Механика композиционных материалов
..pdfКомпонент (1) |
Компонент (2) |
|
напряжения |
напряжения |
|
нормальные |
касательные |
нормальные |
0,3 |
оЦ>(Й = 0 ,8 7 |
o ff Й ) = |
3,72 |
0,1 |
off Й ) = 62,5 |
0(12)Ы = 0(12)Й = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
14,2 |
0,1 |
o ff |
Й ) = |
0,61 |
а13(*з) = |
3,74 |
0,3 |
o ff |
Й ) = |
62,2 |
off Й) = 0 <|>Й)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
11,2 |
0,3 |
off |
Й ) = |
0,90 |
o ff Й ) = |
3,71 |
0,3 |
<7(п |
Й) = |
62,2 |
°12? (*3 |
= 0(12)Ы = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
11,3 |
0,1 |
o ft Й ) =0,64 |
o ff Й ) = |
3,73 |
0,1 |
o ff |
Й ) = |
62,3 |
о\У Й ) = 14,2 |
Максимальные касательные напряжения <713 возникают на по
верхности заделки в точках Xi(0, 4, 0) или хг(0, 4, 1 ) (рис. 38).
Втабл. 8.1 приведены значения этих максимальных напряже ний, причем в скобках указывается точка, в которой достигаются максимальные нормальные или касательные напряжения.
Из табл. 8.1 видно, что с ростом коэффициента Пуассона максимальные нормальные микронапряжения компонентов уве личиваются.
Втабл. 8.2 приведены значения максимальных напряжений при х = 100, причем точки максимума микронапряжений имеют
координаты: *3=(1, 4, 1/2), *4=(1, 1, 0), |
х5=(1, 1, 1) (рис. 38)'. |
По сравнению с предыдущим случаем |
распределение каса |
тельных напряжений <ji3(1) практически не зависит от коэффици ента Пуассона vi и достигает максимального значения во внут ренней точке параллелепипеда. В более жестком компоненте (2) возникают значительные напряжения о\2-
На рис. 39—41 показаны распределения нормальных напря
жений оц в компонентах ( 1 ), |
(2 ), в зависимости от х3: |
0< х 3< 1 |
(по прямой с уравнениями Xi = 0, *2= 4 , т. е. прямой, |
содержа |
|
щей точки х х и х2 на рис. 38), |
а также касательных напряжений |
Щз и <j\2 для различных отношений модулей Юнга х и коэффици ентов Пуассона vi, v2. Распределение касательных напряжений
<пз(*з) при *i = 0, *2 = 4 одно |
и то |
же для |
обоих компонентов |
(эти напряжения непрерывны |
при |
переходе |
через границу разде- |
$
ла компонентов). Распределение напряжений |
сг12(2)(*з) |
показано |
|||
только для |
компонента |
(2) (для компонента |
(1) они |
незначи |
|
тельны). На |
рис. 39 и 40 распределение |
сг12(2)(*з) дано по прямой |
|||
*i = l, *2=1, |
а на рис. 4 1 — по прямой |
*1 = 1, |
*2 = 1 (проходящей |
||
через точки |
*4, *5 на рис. |
38). |
|
|
|
бР х=100
Рис. 43.
Из рис. 39—41 видно, что с ростом х распределение нормальных напряжений стц(1)(*з) и стц(2)(*з) все больше отличается от линейного и от соответствующих напряжений ац°, вычисленных по теории эффективного модуля
Ou = Y M I’ + MI1 . |
(8.17) |
Ha рис. 42—44 показано распределение интенсивности тензо
ра напряжений в |
компонентах (1) и (2) |
по высоте параллелепи |
|
педа в |
плоскости |
*2 = 4 (проходящей |
через точки * ь *2 на |
рис. 38) |
при различных х, vI} v2. |
|
Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я
Теории упругости неоднородных тел посвящена большая ли тература. Работы, вышедшие до 1973 г., систематизированы в двух библиографических указателях [46, 47].
§1. Эффективный тензор модулей упругости слоистого компози та для изотропных компонентов получен в [57], для анизо тропных и неоднородных компонентов — в [103].
§2. Эффективный тензор упругих податливостей для слоистого
композита найден в [88:].
§3. Методом осреднения эффективный тензор теплопроводности для слоистого композита получен в [86].
§4. Обзор работ плоской теории упругости для неоднородных
сред читатель найдет в монографии [48]. Там же решены за дачи 1—4, для случая постоянного коэффициента Пуассо
на; с произвольно зависящим от координаты коэффициентом Пуассона они решены в [24].
§5. Осесимметричная задача для многослойной плиты (а также цилиндра) решена в [106] предложенным там методом так называемых функциональных уравнений. Дальнейшее раз
витие этот метод получил в монографиях [69, 70]. Подроб ное описание решения задачи о бесконечной неоднородной
анизотропной трубе, находящейся под действием |
внутренне |
го и внешнего давления, ~ имеется в монографии |
[55] (см. |
также [76]). С задачей Гадолина можно ознакомиться, на пример, по книге [61], а с решением этой задачи методом осреднения — по работе [22].
§6. Общее решение неосесимметричной плоской задачи теории упругости в полярных координатах в рядах Фурье приведе но в монографии [98]. Там же дано решение задачи об изо тропном кольце, сжатом двумя сосредоточенными силами. Решение этой задачи для ортотропной среды дано в [27].
Двухслойные диски и кольца, нагруженные локальными уси лиями, рассчитаны в монографии [15]. Там же приведена большая библиография. Расчету многослойных конструкций посвящены монографии [11, 49]. Методом осреднения напря жения в многослойной трубе определяются в работе [28].
§7. С общей постановкой задачи о внутренних напряжениях в растущем теле, в том числе и трубе, получаемой намоткой, можно ознакомиться в работе [99].
§8. Численным методам в слоистых материалах посвящена большая литература. Укажем только некоторые работы [52, 69, 70, 75, 94, 107]. Указанный метод решения задачи о па раллелепипеде описан в [90], решению задачи о слоистом параллелепипеде посвящена работа [30].
Г л а в а 6
ВОЛОКНИСТЫЕ УПРУГИЕ к о м п о з и т ы
Для однонаправленного волокнистого композита тензор моду лей упругости нулевого приближения и эффективный тензор мо дулей упругости могут быть определены аналитическими метода ми теории функций комплексной переменной. При этом возмо жен учет условий неидеального контакта. В качестве примера рассматривается определение эффективных характеристик одно направленного волокнистого композита при идеальном контакте между связующим и волокном.
Кроме аналитических методов при решении задач теории упругости для композитов могут успешно применяться численные методы. Один из таких методов был описан в § 8 предыдущей главы. В этой главе на некоторых модельных задачах волокни стых композитов показана эффективность применения других методов: метода конечных элементов; метода, основанного на использовании матрицы А. А. Ильюшина.
Для волокнистых композитов с продольно-поперечной армировкой с помощью разностных методов, разработанных для ре шения пространственной задачи теории упругости, определены микронапряжения в неоднородном параллелепипеде при его рас тяжении и кручении.
§ 1. Однонаправленный волокнистый композит
Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит, имею щий периодическую структуру и сечение поперечной плоскостью, Показанное на рис. 45. Выделенный на этом рисунке параллело грамм называется параллелограммом периодов. Радиус каждого волокна R, координаты осей волокон
XI *= та, л'2 = nb, т, |
п = 0, ± 1 , ± 2 , |
(1.1) |
ось Хз направлена к наблюдателю перпендикулярно |
плоскости |
|
Чертежа. |
|
|
Ъ частности, при |
|
( 1.2) |
a = b = 1, |
р= я/2 |
Вторая заключается в решении неоднородной задачи теории упругости на ячейке периодичности (рис. 47) для определения локальных функций первого уровня
|
|
|
[С ,/« (0 |
Nbml (|)]|/ = - С |
17и|/(|) |
(1.8) |
||||
при выполнении условий |
(4.6.7) и (4.6.8). |
|
|
|||||||
Заметим, что |
если |
в |
задаче |
(1.6), |
|
|
||||
(1.7) решение может зависеть от трех |
|
|
||||||||
переменных Х\, Х2 , *з и от области, в ко |
|
|
||||||||
торой |
рассматривается |
|
решение, то |
в |
|
|
||||
задаче Ж л(— 1) |
решение зависит только |
|
|
|||||||
от двух |
переменных |
gif |
g2 |
= —к |
} |
|
||||
a=l/)V, N — число ячеек периодичности) л |
|
|||||||||
и от |
параметра |
R. |
После решения |
за |
|
|
||||
дачи |
Ж а (— 1), |
которую |
для |
данной |
|
|
||||
ячейки |
периодичности |
можно |
решить |
|
|
|||||
раз и навсегда, находится тензор моду |
|
|
||||||||
лей |
упругости |
нулевого |
приближения |
|
|
|||||
|
|
CIS, (I) = |
Ciikl (I) |
|
+ |
Clipt (5), |
(1.9) |
а по нему могут быть найдены напряжения по теории нулевого
приближения и эффективный |
тензор |
модулей упругости: |
|
|
|
o \j^ = |
C ijpq (£) |
V p ,q (x )> |
(1 .1 0 ) |
|
A/;p,= «Cl8,>. |
(1-П) |
||
Для решения |
уравнений (1.8) воспользуемся интерпретацией, |
|||
данной в § 2 гл. |
4. Согласно |
этой интерпретации уравнения |
(1.8) |
трактуются как уравнения равновесия относительно вектора псевдоперемещений £/(Р(?) с компонентами Uh{pq):
UHpt) = N |
(1.12) |
Тогда тензор псевдонапряжений, который обозначим в отли чие от § 2 гл. 3 через о(Р9), связан с псевдоперемещениями зако
ном Гука: |
|
|
Gi'l(pq) — CijklUb(PQ) |
(Г 13) |
|
С учетом (1.13) уравнения (1.8) |
можно переписать |
в виде |
°i7(w)l/ (I) = |
СчряН(£)• |
(1-^4) |
Выражение тензора С в рассматриваемом случае задается формулой (1.3), причем в силу того, что ячейка периодичности, изображенная на рис. 47, не изменяется при замене медленных
координат на быстрые, всюду можно рассматривать медленные координаты Хи х2 и уравнения (1.14) записать в виде
|
|
|
|
|
G lJ ( p q ) ,j( x ) = |
----C ijp q tj ( x |
) t |
|
|
|
|
(1.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
i, р, q = |
1, 2, |
3; |
/ = '1 , 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как компоненты композита однородны |
(1.4), |
то |
уравне |
||||||||||||||||||
ния (1.15) можно записать отдельно |
для |
|
области |
5 |
и отдельно |
||||||||||||||||
для |
области |
Атп |
|
(будем |
все' величины, |
относящиеся |
к |
области |
|||||||||||||
S, |
обозначать индексом |
1, |
|
а |
величины, |
относящиеся |
к |
области |
|||||||||||||
Атп,— индексом |
2). Тогда |
|
уравнения |
|
(1.15) |
эквивалентны |
си |
||||||||||||||
стеме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rrl |
|
|
= |
И |
ft2 |
|
= |
о |
|
|
|
|
|
( М б ) |
||
|
|
|
|
|
0iJ(pq),J |
|
’ |
U(pq),J |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
к которой следует |
добавить |
соотношения |
(1.13) |
и условия |
|
||||||||||||||||
границе Гт п при идеальном контакте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Uk{pq)\гтп = Uk(pq) lrmn, |
|
|
|
|
|
(1-17) |
||||||||||
|
ipiJ{pq) Н" CiJpq) nJ 1Гт « |
~ |
ipiJ{pq) + CiJpq) K j lrmn’ |
|
|
0 -1$) |
|||||||||||||||
где |
tija, a = l , |
2 — компоненты единичного |
вектора |
внешней |
нор |
||||||||||||||||
мали со стороны 5 |
и Атп соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Если идеальный контакт на границе Гш„ нарушается, то со |
||||||||||||||||||||
гласно (4.7.11) вместо |
(1.17), |
(1.18) |
следует |
принять |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
[ a \ i |
(tfJj(p<7) |
+ |
C \Jpq) n j - f b l i U |
\ PQ^ T mn = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
[ali(<fiJpq |
+ |
C iJp q ) nJ + |
|
|
|
mn. |
|
|
|
(1.19) |
||||||||
Уравнения |
равновесия |
|
(1.16) |
с |
учетом (1.13) |
приобретают |
|||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C?JkLUk(pq),LJ = 0» С6= |
1, 2. |
|
|
|
|
(1.20) |
||||||||||
|
Независимых комбинаций индексов (pq) в уравнениях (1.16) |
||||||||||||||||||||
или (1.20) будет 6. Нетрудно видеть, однако, что различных |
за |
||||||||||||||||||||
дач (1.20), (1.17), (1.18) или (1.20), (1.19) |
будет |
только |
три. |
||||||||||||||||||
Назовем, например, |
задачу |
|
(1.20), |
(1.17), |
(1.18) |
с |
индексами |
||||||||||||||
(Р, |
q) — задачей |
Ж Р<7, |
а |
задачу |
(1.20), |
(1.19) — задачей |
Ж%«- |
||||||||||||||
(Разумеется, |
задача |
|
Ж Рд |
является |
частным |
случаем |
|
задачи |
|||||||||||||
Ж *Рд.) Достаточно |
|
решить |
|
только |
одну |
из |
задач Жп*, |
Ж 22*. |
|||||||||||||
Жзз*, чтобы получить простой заменой |
|
индексов |
решения |
всех |
|||||||||||||||||
остальных. Точно |
|
так |
же |
из задач Ж13*, Ж2 3 * можно |
решить |
||||||||||||||||
одну. Мы рассмотрим отдельно только решение задач |
Жа& |
(6 = 1. |
|||||||||||||||||||
2, 3), Ж и, Ж ,2. |
|
|
что |
в задачах Жрц и Ж 12 |
можно |
считать |
|||||||||||||||
|
Нетрудно |
видеть, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
^з(РЭ) = |
0» |
£/з(12)=0, |
|
|
|
|
|
(1.21] |
а= 1,2; р= 1,2, 3,
т. е. задачи Жрр и Ж 12 являются задачами плоской деформации.
Для задачи Жрр имеем
(^сс + |Аа)^К(РР).К/ + Ма^црр) . К К = 0» |
(1-22) |
|
а = 1, 2; |
К = 1, 2, |
|
£//С(рР) 1гтл = |
*Л(РР)1Гт„, |
(1 -23) |
(о'Ь(РР) п) + С/урр rij)|гтл = — (о/у(рр) л} + С?урр«у) 1гтл- |
(1.24) |
После нахождения вектора псевдоперемещений U K(pp) псевдона пряжения найдутся по соотношениям (1.13) с учетом (1.3):
а1ДРР) = M*i> *2) б/у £/к(РР).к + И С-^1, *2) (Uim.J + ^лрр)./).
|
/, У = |
1,2; р = 1,2, 3, |
|
|
|
(Г;з(рр) = 0, о'зз(рр) = |
v (xltXi) (сгц(рр) + |
<*22(РР)), |
V = T 7Г Г Т - |
О -25) |
|
|
|
|
|
* \к-г W |
|
Для задачи Ж и |
в (1.20) |
остается только одно уравнение рав |
|||
новесия в каждом компоненте |
|
|
|
||
Иа^?(13),кк — |
а = |
1 .2; К ~ |
1,2, |
(1-26) |
для единственной отличной от нуля компоненты вектора псевдо
перемещений |
Uz(13). К |
(1.26) следует |
добавить |
условия |
(1.17), |
|||||||
(1.18): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£4(13) 1Гтя = |
£4(13) 1г/пп» |
|
|
|
(1 *27) |
||||
(°3J(13) n j + |
|
Гт п = |
|
(°i/(13) riJ + ^2^?) lrm n ’ |
(1-28) |
|||||||
После решения задачи |
Ж 13 |
(1.26) — (1.28) |
находим |
псевдонапря |
||||||||
жения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0&/ОЗ = ц£^з(13),у*» |
йщ13) = |
0; ^33(13) = |
0- |
|
(1-29) |
||||||
Наконец, для задачи Ж 12 имеем уравнения |
|
|
|
|
||||||||
(^а + Иа)U K (12),K I + V-OP1(\2).K K = 0, а = |
1, 2; |
К = |
1, 2, |
(1.30) |
||||||||
и условия идеального контакта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
£4(02) 1гшп = |
Uw2)kmnt |
|
|
|
(1*81) |
|||||
(*Ь(12) + М ) у ) п) |гт„ = |
- |
(о?уОЯ + |
и Д у ) п] |гтл, |
(1.32) |
||||||||
где |
|
|
|
f |
0, если |
/ = J, |
|
|
|
п |
оо\ |
|
|
|
Ьи = |
|
|
|
|||||||
|
|
{ |
' |
. . . |
|
|
|
<1-33) |
||||
|
|
|
|
[ |
1, если |
1ф 1. |
|
|
|
|
|
|
После решения |
задачи |
Ж 12 находим |
псевдонапряжения |
по |
||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°А/(12) = X (xlt |
Х2)U К(12),К б/j + ИС*1 »*2) (££/(12).J “Ь £Л/(12)./)> А •£ |
1» 2, |
||||||||||
СГ/3(12) = |
0 ; a3 3(i2) = |
v (xlt ха)((Тц(12) + <*2202)). |
(I-34) |