Механика композиционных материалов

мадии функций от операторов ф(а>) такими выражениями, кото­ рые могут быть легко расшифрованы. Например,

0) 1+Рсй

где А, В, С могут быть найдены хотя бы методом наименьших квадратов. Заметим, что для многих изотропных вязкоупругих материалов объем не релаксирует, т. е.

Для формулировки квазистатической задачи Б линейной тео­ рии вязкоупругости изотропного однородного тела достаточно в уравнениях (3.25) заменить упругие постоянные на операторы

+a(l~ 3t - m) ви.и6{1 + Yu = О,

1— Cl)

где ё, a — произвольные линейные операторы, от которых реше­ ние задачи (4.36), (2.27) не зависит.

При формулировке определяющих соотношений физически не­ линейной теории вязкоупругости обычно исходят из представле­ ния операторов (1.1) или (1.2) в виде интегралов возрастающей кратности. Затем, чтобы сделать теорию «серьёзной», вводятся разумные допущения.

Определяющие соотношения нелинейной вязкоупругости доста­ точно общего вида могут быть, например, заданы в виде

тензоров ядер релаксации шестого и четвертого ранга соответст­ венно, а — некоторый малый параметр. (При а = 0 соотношения (4.37) превращаются в соотношения линейной теории вязкоупру­ гости.) При решении задач термовязкоупругости в случае, когда свойства материала зависят от температуры, часто пользуются температурно-временной аналогией. Для этого вводится так назы­

ваемое местное время t\ связанное с физическим временем зави­ симостью

t

(4.38)

где функция атопределяется экспериментально. Благодаря заме­ не (4.37) в определяющих соотношениях термовязкоупругости не будет явной зависимости от температуры, и они формально изме­ нятся только тем, что в них физическое время t заменится на

местное (приведенное) ¥.

Вязкоупругая среда имеет способность к рассеиванию энергии и поэтому при решении задач термовязкоупругости нужно учиты­

ласть отрицательных времен так, чтобы R (— H = R (0 , П (— t) =

= П (t).

Упражнение 4.9. Показать, что для изотропной линейной тео­

Упражнение 4.10. Доказать, что если функции релаксации R(t) и Ri(t) изотропного вязкоупругого тела, абсолютно интегри­ руемые на оси времени 0 < ^ < о о , положительны на ней и ограни­ чены, то «касательный» модуль этой среды положителен.

Упражнение 4.11. Доказать, что если выполнены условия пре­ дыдущего упражнения для функций ползучести П(£)> ПДО, то изо­ тропная вязкоупругая среда обладает положительной «касатель­ ной» податливостью».

В заключение рассмотрим главную квазилинейную теорию вяз­

Здесь мы также считаем, что линейные и нелинейные ядра релак­ сации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие:

оо

Если ГФ=Г* = 0, то соответствующая теория называется главной квазилинейной с мгновенной линейной упругостью. В случае, если объем среды изменяется упруго, соотношения (4.45) принимают вид

Если же рассматривается несжимаемая среда, то физические соот­ ношения (4.44) и (4.45) принимают вид

оо

Если в теориях (4.44), (4.45), (4.48) положим

то получим из (4.48) теорию малых упруго-пластических дефор­

Однако если функция релаксации R{t) такова, что ее производная мало изменяется, можно указать два случая, когда они являются взаимно-обратными с некоторой степенью точности, В общем же случае соотношения главной нелинейной теории релаксации, на­

пример (4.44), (4.45), можно обратить и представить в виде глав­ ной нелинейной теории ползучести:

но нелинейные ядра ползучести считать функционалами от тен­ зора напряжений. Если фиксирован конкретный процесс нагруже­ ния, то можно найти нелинейные ядра ползучести через известные нелинейные ядра релаксации методом последовательных прибли­ жений.

§ 5. Упруго-пластическое тело

Рассмотрим склерономную модель изотропного однородного тела. Будем считать, что шаровые части тензоров напряжений и деформаций для нее связаны между собой по закону теории упру­ гости (4.47)

а девиаторы этих тензоров — по следующему закону:

Ф (ец), являющейся универсальной функцией данного материала,

где <о (бы) — функция пластичности А. А. Ильюшина, характерный график которой показан на рис. 6.

Описанная модель упруго-пластического тела составляет осно­ ву теории малых упруго-пластических деформаций, разработан­ ную А. А. Ильюшиным. Эту модель иногда называют деформа­ ционной теорией пластичности, но между этими теориями имеется существенное различие. В деформационной теории считается, что описанная модель упруго-пластического тела справедлива для лю­ бых процессов деформации и нагружения, т. е. для любого изме­ нения со временем тензоров e(t) и s{t).

Теория малых упруго-пластических деформаций строго спра­ ведлива только для так называемых простых процессов деформа­ ции и нагружения, т. е. в случае, когда тензоры e(t) и s(t) изме­

няются пропорционально одному параметру:

жения, так как модель упруго-пластического тела — склероном­ ная) не зависят.

Более того, доказано, что все теории пластичности в случае простых процессов совпадают с теорией малых упруго-пластиче­

получим формулировку задачи А для упруго-пластического тела. Для решения этой задачи А. А. Ильюшин предложил так назы­ ваемый метод упругих решений и указал условия его сходимости:

выполнены неравенства (1.13), причем материал обладает мягкой характеристикой.

В силу монотонности функции (5.4) интенсивность тензора де­ формации можно выразить через интенсивность тензора напря­

записать в виде

(5.11)

и благодаря (5.1) получим

*=-£-£+ -г-<£-*>■ (5.12)

Предположим, что функцию (5.10) можно представить в виде

Подставляя определяющие соотношения (5.12) как оператор связи между деформациями и напряжениями в (2.19) и (2.26), получим статическую (квазистатическую) задачу теории малых

может быть получено методами последовательных приближений, причем на каждом шаге решается упругая задача.

Упражнение 5.3. Показать, что для упруго-пластического тела

Таким образом, для определения четырех функций ы, а имеем че­

Возникает вопрос, существуют ли такие среды, в которых можно выбрать входные данные таким образом, чтобы в каждой точке среды одновременно осуществлялся простой процесс.

Упражнение 5.6. Доказать теорему о простом нагружении (А. А. Ильюшин). Если материал несжимаем (5.16), интенсивно­ сти тензоров напряжений и деформаций связаны между собой сте­ пенным законом

где с и п — некоторые постоянные (первая имеет размерность напряжений, вторая — безразмерная). Если, кроме того, поверх­

ностные и объемные силы 5° и Х° возрастают пропорционально

одному параметру y.Vt а заданное перемещение и0 пропорциональ­ но другому параметру хы:

Следует также учесть, что функция пластичности А. А. Ильюшина со может зависеть от температуры:

с граничными условиями (2.32) и начальными данными (2.33), причем в (2.31) следует положить

§ 6. Установочные эксперименты

Как уже отмечалось, феноменологическая теория МДТТ опи­ сывает только некую абстрактную математическую модель, кото­ рая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных материалов с той или иной степенью точности. Вопрос о выборе математической модели для проведения проч­ ностного расчета реальной конструкции или материала решается только из сравнения^ результатов теоретического исследования

сэкспериментом.

Вэтой связи экспериментальные исследования можно условно разбить на два типа: установочные эксперименты (с помощью которых устанавливается выбор той или иной математической модели) и проверочные эксперименты (с помощью которых про­ веряется точность расчета, проведенного по выбранной модели). Здесь мы исключаем из рассмотрения самостоятельные экспери­ ментальные исследования, не нуждающиеся ни в какой теории (например, натурный эксперимент: развалится или не развалится исследуемая конструкция под действием определенных нагрузок).

Установочные эксперименты, опять же условно, можно также

разбить на две группы: общие установочные эксперименты (в ко­ торых устанавливаются некоторые общие свойства операторов связи между напряжениями и деформациями) и модельные уста­ новочные эксперименты (в которых определяются материальные функции выбранной модели, т. е. функции, которые в рамках выбранной модели позволяют один материал отличить от дру­ гого) .

В общих установочных экспериментах можно, в частности, выяснить четыре важных вопроса.

Для выяснения этого вопроса достаточно проверить выполни­ мость принципа линейной суперпозиции. Например, для трех раз­

где a и p — некоторые числа, снимаются экспериментальные зна­

то говорят, что выполняется принцип линейной суперпозиции, и тогда операторы (1.1) и (1.2) — линейны.

Следует иметь в виду, однако, что векторы 5? (х, t) и 5? (х, t) должны быть линейно независимыми. Если же выбираются все

«S° (х, t) такие, что

вой степени, но не обязательно линейны. Например, в экспери­ ментах на одноступенчатую релаксацию или ползучесть прове­ ряется, строго говоря, только однородность операторов (1.1) или (1.2).

2. Склерономность или реономность модели.

Для выяснения этого вопроса можно, например, задать поверх­

ностную нагрузку 5° (х), не зависящую от времени, и снять пока­ зания деформаций в течение контрольного времени в некоторых точках исследуемого тела (например, в рабочей части образца). Если деформации не будут меняться во времени, то разумно при­ нять допущение о склерономности модели. В противном случае она будет реономной.

3. Анизотропия.

Выяснению характера анизотропии часто помогает внешний вид и структура испытуемого материала. Полное исследование