Механика композиционных материалов

грешность резко возрастает. Поэтому в таких случаях целесообразно использовать метод выделения особен- но'сгпи.

§ 7. Внутренние напряжения в трубе при ее намотке

Рассмотрим слоистую трубу, получаемую в результате намот­ ки ленты толщиной б, рассматриваемой как слоистый композит, на цилиндрическую оправку радиуса R0 (рис. 35).

Мы предполагаем, что при намотке сделано достаточно боль­ шое число оборотов, так что число образованных при этом паке-

задачу с п «вычислительными» ячейками, то можно это разбие­

больше структурных элементов содержит композит), тем лучше работает метод осреднения и проще его реализация (в преды­ дущих параграфах было установлено, что при большом числе ячеек периодичности теория! нулевого приближения достаточно точна)ц

Если же композит содержит лишь небольшое число структур­ ных элементов, то не вызывает затруднения непосредственное применение разностных методов для его расчета.

На примере предыдущих параграфов этой главы было видно, что для слоистых композитов метод осреднения иногда позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия и граничным усло­ виям на поверхностях Гг, эквидистантных слоям. На «слоистых»

Поскольку для слоистых композитов локальные функции пер­ вого уровня и эффективные тензоры модулей упругости и упру­ гой податливости определены, решение задачи Д (0) по теории эффективного модуля, т. е. для однородной анизотропной упру­ гой среды, позволяет построить решение по теории нулевого при­ ближения, т. е. получить микроперемещения или микронапря­ жения.

Для численного решения задачи Д (0) воспользуемся вариаци­ онно-разностным методом, который заключается в том, что вы­ писывается лагранжиан (2.1.8) для задачи в перемещениях или функционал (2.3.3) для задачи в напряжениях в разностном

виде, т. е. производные заменяются разностными, а интегралы в (2.1.8) и (2.3 .3)— соответствующими суммами. Тогда и лагран­ жиан (2.1.8) и функционал (2.3.3) становятся функциями конеч­ ного числа переменных — перемещений или напряжений в узловых точках. Система разностных уравнений получается приравнива­ нием нулю производных этих функций по каждой переменной.

Рассмотрим, например, задачу теории упругости в перемеще­ ниях о слоистом параллелепипеде.

Минимизацией лагранжиана

получим решение v по теории эффективного модуля, а по нему найдем микронапряжения теории нулевого приближения:

представляет собой дискретный аналог и(х). Заменим частные производные соответствующими разностными производными, а интегралы — конечными суммами. Разностный аналог лагранжи­

Поскольку L/l— квадратичная функция от va{i, j, k), условия {8.3) представляют собой разностную систему 3NlN2N3 линейных алгебраических уравнений, которую можно записать в виде

Рассмотрим решениесистемы (8.4) с помощью итерационного метода переменных направлений с чебышевским набором итера­ ционных параметров {тп}

По результатам счета были получены напряжения теории ну­ левого приближения (8.2).

На рис. 39—41 представлены графики распределения микро­ напряжений, отнесенных к величине q (8.16) для каждого из компонентов (1) и (2) по высоте параллелепипеда х3 (рис. 37).

Ввиду разного масштаба, принятого для различных комподентов, все графики изображены непрерывными линиями. В гра­

фиках, соответствующих компоненту (1), нужно исключить все отрезки, принадлежащие компоненту (2), а в графиках, соответ­ ствующих компоненту (2),— исключить отрезки, принадлежащие компоненту (1).

Было рассмотрено несколько случаев с различными отноше­ ниями модулей Юнга компонентов к и коэффициентами Пуассо­ на vi, V2- Поскольку напряженно-деформированное состояние об­