Механика композиционных материалов
..pdfX [a(W 2 + N’l) + a?{N3+ N2) + . . . ] + -i- x
X 4 4 - (i. «' + N\) [a2(N2 + N[)2+ 2a?(N'2 + N[) (N3+ Л^) + ...] +
0e2
(110)
Подставляя (1.10) в уравнение равновесия (1.6), приравняем вы ражения при одинаковых степенях а некоторым функциям, не за
висящим от |
быстрой |
переменной. |
Выражение |
при 1/а |
прирав |
|||||
няем нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
( v ' +tfi)]’ = 0, |
|
|
|
(1.11) |
||
|
|
|
(N2 + |
+ |
£ " = ;Ao(w'). |
|
(1-12). |
|||
[ ^ _ |
(y , + ^ |
+ 2 . _ 2 £ _ . (y J + ^ ;).]- + |
|
|
||||||
|
+ |
[ ^ |
7 " (A,2 + Af‘ )] |
=Л' (гЛ ^ |
|
(1ЛЗ> |
||||
и т. д. (аргумент |
v'+Ni' |
функции |
|
и ее производных в (1.12) и |
||||||
0.13) опущен). Функции |
h0(v'), hi(v't |
v")y... |
находятся |
осред |
||||||
нением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ & |
+ N\)) = |
h0(o'), |
|
|
(l-H ). |
||
|
( - ^ - ( o ' + |
N\)-(N2 + |
N[)) = A,(o', o') |
|
(1.15) |
|||||
И T. Д . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому уравнение равновесия приобретает вид |
|
|
||||||||
ho(v') + |
ah[(vr, vn) + a2h2{v\ v", v'") + |
+ |
X (x) = |
0. |
(1-16) |
|||||
Аналогично, из (1.7), |
(1.10) и(1.2) |
получаемграничные условия |
||||||||
|
(ц + |
аА^1 Н-а2Л^2 4- |
. . . ) |*=о + и0, |
|
(1-17) |
|||||
|
[h0(v') + ahx(v\ v”) + |
... ] |
\X= L = |
S°. |
|
|||||
|
|
|
||||||||
Решение |
задачи |
(1.16), (1.17), |
как |
и в |
линейном |
случае,. |
||||
ищем в виде разложения по малому параметру а: |
|
|
||||||||
|
v(x) = w 0(x)-\-awi(x)+azw2(x)-\- |
|
(1.18) |
|||||||
Подставляя |
разложение |
(1.18) |
в |
функции |
hQ(v^1), |
h\(v'y v")r |
||||
^2(v\ v", г/"),... и представляя эти функции в виде ряда по сте пеням а, получим
К W) = h0 (w 'o) + |
OV |
(a w\ + a2 w2+ |
) + |
|
|
} |
|
1 |
[a2 |
{w\)z + . .. ] + |
(Ы9> |
|
2 d(v')*
x |
L |
|
WQ= f |
Ho (J X (у) dy + 5°J dx -f u°, |
(1.26) |
6 |
x |
|
где Но — функция, обратная к h0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ho~' = h0, |
h0- l= H0. |
|
|
|
|
|
(1.27) |
||||
Если «объемные» силы отсутствуют, то из (1.26) |
следует |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
w0= Ho(S°)x+u0. |
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
||||
Чтобы |
найти |
величины |
hq, q= 0, 1,... и функции |
Nq, q= 0, 1,..., |
||||||||||||
необходимо |
решить |
рекуррентную |
последовательность |
задач |
||||||||||||
Ж(<7), |
Я —— 1» О*— Для неоднородного стержня |
на |
ячейке |
перио |
||||||||||||
дичности. Первая из этих задач |
Ж (— 1) |
(1.11), |
(1.8) |
для |
опре |
|||||||||||
деления функции Ni (|, v') |
является |
нелинейной. |
Все |
остальные |
||||||||||||
задачи Ж (0) |
(1.12), Ж (1) |
(1.13) |
и т. д. (с |
учетом |
условий |
(1.8)) |
||||||||||
являются линейными. |
|
|
|
|
|
(1.11) |
имеем |
|
|
|||||||
Решим, например, задачу Ж (— 1). Из |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
w0-f-'Wi) = |
ф (*), |
|
|
|
|
|
(1.29) |
|||
где ср(л:)— некоторая, |
пока |
произвольная |
функция |
медленной |
||||||||||||
координаты. Разрешим |
(1.29) |
относительно |
второго |
аргумента |
||||||||||||
|
|
|
|
|
^ + Я 1 = |
8?(6,ф (*)) |
|
|
|
|
(1.30> |
|||||
и осредним полученное выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
« * = ( » > ( Ф(х)). |
|
|
|
|
|
|
(1.31) |
||||
Разрешим |
(1.31) относительно ф (х): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
<Р(*)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
||
где (3)~' |
означает |
функцию, |
обратнуюк |
(3). |
Сравнивая |
|||||||||||
(1.32) |
и (1.29), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
£•(£, в д + |
JV',) = < $ Г '(в*). |
|
|
|
|
(1.33) |
||||||
Правая часть в (1.33) от быстрой координаты не |
зависит. Зна |
|||||||||||||||
чит не зависит |
от £ и левая |
часть. Поэтому |
из |
(1.14) и |
(1.33) |
|||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h0(wi)= (3)-'(wi). |
|
|
|
|
|
(1.34) |
|||||
Тогда из (1.30), используя условие (1.8), находим
£
ЛГ,= J® (I. А,(иь))«*Е-
~ ( \ 3 (?, |
(1-35> |
0 = |
&{х, и!) = |
Е (х) иг, и' < es (х), |
|
|
(1.45) |
||
ЕГ (х) и* + |
[Е(х) — Е’ (x)] es, |
а' > es (х) |
|||||
|
|
|
|||||
где Е* (х) — так называемый |
модуль |
упрочнения. Предположим |
|||||
теперь, что внутри каждого компонента р W-компонентного ком |
|||||||
позита |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(х) = E V = const, Е*(х) = Е Р*= const, |
es(* )= e sp, |
(1.46) |
||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o l < ( £ < |
< O s, |
|
(1-47) |
||
где Os1 — предел |
текучести |
по напряжениям, соответствующий |
|||||
Bs1— пределу текучести по деформациям. |
|
|
|||||
Упражнение 1 .2 . Показать, что для композиционного стержня |
|||||||
(1.45) |
— (1.47) эффективные определяющие |
соотношения |
имеют |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc,p+,V |
Р |
|
|
|
|
|
|
+ £(A (‘>_/l(i+l,K (I’. |
|
||||
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
А. ( « О - |
U lw < » ' |
<<*'(Р+1). p = l , |
N - 1 ; |
(1.48) |
||
A<"+1V + V(ftw -ft<f+1>) £ ‘\
где
P—1 N
P -1 |
N |
P -1 |
№ =
P -1
(1.49)
причем Vi — объемная концентрация i-го компонента композита. Доказать, что для всех р
(1.50)
§ 2. Задача о перемещениях для упруго-пластического композита
Рассмотрим неоднородную упруго-пластическую |
среду, вооб |
ще говоря, анизотропную. Пусть при активном |
нагружении |
(oijdei;/> 0 ) |
связь между |
напряжениями а*/ и деформациями е/ |
||||
(или градиентом перемещений щ,,) имеет вид |
|
|
||||
|
|
аи = |
(*» е) = |
(*• Grad и)> |
|
(2 .1) |
где ^ у , |
& 1}— — тензор-функции, |
инвариантные |
относительно |
|||
группы |
преобразований, |
характеризующих данный |
класс |
анизо |
||
тропии. Если с некоторого момента в некоторой |
точке |
процесс |
||||
нагружения |
становится |
пассивным |
(а^дец<0), то связь между |
|||
напряжениями и деформациями 'описывается обобщенным |
зако |
|||
ном Гука (1.3.1) |
|
|
|
|
аИ — ei‘i = |
с ии М |
— «м ). |
(2 -2) |
|
где a'ij и и'ы — компоненты |
тензоров |
напряжений и дисторсии, |
||
достигнутые к моменту начала разгрузки |
(пассивного процесса). |
|||
Сформулируем теперь квазистатическую задачу теории малых |
||||
упруго-пластических деформаций при активном нагружении |
|
|||
&ij,у (х, Grad и) + |
X; = |
0 , |
(2.3) |
|
И/ к = и?, &ц ('х, Grad и) п} к = 5?. |
(2.4) |
|||
Предположим теперь, что рассматриваемый неоднородный ма териал является композитом, представляющим собой периодиче скую структуру. Как и прежде, вводим малый параметр а и бы
стрые координаты £, так что уравнения равновесия (2.3) примут вид
— &чм(£> ди) + &t/,/(£, ди) + X t = 0, |
(2.5) |
а |
|
где ди представляет собой сокращенную запись Grad и. Решение задачи (2.3), (2.4) ищем в виде асимптотического разложения
ui = vi М + |
a |
(|, |
ди) + а2 N?] (£, д и, d2v) + |
|
+ |
а8М 3) (|, |
dv, d2~v, dh>) + |
(2 .6) |
|
В дальнейшем мы не будем записывать аргумент функций Хг(9), которые будем называть локальными функционалами <7-го уровня, предполагая, что аргументом являются быстрые ко
ординаты £ и градиенты перемещений (по медленным координа там) порядка 1 , 2 ,..., q. Тогда разложение (2.6) запишется в виде
и , = jr a " JV}rt; |
(2.7) |
<7= 0 |
|
= .»/(*)> |
(2 .8) |
причем все локальные функционалы отрицательного уровня тож дественно равны нулю.
Дифференцируя (2.7), получим
|
«< ./= £ |
“ЧЛ$ГН) +Л#)]. |
|
(2.9) |
|
|
<7=0 |
|
|
|
|
Используя (2.9), |
разложим определяющие соотношения (2.1) в |
||||
ряд по параметру а: |
|
|
|
|
|
|
S |
i r |
(Т. з7+ у)у(1) |
X |
|
|
д ekllt д ek2lt |
д e*r lr |
|||
|
|
||||
|
г= 0 |
|
|
|
|
x S S |
s ^ - ^ w + A r t s i j x |
|
|||
<7i=l <7*=1 |
<7/.= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2. 10) |
|
V |
= Nj\t et ® a,, |
|
|
|
где под производной нулевого порядка понимается сама функция. Подставляя (2.10) в уравнения равновесия (2.5), приравняем
выражения |
при |
одинаковых |
степенях а некоторым |
тензорам- |
|||
функциям, не зависящим от быстрой |
переменной |
Выражение |
|||||
при степени |
— 1 |
приравняем |
нулю. Тогда можно |
записать: |
|||
р+1 |
д ekJt |
& Ч ' 1' |
, . + . . . + , г = р + 1 |
|
|
||
[S г[ |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
2 |
( < ^ |
1) + |
< :!,) . • • |
Lr-o |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(#*Я1 + |
|
|
|
|
|||
/дЛ<7г+1> ; |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
г=П |
* * |
|
|
хS w & t ” + лй:1.)
<7х+...+<7г= Р
|
= И$,(до, д% |
ар+|о), |
(2. 11) |
|
р = |
1 , 0 , 1 , |
qa ^ 1 , а = 1 , |
|
|
причем величины h^> с отрицательными индексами тождественно равВы нулю.
Соотношения (2 .1 1 ) представляют собой рекуррентную после довательность уравнений для определения локальных функциона лов. При Дополнительных условиях
d ' & u i i , |
a?+vw(1>) |
|
£ |
(ЛЙЙ-" + < : ! . ) |
|
de. |
|
|
|
||
%h |
|
<7|+ - ••+?/•= p |
|
||
( < C |
+ < ( ! , ) ) = |
ft!f |
(do. |
dp+lv)\ |
(2.13) |
|
<7a ^ 1 ; 06 = -l, |
, r. |
|
||
Соотношения (2 .1 1 ) |
представляют |
собой |
последовательность за |
||
дач теории малых упруго-пластических деформаций для неодно
родной среды на ячейке периодичности |
(задачи |
Ж а (р )> р = — 1, |
|||||||||||
О, 1,...). Заметим, что только задача Ж а (— 1): |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
&ц\1(|, dv + |
V N{1)) - о |
|
|
(2.14) |
||||||
является нелинейной. Остальные |
задачи |
Ж а (0), |
Ж л ( 1) |
будут |
|||||||||
линейными. |
|
|
|
|
(2.5) |
с |
учетом |
(2.11) |
приобретут |
вид |
|||
Уравнения равновесия |
|||||||||||||
|
£ |
a?hlfj {dv, |
|
, dq+1 v) + |
X, (x) = |
0 , |
(2.15) |
||||||
|
<7=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а граничные условия (2.4) — вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||
£ a |
Is, = |
«?. |
£ |
|
a" h\f (dv, |
, 3,+1 v) n, |z, = S ?. |
(2 .16) |
||||||
<7=0 |
|
|
<7=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы решить |
задачу |
(2.15), |
(2.16) |
воспользуемся |
разло |
||||||||
жением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о, = |
£ |
аР w№ |
|
|
|
(2.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
Р —о |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
разложение |
(2.17) |
в |
аргумент функций Л//<*) и |
пред |
||||||||
ставляя эти |
функции в виде |
ряда |
по |
степеням а, |
получим |
|
|||||||
h\f(dv, |
, ^ |
+1) = |
|
|
|
2 |
|
|
£ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
' 1=0 |
'1=0 |
|
гх\г21. . . rq+1l |
|
|||||
|
|
|
|
г<7+1=и |
|
|
|
||||||
|
|
drt+“ |
+ r«+1 fitf) (д |
, а2ш(°>, |
|
|
|
||||||
|
dvkl./1 |
dvJ |
|
|
аи |
2 |
2 |
|
5 wfc2 ,2 |
,2 |
2 |
|
|
|
Г |
1 |
|
|
|
МЙUh1»*12 |
|
*'«• Z'.l |
|
|
|||
|
|
|
au |
, |
a^+ ia5(0^) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r<7+ l *+1 |
V i 7+1 |
ОО |
00 |
00оо |
Е S |
S |
|
2 , |
|
РгГ1 |
p l + ...+ p '.+ Р ? + . . . + р * + . . . + Р ^ х
У“ Р' +
|
|
|
|
(2-18) |
Воспользуемся |
также разложением |
локальных функционалов |
||
по степеням а: |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
rt= О г,=0 |
/у=0 |
X |
дГ1+" '+Гд N(Q) (gf ^ { 0 } f .. . |
t Э%;{0} |
||
|
|
|
|
|
00 |
о* |
|
|
|
*Е |
s |
|
(2.19) |
|
|
|
|
|
|
„1=1 |
n<r |
- |
|
|
p j = l |
I * |
- 1 |
|
|
Подставим теперь |
(2.18) |
и (2.19) |
в уравнения равновесия |
|
(2.15) и граничные условия |
(2.16) и приравняем члены при оди |
|||
наковых степенях а. Тогда получим рекуррентную последователь
ность краевых задач |
(задачи |
ДА(9 ), |
9 = 0 ,1 ,—) |
теории |
малых |
|
упругопластических |
деформаций |
для |
однородной |
среды. |
При |
|
этом только задача ДА(0) |
|
|
|
|
|
|
|
h?lf(dw^) + |
Xt = |
0, |
|
(2.20) |
|
|
|2i = uf\ |
hfj (da/0^) tij = S°i |
|
(2.21) |
||
будет нелинейной. Все остальные задачи Да(<7)> |
будут ли |
|||||
нейными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
|
(a) |
dhi? |
|
|
|
|
{q} |
№ |
|
|
“ г * |
— ^ |
— |
|
|
“ * ? * / |
~ S } |
|
|
|
|
|
|
|||||
где входные данные каждой задачи |
Д а (</), |
<7=1, 2 , |
|||||||
ются из рекуррентных соотношений |
|
|
|
|
|
||||
|
X {4 )= Q $ , |
|
|
|
|
/1, 1* . |
|||
|
|
— [ m+n=q£ |
00 |
|
00 |
|
|
||
|
«{?> = |
гГ1=0 |
гтЛ |
'll |
' |
||||
|
dr,+...+ rm |
|
|
|
|
... |
, дт |
||
|
|
dv |
••• д” г„ |
1 *** |
|
t "1MO |
|||
|
|
k\. |
I |
||||||
|
|
|
г, |
l r |
l r m |
||||
|
|
|
|
..i 1 |
|
m |
|
rm |
|
х |
2 |
|
<"}} |
("£ > |
|
|
|
||
|
k\>l\ |
® * S |
.*;«i |
|
|||||
|
«!+...+пГт |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(<7> |
|
2 |
2 |
|
|
l |
||
|
£ |
|
Til ... r,n+i! |
||||||
|
m |
+ n=<7 |
r , = 0 |
|
|
г т |
+ |
1ж=0 |
|
(2.23)
определя
(2.24)
(2.25)
|
x |
drt+ +rm+ih(m) |
|
. a ^ a » !0!) |
|
|
|
||
|
------— L---------------- x |
|
(2.26) |
||||||
|
|
*;.i{ •••aV + i ./?i+ 11 i?+\ .'-e +'n |
|
|
|
||||
|
|
1 1 |
r m |
rm+ i +1 1 |
rm +i* |
Ln*+1 |
|
|
|
|
|
rmm+in |
|
|
|
||||
|
|
V |
w{*\) |
{nf+ i) |
|
|
+ |
||
|
|
... |
rm+1 |
m+i |
|
||||
"1+4+-•+<+"?+• ••+»££!=« |
|
rm+i rm+i1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
“ |
i |
dr-/,fj>(dw(°h |
|
|
{^1) |
{rtl > |
|
|
|
+ 2 |
rjl |
du ... |
dv , |
|
|
Wbi |
“V b |
; |
|
nJ+ ...+nl |
|
V r t |
|
|
|||||
r1=2 |
V l |
ЛгЛ» |
|
|
|
|
|||
|
rx+ r2+ |
+ гт+1> 1, m > 1, n ^ 0. |
|
|
|
||||
Задача |
Да (0) (2 .20), |
(2 .2 1 ) |
является |
задачей |
теории |
эффек |
|||
тивного модуля, ибо функции Л*/°> связывают средние напряже ния ( ац) со средними деформациями ( е//), т. е. являются эф фективными определяющими соотношениями теории малых упру гопластических деформаций.
Для задачи по теории нулевого приближения достаточно ре
шить задачу ДА(0) (в которой следует положить оЛ°}=и), а за-