симметрии, входящих в данный класс симметрии.

Для пояснения рассмотрим результат размножения одной пробной грани 1 единственной наклонной осью симметрии третьего порядка (рис. 7.17, а). Полу­ чив проекции граней 1—3, имеем формальное право утверждать, что грани 1 и 2 связаны вертикальной плоскостью симметрии. Однако такое утверждение про­ тиворечит исходным условиям: никакой плоскостью симметрии мы не распо­ лагали.

Во избежание подобных недоразумений применяем простой прием: вместо одной пробной грани (как на рис. 7.17, а) возьмем тройку пробных граней (как на рис. 7.17, б), которые для лучшего обзора обозначим в виде условного сфери­ ческого треугольника. После размножения этой пробной тройки той же самой наклонной осью симметрии третьего порядка уже не возникают какие-либо иные элементы симметрии кроме исходной оси симметрии третьего порядка. В дальнейших операциях при выводе точечной группы (класса) симметрии 43т будем использовать описанный прием размножения пробной тройки граней, условно изображая тройку соответствующих стереографических проекций просто сферическим треугольником (рис. 7.17, в).

Размножим тройку пробных граней 1 вертикальной инверсионной осью сим­ метрии L? (рис. 7.17, г). В результате получим две тройки граней (1 и 2) на верхней полусфере и столько же на нижней (3 и 4).

Далее, продолжая размножение пробных граней другими элементами сим­ метрии — диагональными плоскостями симметрии (рис. 7.17, д) и наклонными осями симметрии 4Ь} (рис. 7.17, е), — завершим этот процесс.

В итоге получим полную совокупность элементов симметрии кубической инверсионной ТГС 43т, представленную на стереографической проекции (рис. 7.18): U J L fiР _ .

7.5. Классификация 32 точечных групп (классов) симметрии кристаллических многогранников

Напомним, что 32 точечные группы (классы) симметрии подразделяются на низшую, среднюю и высшую категории. Низшая категория включает восемь ТГС, которые совсем лишены осей симметрии высшего порядка (т.е. выше второго порядка). ТГС средней категории содержат по одной оси симметрии третьего, четвертого или шестого порядка в отличие от ТГС высшей категории, каждая из которых включает в себя несколько осей симметрии высшего порядка.

В свою очередь , внутри категорий точечные группы (классы) симметрии подразделяются по признакам симметрии на сингонии. Низшая категория де­ лится на три сингонии: триклинную (два самых бедных класса: 1 и 7), моно­ клинную (три комбинации из двух элементов симметрии: плоскости симмет­ рии (т) и оси симметрии второго порядка (2 )) и ромбическую (три комбина­ ции из трех плоскостей симметрии и трех осей симметрии второго порядка).

ТГС средней категории делятся на тригональную сингонию, куда входят ТГС с одной осью симметрии третьего порядка, на тетрагональную сингонию, вклю­ чающую в себя ТГС с одной осью симметрии четвертого порядка, и на гексаго­ нальную сингонию, ТГС которой имеют по одной оси симметрии шестого по­ рядка, причем это могут быть как простые оси симметрии, так и инверсионные.

Высшая категория представлена всего одной сингонией — кубической, каж­ дый из пяти классов симметрии которой помимо прочих элементов симметрии обязательно содержит четыре простых оси симметрии третьего порядка, ориен­ тированных как объемные диагонали куба.

В табл. 7.2 представлены (по сингониям) характеристики всех 32 точечных групп (классов) симметрии, отражающие их международные символы, форму­ лы симметрии, наименования наиболее характерных кристаллических много­ гранников (КМ), а также ссылки на рисунки этих многогранников и стереогра­ фические проекции (СП) соответствующих элементов симметрии.