Механика композиционных материалов
..pdfv |
t |
t |
|
(w(a, x)) = - L j |
j (do(t): П (t — x, x) : dcT(T)> = |
|
|
|
0 |
0 |
|
t |
t |
|
|
|
(da(t) :U ( t - T ) : {dajx)> = w0((a)), |
(1.30) |
|
о |
0 |
|
|
где h (/) называется эффективным тензором функций релаксации, |
|||
а H(t) — эффективным тензором функций ползучести. |
|
Для определяющих соотношений линейной теории вязкоупру
гости имеем |
|
t |
_ |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
(о ) |
= |
( j |
R ( /— t, x) : de (T)^ = |
Jh(* — T) : d (е(т)), |
|
|
|
|
6 |
~ |
о |
~ |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
(e) = |
( f П(* — T , X) : do(T)\ = |
f H |
— T) : d <а(т)>. |
(1.31) |
||
В дальнейшем мы будем использовать |
сокращенную |
запись |
||||
выражений |
(1.31): |
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) = h : (е ), <е> = |
Н : <£>. |
(1.32) |
Дать конкретную запись эффективных определяющих соотно шений для упруго-пластического тела труднее. Об этом речь пой дет в гл. 7.
§ 2. Теория эффективного модуля
Поставим в соответствие каждой неоднородной среде (компо зиту) с определяющими соотношениями (1.1), (1.2) однородную среду, описываемую определяющими соотношениями (1.3) и (1.4).
Тогда каждой краевой задаче МДТТ с определяющими соот ношениями (1.1), (1.2) соответствует краевая задача МДТТ для однородной («размазанной») среды с определяющими соотноше ниями (1.3) или (1.4).
^Теория, основанная на решении задачи МДТТ для «размазан ной» среды вместо исходной задачи для неоднородного тела, на зывается теорией эффективного модуля (этот метод был прежде всего предложен для решения задач об упругих композитах).
Для решения задачи теории эффективного модуля необходи мо знать эффективные определяющие соотношения, которые на ходятся экспериментально или теоретически. Во втором случае Для этой цели требуется решить задачи МДТТ (А и Б), описан ные в предыдущем параграфе. Получить аналитическое решение этих задач удается только в простейших случаях. Применение численных методов, вообще говоря, не позволяет найти аналити
ческого выражения для определяющих соотношений. Поэтому ча сто их находят приближенно, используя различные методы, в частности вариационные, причем в этом случае важно знать, с какой степенью точности приближенные определяющие соотно шения заменяют точные, т. е. установить области, внутри которых лежат точные эффективные характеристики (так называемые «вилки»).
Рассмотрим ^-компонентный композит. Пусть каждый его компонент описывается определяющими соотношениями
О д = |
^ а (б<х, X ) |
6 д |
= |
(Оа, X ) , (Z = |
1 , 2 , . . . ,C j, |
(2.1 ) |
где индекс а |
означает, |
что |
рассматриваемая |
величина |
относится |
к а-му компоненту композита. Определим для каждой такой ве личины, например, <уа среднее значение по компоненту а:
(^а)а |
( 2.2) |
где Va— объем, занимаемый а-ым компонентом. Если мы реши
ли какую-то задачу МДТТ, т. е. нашли поле перемещений и(х),
тензор деформаций е(х), тогда, производя осреднения по всему объему, получим, например,
(£) = |
^ уа(^а)а» |
(2.3) |
|
а=1 |
|
где |
|
|
|
|
(2.4) |
^объемная концентрация |
компонента а |
в композите. Точно |
так же |
|
|
(®) ~ |
va (ja)a. |
(2.5) |
|
a=l |
|
Из ,(2.4) следует очевидное равенство |
|
|
£ « * » = ! • |
(2.6) |
|
СХ=1 |
|
Если внутри каждого компонента материал непрерывно неодно роден, то предположим, что осреднение (2.1) дает
(£а >Х) ) а — /а ((^а )а )»
(2а> Х^ а ~ |
((^а)а). |
(2.7) |
Для каждой краевой задачи МДТТ существуют какие-то опера торы, связывающие средние деформации по компоненту а с средними деформациями по всему объему, занимаемому компози том. То же относится и к напряжениям
(еа)а = |
Д х((е)), |
а = |
1,2, |
,q, |
(2.8) |
(£а>а = |
Ва « с т », |
а = |
1,2, |
, q, |
(2.9) |
где Аа, Ва— некоторые |
неизвестные |
операторы — операторы |
кон |
центрации. Если эти операторы стали бы из каких-то соображе ний нам известны, то мы бы сразу получили эффективные харак
теристики композита. В самом деле, подставим (2.8) |
и (2.7) в |
(2.3). Тогда имеем |
|
(о) = £ VaJa (Аа « £ »)• |
(2.10) |
а=1 |
|
Сравнивая выражения (2.10) и (1.3), находим эффективные опре деляющие соотношения
7((б» = £ vaJa (Аа((в))). |
(2.11) |
Точно так же для деформаций |
|
< * > = £ * £ “ < ■ ! № » > • |
(2 Л 2 > |
а=1 |
|
и поэтому |
|
£ « Я » = £ |
(2.13) |
а=1 |
|
Хотя операторы Аа (2.8) и Ва (2.9) заранее неизвестны, мож но, принимая некие гипотезы относительно этих операторов, по лучать приближенное выражение для эффективных определяю щих соотношений.
Пусть, например, требуется решить квазистатическую задачу МДТТ в перемещениях (1.2.11), (1.2.9):
Div& {u t x) + X = 0, |
(2.14) |
и|21=ы °, & (и, x)-/z|v2= 5°, |
(2.15) |
т. е. найти вектор функцию перемещения иу решая векторное уравнение (2.14) при удовлетворении граничным условиям (2.15). По теории эффективного модуля мы ставим в соответствие зада че (2.14), (2.15) задачу
|
|
Div f (о) + X = 0, |
|
|
(2.16) |
|
|
» k |
= w°, £ (o ) - « k = S° |
|
|
(2.17) |
|
с теми |
же входными |
данными X , |
и0 и S°,HO с |
эффективными |
||
определяющими соотношениями. Решение |
v(x) |
задачи |
(2.16), |
|||
(2.17) |
— это решение |
осредненной |
задачи |
(2.14), (2.15), |
но не |
среднее значение решения задачи- (2.14), (2.15). Вектор < м > яв
ляется постоянным, а вектор v(x), вообще говоря, зависит от ко ординат, однако, как следует из предыдущего параграфа, «энер
гия» поля перемещения и и поля v совпадают:
J W(u)dV= |
j W0(v)dV |
(2.18) |
V |
V |
|
Разумеется, решение задачи по теории эффективного модуля нам ничего не скажет о характере распределения перемещений, деформаций и напряжений внутри каждого компонента (так на зываемых микроперемещений, микродеформаций и микронапря жений). Распределение этих величин может быть найдено только с помощью более совершенных теорий, чем теория эффективного модуля. При этом такие теории требуют знания материальных функций, характеризующих определяющие соотношения для каждого компонента композита, что иногда не только затрудни тельно, но и просто невозможно. В теории эффективного модуля для теоретического определения эффективных характеристик так же необходимо знание свойств его компонентов, но можно обой тись и экспериментальными исследованиями на представительных образцах.
ны |
Заметим, что если эффективные характеристики среды извест |
||||
и удается |
по ним |
восстановить операторы |
концентрации |
(2.8) |
|
и (2.9), то можно по |
средним напряжениям |
(которые найти |
не |
||
так |
сложно) |
найти средние микронапряжения в каждом компо |
|||
ненте. |
|
|
|
|
§ 3. Подходы Фойгта и Рейсса
Предположим, что в композите, каждый компонент которого описывается однородными определяющими соотношениями, осу ществляется однородная деформация, т. е.
|
еа = е = е°. |
(3.1) |
|
Тогда |
операторы концентрации |
(2.8) будут единичными |
и мы |
имеем |
из (2.11) |
|
|
|
<Я> = X |
(?°) = Г (1°) • |
(3.2) |
а = 1
Приближенный подход (3.1) для определения эффективных опре деляющих соотношений называется подходом Фойгта, а сами определяющие соотношения (3 .2)— определяющими соотношения ми Фойгта У (е). Если для каждого компонента композита «каса
тельный модуль» положителен, то он будет положителен и для определяющих соотношений (3.2). Скалярный оператор, соответ ствующий определяющим соотношениям Фойгта, обозначим через WF (WF(0) = 0). Тогда
|
дв |
Г (е). |
(3.3) |
Пусть потенциальный |
оператор |
\^о(е) соответствует |
эффектив- |
ным определяющим соотношениям |
(1^0(0)= 0 ) |
|
|
|
дГо(е) |
:/(е). |
(3.4) |
|
дв |
||
|
|
|
|
Тогда легко доказать, |
что $ > (е) |
ограничивает потенциал 1^0(е) |
|
сверху: |
|
|
|
|
W0( B ) < # F(e). |
(3.5) |
В самом деле, из вариационного принципа Лагранжа следует, что из всех кинематически допустимых систем действительная от
личается тем, что для нее лагранжиан |
в положении |
равновесия |
|||
имеет минимум, а из (1-26) |
следует, |
что |
минимум имеет и потен |
||
циал |
соответствующий |
задаче А |
с |
граничными |
условиями |
(1.7). Но таким же граничным условиям удовлетворяет и одно родная Деформация (3.1), а потому вектор перемещений, ей соот ветствующий, является кинематически допустимой системой, отку да и следует (3.5).
Предположим теперь, что в композите, каждый компонент ко торого описывается однородными определяющими соотношениями
(2.1), осуществляется однородное |
напряженное состояние |
|
||
|
£а = а=а°. |
|
(3.6)' |
|
Тогда |
операторы концентрации |
(2.9) |
будут единичными |
и из |
(2.12) |
получим |
|
|
|
|
<е) - £ |
= |
(£°)- |
(3.7) |
~а=1
Приближенное определение эффективных определяющих соотно шений, основанное На предположении (3.6), называется подходом
Рейсса, |
3 сами соотноЩения |
(3-7)— определяющими |
соотноше |
|
ниями |
Рейсса. Очевидно, |
что |
«касательная податливость» для |
|
(3.7) буДет положительна, |
если она положительна для |
каждого |
компонента композита. Обозначим скалярный оператор, соответ ствующей соотношениям Рейсса (3.7), через wR {wR(0) = 0):
dwR(a)
да |
= £*(«)• |
(3.8) |
Пусть потенциальный оператор |
w0(а) соответствует эффективным |
|
определяющим соотношениям |
|
|
5ш0(а) |
= £( 0). |
(3.9) |
да~ |
||
Тогда W R (O) ограничивает потенциал W0(a) |
сверху: |
|
w0 (о) < wR(<т). |
(3.10) |
В самом деле, из вариационного принципа Кастильяно следует, что из всех статически допустимых систем действительная отли
чается |
тем, что для |
нее кастильяниан в |
положении |
равновесия |
||||||
имеет |
максимум. Из |
(1.27) |
следует, что |
потенциал |
ш0, |
соответ |
||||
ствующий |
задаче Б с |
граничными |
условиями (1.13), |
имеет |
в по |
|||||
ложении |
равновесия |
минимум. Но |
граничным |
условиям |
(1.13) |
|||||
удовлетворяет и однородное |
напряжение |
(3.6), |
которое |
в |
силу |
эквивалентности задач Б и В является статически допустимой си стемой, откуда и следует (ЗЛО).
Неравенства (3.5) и (3.10) играют большую роль при иссле довании упругих композитов. Используя их, можно получить так называемую «вилку» Фойгта— Рейсса, т. е. ограничения сверху и
снизу |
на эффективные модули |
упругости (или |
на эффективные |
||
упругие податливости). |
|
модули Фойгта, |
соответствующие |
||
В |
самом деле, обозначая |
||||
(3.2), через hF, получим из (1.28) и (3.5) |
|
||||
|
|
e0:h :e 0< e ° :h F :e 0. |
(3.11) |
||
Используя |
сокращенную |
запись, принятую в § |
1 гл. 1, неравен |
||
ство |
(3.11) |
можно записать в виде |
|
||
|
|
h < h " |
(At/w< A f,«). |
(3.12) |
|
При этом, как следует из |
(3.2), |
|
|
||
|
|
|
hF = £ l> a C a , |
(3.13) |
|
|
|
|
|
a=l |
|
где Ca — тензоры модулей упругости a-го компонента композита, Н* — тензор упругих податливостей Рейсса, т. е. тензор, соответ
ствующий определяющим соотношениям (3.7) для упругих |
ком |
позитов. Получим из (1.28) и (3.10) |
|
о0 : Н : о0 < a ° : Н* : о0, |
(3.14) |
или в условной (сокращенной) записи |
|
Н « > Н (Н*ы > H(/w). |
(3.15) |
При этом, как следует из (3.7), |
|
H * = £ o aJa, |
(3.16) |
a = l |
|
где Ja — тензоры упругих податливостей |
a-го компонента компо |
зита. Пусть тензор четвертого ранга hR является обратным по от ношению к Ня:
|
|
h « = [ £ |
C-aJa]-' |
(3.17) |
|
|
|
a = l |
|
|
|
Тогда из (3.15)' для |
hH |
следует |
|
|
|
|
|
hRc h . |
|
(3.18) |
|
Сравнивая (3.12) и |
(3.18), получаем |
вилку Фойгта— Рейсса: |
|
||
|
|
h* < h |
< h F. |
(3.19) |
|
Упражнение 3.1. Показать, что для двухкомпонентного упруго |
|||||
го композита (q = 2) |
из |
(3.17) следует |
|
||
h* |
= |
С2: [уС2 + |
(1 - у) C J -i: Clf |
(3.20) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
у = и ь |
v2= |
1— у. |
(3.21) |
Упражнение 3.2. Показать, что для двухкомпонентного упру гого композита, каждый компонент которого является изо
тропным, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Cf/м)a = |
kabifikl + M'a |
|
a = |
1»2, |
|
(3.22) |
|
постоянные Ламе по Фойгту XF, |ля и по Рейссу l R, |
имеют вид |
|||||||
XF = > |
п |
%• XR = |
PI^.2(3^I+2|A1)(1— у) +Y^iM’2(3A.2+2p2) |
|||||
|
' |
2’ |
f(l-V)(3*i+2Hi)+V(3*,+2|is))[(l-V)Pi+V(*ir |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.23) |
|
^ - W |
1 + (1 -Y )I 4 1 ^ |
- |
т |
т |
- |
(3-24> |
Упражнение 3.3. Показать, что для двухкомпонентного упру гого композита, каждый -компонент которого является изотроп ным с модулями сжатия
Ка = ха + -|-Ра, 0 = 1,2, |
(3.25) |
модули сжатия по Фойгту KF и Рейссу KR выражаются следую щим образом:
* » - „ 4 f e r, . |
<3'» > |
Упражнение 3.4. Показать, что вилка Фойгта — Рейсса в усло виях упражнений 3.2 и 3.3 изображается в виде
|
(3.27) |
KR<.K*<KF, |
(3.28) |
где р* и К* — эффективные модуль сдвига (p *= G *) |
и модуль |
сжатия. |
|
Упражнение 3.5. Показать, что для двухкомпонентного вязкоупругого композита, каждый компонент которого является изо тропным с нерелаксирующим объемом, для модуля сжатия вы полняются неравенства (3.28), где^/Сн и KF определяются в (3.26),
а для оператора вязкоупругости ю* с эффективным ядром со*(/) выполняются неравенства
|
(oR < |
со* < |
о / |
|
|
|
(3.29) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
ytot-Hl—у)хм2 |
|
= |
со2 [1—у+ух] |
|
|
||
|
У+(1—'У)И |
* |
|
(1—У)©1+уха>2 |
|
|
||
|
J -V +V * |
|
х _ |
К2 |
|
|
(3.30) |
|
|
ухя!+(1—у)я2 |
’ |
|
/Ci * |
|
|||
|
|
|
|
|||||
а й)х и я1э а также о)2 и я2, — |
взаимно-обратные операторы |
вязко |
||||||
упругости, характеризующие каждый компонент. |
упражне |
|||||||
Упражнение |
3.6. Показать, |
что |
если в условиях |
|||||
ния 3.5 второй компонент композита является упругим |
|
|
||||||
|
со2 — |
— const, |
|
|
|
(3.31) |
||
то справедливы |
неравенства (3.29), |
причем |
вместо (3.30) |
следует |
||||
положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Р = VMt+U—У)жог |
= |
M l - V +ух) |
(1 _ |
} |
( 3 32) |
|||
|
Y + (1 -Y )x |
|
|
1—Y |
|
Н Р |
|
|
где gp — оператор, определенный по |
формуле |
(1.4.29), |
причем |
|||||
|
Р = _ухш2_ |
|
|
|
|
|
(3 33) |
|
|
1 -Y |
|
Ki |
|
|
|
|
Упражнение 3.7. Показать, что для упруго-пластического ^-компонентного композита, каждый компонент которого описы вается модулем сжатия Ка и функцией зависимости интенсивно сти тензора напряжения от интенсивности тензора деформации
cri°> = ф«*> (ej,a)), |
a = 1,2, |
, q, |
(3.34) |
|
справедливы неравенства |
(3.28) |
и |
|
|
еи |
еи |
е« |
ст£ (eu)deu, |
(3.35) |
\ о* (eu) deu < |
j e'u(eu)deu< f |
|||
6 |
о |
о |
|
|
где au*(eu) — эффективная |
функция, |
связывающая |
интенсивно |
|||||
сти тензоров напряжений и деформаций композита, а |
|
|||||||
к ' = £ « д с « , |
^ |
= |
|
<3-36> |
|
|||
|
а=1 |
|
|
а=1 |
а |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
(е.) = |
£ |
£’а° “а) (*«)> |
(е« ) = |
[«« Ю |
] '1. |
|
||
|
а=1 |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eu |
(°«) = |
уаеы* (O',/). |
(3.37) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12. |
причем |
знак [ ]-1 означает, |
что |
берется обратная |
функция от |
||||
функции, заключенной в квадратные скобки. |
|
Упражнение 3.8. Показать, что зависимость KF и KR от у мо жет быть изображена графически в виде рис. 12 для случая Ki> > К 2, причем эффективный модуль К* лежит в заштрихованной области (вилка Фойгта— Рейсса).
§ 4. Вилка Хашина— Штрикмана
Вилка Фойгта— Рейсса для многих упругих композитов оказы вается достаточно «широкой» (см., например, рис. 12). В ряде случаев эту вилку можно несколько сузить, если воспользоваться вариационным принципом, сформулированным в § 4 гл. 2. Для этой цели рассмотрим функционал (2.4.22), который можно за писать в виде
А = -Щ ~= (£ '■ ?) + 2 {Р '- & ) — 2(ш (£)> + |
< £ :е '). |
(4.1) |
||||||
Если обозначим каждое слагаемое в (4.1) |
следующим |
образом: |
||||||
: в‘ > = |
А1= |
2 ( р : £ ) = |
* |
= |
2сУ>2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ’ |
|
(4.2) |
|
|
|
|
А,= . |
2с^4 |
|||
- 2 (w (p )) |
^ Л а = - ^ |
; (р :г') = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = Лг + А2 + Л3 -тЛ4, |
оР*= РР! "f* РР2 "I- ^ |
3 "Т” ^Р4 , |
(4.3) |
|||||
причем, зная решение задачи |
(2.4.4). (2.4.5) |
для |
однородного |
упругого тела, находим Аи Л2> Аз как функции от тензора поляри зации р. Для того чтобы Ал выразить в виде функции от р, нуж
но найти е' из решения задачи (2.4.16), (2.4.17). После этого не обходимо "найти экстремум функционала А(р, Сс), который зави сит от тензора Сс как от параметра.
Согласно вариационному принципу Хашина— Штрикмана экс тремальная точка этого функционала будет точкой максимума, если
Сс < |
д<£(е) |
(4.4) |
|
де |
|||
|
|
||
и точкой минимума — если |
|
|
|
С‘ > |
даР(в) |
(4.5) |
|
де |
Если каким-либо образом определены эффективные опреде ляющие соотношения исследуемого композита (взаимно-обратные операторы ? и g)
|
£ = /( е ) , |
£ |
= § (5 ). |
(4.6) |
то, как |
было установлено в |
§ |
1, лагранжиан задачи |
(2.4.4), |
(2.4.5) |
совпадает с лагранжианом задачи, решенной |
по теории |
эффективного модуля, т. е. с теми же входными данными, что у
задачи |
(2.4.4), (2.4.5), но с эффективными |
определяющими |
соот |
ношениями (4.6). Обозначим функционал |
р), соответствующий |
||
задаче, |
решенной по теории эффективного |
модуля, через |
^ *(р ), |
2&*(Р) |
(4.7) |
А'(р) = |
|
V |
|
Тогда из сказанного выше можно утверждать, что |
|
^m in ( £ ) < £ ' ( £ ) < ^ шах (£ ); Anin ( р ) < А '( р ) < Апах (Р)> |
(4-8) |
где индекс min означает, что экстремум соответствующих функ ционалов вычислен при условии (4.5), а индекс шах — что экстре мум этих функционалов берется при условии (4.4).
Рассмотрим р-компонентный композит, каждый компонент ко торого имеет определяющие соотношения (2.1), и предположим, что граничные условия (2.4.2) и (2.4.5) краевых задач, рассмат риваемых в § 4 гл. 2, имеют вид (1.7), т. е. такой, какой мы вы бирали при определении эффективных определяющих соотноше ний. Если бы мы смогли решить точно задачу (2.4.1), (2.4.2) при
таких граничных условиях, то мы бы нашли точные |
эффективные |
|
определяющие соотношения (1.11). Вариационный |
принцип |
Ха |
шина— Штрикмана позволяет найти приближенное |
значение |
этих |
соотношений, |
не решая задачи |
(2.4.1), |
(2.4.2). |
при |
выбран |
|
Очевидно, |
что из |
решения |
задачи |
(2.4.4), (2.4.5) |
||
ных граничных условиях следует |
|
|
|
|||
|
|
е^=е°, |
|
|
(4.9) |
|
т. е. ес — однородная |
деформация. Из результатов |
§ 1 |
следует |
также, что для задачи (2.4.1), (2.4.2) средняя деформация будет