Механика композиционных материалов
..pdfторых уже находились численно. На вычисление всех компонентэффективного тензора модулей упругости на ЭВМ БЭСМ о было*
затрачено около 30 |
с. машинного времени. |
в |
ЛЧ |
На рис. 49, 50, |
51 приведены графики зависимостей G*(x ),. |
||
Е*Ы*), v*(x*) при различных коэффициентах |
Пуассона vi |
и V2- |
|
Заметим, что при х*= 1 получаются простые соотношения |
(4.8), |
||
£* = 4- (£>+ £2). V= -i-(v; + vj). |
Для задачи о растяжении плоскости из указанного компози ционного материала (рис. 48) равномерно распределенной на» бесконечности нагрузкой интенсивностью 1 (в направлении оси Xi) были определены микронапряжения ап, 022 и 012. Их значе
ния в квадрате 0,5X 0,5 (рис. |
48) приведены в табл. |
4.1 |
и 4.2. |
|
||||
При этом принимались данные |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Vl = 0,3; |
л?2 = 0,1; х* = 0,25. |
|
(4.9) |
|||
Для |
сравнения |
с этими |
результатами |
для выделенного |
на |
|||
рис. 48 |
квадрата |
разностным |
методом, |
описанным |
в § |
8 гл. |
5, |
было получено решение той же задачи. Решение получено на сет ке с тем же числом узлов на единицу длины, что и сетка, на которой вычислялась матрица А. А. Ильюшина. В табл. 4.3 и 4.4 показаны результаты проведенных вычислений.
Сравнение показывает, что напряжения, вычисленные при ре шении неоднородной задачи теории упругости даже с одной
|
|
о+ |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
*2 = |
0+ |
|
1,36 |
0,91 |
0,79 |
0,76 |
0,75 |
**.^=0,2 |
2,67 |
1,69 |
1,25 |
1,03 |
0,93 |
0,90 |
|
*2 = |
0,5 |
2,11 |
1,74 |
1,42 |
1,19 |
1,04 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
Т аб л и ца 4.4 |
|
|
|
—0,5 |
-0 ,4 |
-0 ,3 |
—0,2 |
—0,1 |
0" |
* 2 = 0 |
0,83 |
0,83 |
0,83 |
0,83 |
0,82 |
0,49 |
|
*2 = |
0,2 |
0,80 |
0,80 |
0,77 |
0,74 |
0,66 |
|
*2= 0,5 |
0,77 |
0,76 |
0,72 |
0,65 |
0,55 |
0,39 |
|
|
Для |
расчета |
эффективных |
модулей |
в ряде |
случаев |
может |
быть использован метод конечных элементов. Так, для модельно
го композита, |
ячейка периодичности которого изображена на |
рис. 52, были |
рассчитаны тензор модулей упругости нулевого |
приближения и эффективный тензор модулей упругости. По тео рии нулевого приближения были рассчитаны микронапряжения в модельной задаче о растяжении плоскости, изготовленной из
описанного композита, равномерной нагрузкой интенсивности |
1 |
||||||
на бесконечности (в |
направлении |
х2). |
Были |
выбраны |
характери |
||
стики композита |
|
|
|
|
|
|
|
vi = 0 ,4 5 ; |
V2 = 0 ,3 0 ; |
X = |
£ 2/ £ |
I = 10; |
у = 1 / 2 , |
(4 .1 0 ) |
|
где у — объемная концентрация |
включения. Максимальные |
на |
|||||
пряжения в связующем получились такими: |
|
|
|
||||
ст11— 1,34; 1022 = 0,83; |
Oi2= 0,20. |
|
|
§ 5. Композит с продольно-поперечной армировкой
Рассмотрим ортогонально армированный волокнистый компо
зит с изотропными однородными компонентами (рис. 53). |
р, ( £ ь |
Упругие постоянные связующего обозначим через X,, |
|
vi), а упругие постоянные волокна — через Х2, р2 (£ 2, v2). |
Будем |
считать, что композит является периодической структурой |
Тогда |
можно выделить ячейку периодичности (DHC. 54) в виде паралле лепипеда с отношением сторон 1 1:2.
Чтобы решить для такого композита задачу по теории нуле
вого приближения, необходимо решить задачу ДА(0) |
по |
теопии |
|
эффективного модуля (1.6), |
(1.7) и задачу Ж а ( - 1 ) |
для опреде |
|
ления локальных функций |
и тензора модулей упругости |
нулево- |
го приближения (псевдоперемещений и псевдонапряжений). Осо бенностью данного композита является то, что задача Ж а (— 1) (4.6.6) — (4.6.8) для него является существенно пространственной задачей теории упругости.
Рис. 53.
Сформулируем эту задачу как задачу об определении псевдо
перемещений U{Vq):
OdJj(pq) \j) \i + ( | 1 * W ) | , + ( f l U i(p q)\j)\j + X i(pq ) = 0‘, |
(5.1) |
выражения для объемных псевдосил Х(Рд) в зависимости от ком бинации (pq) даны в табл. 5.1.
|
|
Т а б л и ц а 5.1 |
|
|
Х% |
Хя |
х, |
(pq) |
|
Л! |
|
|
|
|
|
(П ) |
(Х+2и.)и |
^|2 |
^*13 |
(22) |
Ян |
(А, + Щ 2 |
*43 |
(33) |
Хц |
^12 |
(A, - f 2р)|3 |
(12) |
Р|2 |
h i |
0 |
(13) |
hs |
0 |
h i |
|
|
||
(23) |
0 |
hs |
И-12 |
|
|
Упражнение 5.1. Показать, что для волокнистого ортогональ но армированного композита (рис. 53) должны выполняться ус ловия
^1111 = ^2222» ^1133 = |
^2233» |
^1313 = |
^2323* |
(5.2) |
так что независимыми задачами |
(5.1) |
будут |
только |
задачи Жп- |
Жзз, Ж.з,Ж12. |
|
|
|
|
Упражнение 5.2. Доказать, что если для задачи теории упру гости (4.2.1), (4.2.2) выполнены следующие условия:
а) тело, занимающее объем V, |
и функции |
Сцм(х) симметрич |
||||||||||||||||
ны относительно |
некоторой |
|
(координатной) |
плоскости |
2 а, |
пер |
||||||||||||
пендикулярной ОСИ Ха \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S f |
||||||
б) |
объемные |
силы |
Х{ и заданные |
поверхностные |
нагрузки |
|||||||||||||
или |
перемещения щ° симметричны |
(антисимметричны) |
относи |
|||||||||||||||
тельно плоскости |
2 а при i= а |
|
и антисимметричны (симметричны) |
|||||||||||||||
при i-фа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то вид* симметрии решения щ(х) |
относительно |
плоскости 2 а |
||||||||||||||||
совпадает с видом симметрии входных данных Xit Si0, и{°. |
|
|||||||||||||||||
Упражнение 5.3. Доказать, что если компонента вектора пе |
||||||||||||||||||
ремещений щ симметрична |
относительно плоскости |
2 а, то |
(5.3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
wt.a |za = |
0 |
(1*Ф a), |
wa |sa = 0, |
|
|
||||||||
а если |
щ антисимметрична относительно плоскости |
2 а, то |
(5.4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
u i \za = |
0 |
Ц ф |
a ) , |
|
Ma.a|za = 0 . |
€ |
|
|
|||||
Используя результаты упражнений 5.2 и 5.3, можно выделить |
||||||||||||||||||
из ячейки |
периодичности |
(рис. 54) |
ее 1/8 часть, показанную на |
|||||||||||||||
рис. 55. При этом благодаря условиям |
(4.6.7) и (4.6.8) |
гранич |
||||||||||||||||
ные условия для псевдоперемещений в зада |
|
|
|
|
||||||||||||||
чах ЖРд будут |
иметь |
вид |
(5.3) |
|
или |
(5.4) |
|
|
|
|
||||||||
Объем |
параллелепипеда, |
изображенного на |
|
|
|
|
||||||||||||
рис. |
55 |
|
(1/8 |
ячейки), |
равен |
2. |
Объемная |
|
|
|
|
|||||||
концентрация |
волокон |
связана |
с |
радиусом |
|
|
|
|
||||||||||
волокна зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
у = я £ 2/4. |
|
|
|
|
|
(5.5) |
|
|
|
|
|||
Для |
решения |
задачи |
«а |
|
1/8 |
|
ячейки |
вос |
|
|
|
|
||||||
пользуемся вариационно-разностным методом, |
|
|
|
|
||||||||||||||
описанным в § 8 гл. 5 . Оперативная |
память |
|
|
|
|
|||||||||||||
ЭВМ БЭСМ-6 позволила произвести |
разбие |
|
|
|
|
|||||||||||||
ния |
1 /8 |
ячейки |
на 8 X 8 X 1 6 |
|
узлов. |
Оценка |
|
Рис. |
55. |
|
||||||||
точности |
численного |
решения |
регулировалась |
|
|
|||||||||||||
условием |
( 5 .8 .1 5 ) . Для |
достижения этой |
точ |
коэффициентов |
Пу |
|||||||||||||
ности в зависимости |
от параметра K = E2/EI и |
|||||||||||||||||
ассона vi, V2 уходило |
от 5 |
до |
|
15 |
мин машинного времени (сходи |
мость итерационного процесса ухудшалась с ростом х и стрем лением коэффициентов Пуассона к 1 /2 ) .
J3 табл. 5.2 приведены результаты счета по определению ком понент тензора модулей упругости композита при двух различ ных объемных концентрациях. Коэффициент Пуассона связующе
го vi был принят равным 1/4.
На рис. 56 приведены графики зависимости некоторых компо нент эффективного тензора модулей упругости в зависимости от коэффициента Пуассона связующего vi (v2 = 0,25; х = 2; R= 1). Там же пунктирными линиями изображена вилка Хашина— Штрикмана (§ 4 гл. 3)'.
По теории нулевого приближения была решена задача о па раллелепипеде, на границе которого заданы нагрузки
U=±i = <7^1—cos
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
S?U=±, = 0 |
( / = |
1,2); |
S? | |
, =S?| |
, = 0 . |
|
|
|
|
, , = ± _ |
|
, ! = ± _ |
|
Свойства композита выбраны следующими: |
|
(5.7) |
||||
x = E2/£ t = |
10; |
v, = |
0,25; v2= 0 ,3 5 ; |
y = 0,785. |
Рис. 56.
На рис. 57 показано распределение напряжений азз(*з) по прямой вблизи *1 = 0, *2 = 0, проходящей через армирующие во локна. Напряжения, соответствующие решению по теории эффек тивного модуля, изображены сплошной линией, а по теории ну левого приближения — пунктирной линией. Микронапряжения всюду в 1,5—2 раза превосходят «средние» напряжения и воз растают в точке касания армирующих волокон.
На рис. 58 показано распределение напряжений азз(*з) по прямой вблизи *i = 0, *2 = 0, проходящей через связующее. Мик ронапряжения намного меньше средних. В точках касания воло кон они уменьшаются до нуля. Там же изображена полоса в се чении *2 = const вблизи *2 = 0 плоскостью, проходящей между ар мирующими волокнами, параллельными оси *2. Точки пересече ния штрих-пунктирной линии, вдоль которой показаны напряже ния, с линией касания волокон отмечены крестиком. В этом слу чае микронапряжения возрастают в местах стыка связующего с волокном. На рис. 59 показан случай, когда центральная ось пе ресекает сечение волокон, направленных по оси *i, по диагонали
и проходит через линию касания армирующих волокон в другом направлении. Здесь, как и в предыдущем случае, микронапряже ния в связующем убывают с приближением к точке касания ар
мирующих волокон. В точках пересечения центральной оси с по верхностью раздела компонентов озз терпит разрыв, причем при приближении к этим точкам напряжения в волокнах возрастают, а в связующем — уменьшаются.
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.2 |
V |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
0,442 |
2 |
0,35 |
1,84 |
1,77 |
0,74 |
0,76 |
0,52 |
0,53 |
|
/ |
3 \ |
4 |
0,35 |
2,57 |
2,21 |
0,87 |
0,94 |
0,67 |
0,71 |
я = |
т |
6 |
0,35 |
3,17 |
2,45 |
0,92 |
1,04 |
0,75 |
0,82 |
V |
4 / |
8 |
0,35 |
3,71 |
2,60 |
0,95 |
1,10 |
0,81 |
0,90 |
|
|
10 |
0,35 |
4,22 |
2,71 |
0,97 |
1,14 |
0,85 |
0,96 |
0,785 |
2 |
0,25 |
2,57 |
2,50 |
1,23 |
1,26 |
0,64 |
0,65 |
|
(Я = |
1) |
2 |
0,35 |
2,76 |
2,72 |
1,45 |
1,46 |
0,63 |
0,64 |
|
|
2 |
0,45 |
3,28 |
3,30 |
2,01 |
1,99 |
0,62 |
0,63 |
|
|
10 |
0,35 |
9,78 |
7,75 |
3,62 |
4,22 |
2,20 |
2,53 |
Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я
§1. Однонаправленные волокнистые композиты рассматрива ются, например, в [16, 17].
§2. Метод функций комплексной переменной в теории упругости
подробно изложен в монографии [67]. С дзета-функциями Вейерштрасса можно ознакомиться по [1, 51]. Теория беско нечной системы алгебраических уравнений описана в [41]. Исследованию волокнистых композитов методами функций комплексной переменной посвящены работы [12, 13, 60].
§ 3. Более подробно изложение параграфов 2 и 3 читатель най дет в работе [65]. Данные табл. 3.1 взяты из работ [17, 104].
§ 4. С задачей о композите в виде «шахматной доски» можно
ознакомиться по работам [90, |
108]. |
Построение |
матрицы |
А. А. Ильюшина в плоском случае |
приведено в |
[109]. По |
|
дробности применения метода |
конечных элементов |
к задаче |
окомпозите с волокном квадратного сечения читатель найдет
в[32].
§5. Тензор модулей упругости нулевого приближения и эффек тивный тензор модулей упругости с ортогональной продоль но-поперечной армировкой определены в работе [19]Г Там же дано приближенное полуэмпирическое выражение для эф фективных модулей такого композита.
Г л а в а 7
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ КОМПОЗИТЫ
Сначала на примере неоднородного стержня показывается техника применения методики осреднения к нелинейным краевым задачам. С помощью этой методики задача о стержне решается точно. Затем подробно описывается решение квазистатической задачи неоднородной и анизотропной теории пластичности. Рас сматриваются теория эффективного модуля и теория нулевого приближения. Большое место в главе уделяется построению тео рии малых упруго-пластических деформаций для анизотропной однородной среды. Для такой среды доказываются теорема един ственности решения квазистатической задачи в перемещениях и напряжениях, теоремы о минимуме лагранжиана и максимума кастильяниана, теоремы о простом нагружении. Описывается схема экспериментов, необходимых для определения материаль ных функций исследуемой теории. Показано, как исходя из тео рии малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина для изотропной среды получить методом осреднения соотношения анизотропной теории пластичности.
§ 1. Равновесие физически нелинейного неоднородного стержня
рассмотрим, как и в § 1 гл. 4, стержень длиной L, для кото рого уравнение равновесия имеет вид
( U )
а граничные условия — вид
( 1.2)
Считается, что стержень изготовлен из композиционного не линейного материала, представляющего собой периодическую структуру, причем связь между напряжениями и деформациями осуществляется с помощью нелинейных взаимно-обратных опре деляющих соотношений
o = S r ( x, |
г= - ^ = $(х,о)=&-'(х,а). |
(1-3) |
Предполагается, что определяющие уравнения (L3) описывают физически нелинейную среду или упруго-пластическую среду при активном нагружении.
Разумеется, для задачи (1.1), (1.2) можно выписать точное решение
и = | & (х, |
J X (у) dy + 5°J dx -f- и0 |
(1.4) |
о |
х |
|
или, если «объемные» силы отсутствуют, |
|
|
и = J & (х, 5°) dx + н°. |
(1.5) |
|
|
о |
|
Однако мы будем искать решение этой задачи методом осредне ния, чтобы на простом примере продемонстрировать технику ее применения к нелинейным задачам МДТТ.
Как и в гл. 4, вводим быструю переменную | (4-1.8). Произ водную по быстрой переменной g будем обозначать точкой, а по медленной переменной х — штрихом. Тогда уравнение равновесия (1.1) можно переписать в виде
- Ч з ч б , « ') ] + [ 2 4 1 . |
« ')]' + |
* ( * ) = о. |
(1.6) |
|||
Ищем решение задачи |
(1.1), |
(1.2) в |
виде |
асимптотического |
||
разложения |
|
|
|
|
|
|
и-п(*)+оЛМ6, o')+ttW2(S, o', o")-f |
|
|||||
+ с М |
3 (£ , |
o ', |
' " ) + . . . , |
|
||
где Nq, q= 1, 2,... — функции, |
зависящие |
от o', |
" , |
^{q) и удов- |
||
летворяющие условиям |
|
|
|
|
|
|
{Nq) = |
0, |
q > 0; {[Ng]] - |
0 |
(1.8) |
(последнее из условий (1.8) означает, что функции Nq являются периодическими по переменной £). Считаем, что функции с отри цательным индексом тождественно равны нулю. Будем предпо лагать также, что все рассматриваемые функции таковы, что все производные, которые будут записаны, существуют.
Продифференцируем (1.7):
и' = о' (х) + N\ (g, o') + |
a[W 2(g, o', о") + N[ (g, u', |
+ |
+ a2[,V3(|, v\ |
o'") + N2(1, v\ ", o"')] + |
(1.9) |
Тогда определяющие соотношения можно разложить в ряд по параметру <х:
в = У (| ,и ')= У (| ,о ' + ЛГ,) + д е |
+ N\)x |