Механика композиционных материалов

Для определения локальных функций М(0)(£) нужно решить за­ дачу Ж б(0) :

где величины A, В, D находятся по формулам (3.16), (3.17), (3.6). Если локальные функции M ^ mnpq найдены, то находятся ве­

личины К простым осреднением

а по ним — и эффективный тензор упругих податливостей Н:

где тензор функций напряжений ф(я) определяется по теории эффективного модуля:

Э тензор % удовлетворяет условиям

[ H p q ii %kn,lmut — 0

(6.27')

e ik l Gjmn t y k t ijm + M knpqrs typq.rslm) K j |s — 0»

где правые части в (6.26) и (6.27) — заданные величины (3.33), (3.35).

Локальные функции М(2)(|) представимы в виде

причем М(£) должны находиться из решения уравнений

по теории нулевого приближения не требовалось больше инфор­ мации, чем при решении по теории эффективного модуля. Следо­ вательно, зная указанные выше локальные функции, можно, не решая никакой задачи, «подправить» решение по теории эффек­ тивного модуля, с тем чтобы получить микроперемещения и ми­ кронапряжения.

Поэтому, найдя для данного композита указанные выше ло­ кальные функции, можно найти для него микроперемещения и

микронапряжения в нулевом приближении (т. е. перемещения и напряжения внутри каждого компонента), попутно определив эф­ фективные тензоры модулей упругости или упругих податливо­ стей.

Точно так же строится теория нулевого приближения для зада­ чи теплопроводности (4.3), (4.4). А именно:

и по теории эффективного модуля определяется Ф(я):

Теория нулевого приближения для непериодических регуляр­ ных структур отличается от теории периодических структур тем, что локальные функции (и, может быть, тензор модулей упруго­ сти) зависят от медленных координат. Пусть, например, требуется решить задачу (5.11) — (5.14). Согласно теории нулевого прибли­ жения решение этой задачи ищется в виде

И т= Vm(x) + Ct[W{o)m (£, x )v ,(x ) + N(t)m (|, X) V,.k (*)] + <lWm, (6 .44)

где индекс q—1 у локальных функций, введенных в (5.16), опу­ щен.

Вектор v определяется из решения задачи по теории эффектив­

Величины h можно определить по формулам (5.28), (5.29):

ft" (х)= ( — rL,;C"m + 2 Г/г С'>'тп х

Если рассматривается квазипериодическая среда, то после определения эффективного тензора модулей упругости hijlk осталь­ ные величины h можно найти по формулам теории эффективного модуля:

лярной структуры отличается от теории нулевого приближения периодической структуры только тем, что в первом случае тен­ зор эффективных модулей упругости будет зависеть от медлен­ ных координат. 0

В заключение заметим, что напряжения по теории нулевого приближения а»/0) можно выразить через напряжения по теории эффективного модуля ацэ= хц по формуле

ний. Если для неограниченной среды на бесконечности задано однородное напряженное состояние, то этот тензор позволяет вы­ числить концентрацию напряжений, возникающую за счет неодно­ родности структуры композита.

Аналогично, деформации по теории нулевого приближения е*/<°> выражаются через деформации по теории эффективного модуля еif>==V(iyj) по формуле

ций. Тензоры А (Е) и В(|) взаимно-обратными не являются.

Упражнение 6.3. Показать, что тензоры А(£) и В(£) связаны между собой зависимостями

Bljmn (£) = Jiikl (£) ^ klpq (£) hpqmn»

Можно получить оценку точности нулевого приближения в за­ висимости от параметра а:

§ 7. Неидеальный контакт

Рассмотрим поверхность Г0, разделяющую один компонент композита от другого. Согласно (1.2.16) ^ на этой границе осуще­ ствляется идеальный контакт, если на ней выполнены условия

где индексом (1) помечены величины, относящиеся к компонен­

ту (1), а индексом (2) — к компоненту (2), п — единичный век­ тор нормали, внещней для компонента (1) и внутренней для ком­ понента (2). Другими словами, величины на поверхности Г0, по­ меченные индексом (1), получены предельным переходом со сто­ роны компонента (1), а индексом (2) — со стороны компонен­ та (2). Условия (7.1) можно записать сокращенно:

В § 2 гл. 1 было показано, что обобщенное решение задачи МДТТ автоматически удовлетворяет условиям (7.1) на каждой поверхности, разделяющей компоненты композита.

В § 2 настоящей главы введены понятия псевдоперемещений и псевдонапряжений, полезные при интерпретации задачи Ж(<7).

где компоненты 2*/*/ тензора псевдонапряжений первого уровня,

функций (вектора псевдоперемещений) является непрерывный вектор псевдоперемещений Ощ), для которого на границе Го в си­

Псевдонапряжения 2(И) при переходе через поверхность Го терпят разрыв, ибо «объемные силы» Сцы,1 в уравнениях равновесия (7.3) являются производными от разрывных на поверхности Го функций координат.

Условия (7.5) и (7.6) и являются условиями идеального кон­ такта на поверхности Го, так как они автоматически выполняют­ ся при решении задачи (6.6) — (6.8).

Однако при деформировании реального композита возможны нарушения идеального контакта: отслаивание, проскальзывание одного компонента относительно другого и т. п.

Например, в случае, если на границе Го, представляющей со­ бой плоскость х3 = const, происходит проскальзывание одного ком­ понента композита относительно другого без отслаивания, условия контакта будут иметь вид

Можно записать и более сложные условия, например условия, когда на границе Го учитывается трение или частичное отслаива­ ние одного компонента от другого. Однако такие граничные усло­ вия будут нелинейными, а наша основная задача сейчас состоит в том, чтобы, сохранив методику осреднения, описанную в преды­ дущих главах, учесть условия некоторой неидеальности контакта на границе Г0.

Вспомним о граничных условиях контактного типа (1.2.7). Они являются линейными, но описывают достаточно широкий класс

компонента (2).

Пусть нам требуется решить задачу теории упругости для ком­

жения, т. е. искать решение в виде (6.3), где v — решение задачи (6.4), (6.5) по теории эффективного модуля. Однако сам эффек­ тивный тензор модулей упругости h для этого случая будет, вооб­ ще говоря, отличаться от соответствующего тензора для задачи с идеальным контактом. Ведь для определения эффективных мо­ дулей нужно найти решение задачи (6.6) — (6.8) для определения локальных функций. В случае идеального контакта на поверхно­ сти Го выполняются условия (7.8), а в случае неидеального кон­ такта их нужно в соответствии с (7.10) заменить условиями

Упражнение 7.1. Подставляя в (7.10) выражения для переме­ щений (6.3)

и напряжений (6.11)

по теории нулевого приближения показать, что они эквивалент­

ны условиям (7.11), так как для вектора v выполняется условие

Упражнение 7.2. Показать, что если для упругого стержня (см. § 1), являющегося двухкомпонентным композитом, условия идеального контакта на границе раздела компонентов £= у

и проделывая обычные процедуры техники осреднения, получим

Первая из этих последовательностей возникает в результате

где тензор HUKL будет различным в зависимости от того, рас­ сматривается плоская деформация или плоское напряженное со­ стояние. Но в любом случае его компоненты нельзя получить вы­ брасыванием в трехмерном тензоре Нцм элементы с индексами 3.

S / ^ = S ? — Фп/|г,

где

T u lg l.K ^ ^ e/pejRM^^K^PR + («/к?+а х

X eJP + ejR ^P ip) M ^ + "V l |P + е‘ кя^ к ^ гМ.к1. к1=

Мк,+.'к,+11|Р+ МкУ.к^Ьрк^. (8.23)

Эффективный тензор упругих податливостей Н и величины определяются при решении второй рекуррентной последователь­ ности задач Жв(<7).