Механика композиционных материалов

X* fa +

1)

4n*+2<I„ (A > 1 ),

(2. 11)

Ck+ 2 =

X2

x* +

П=1

4

“

X»(xt +

1)

ak +

- ^ y A W R b i k -

X*— 1

x*fa + l)

(£ +

2)

^

T]nft+2an.

X* +

x2

n=l

Упражнение 2.1. Доказать, что свободные члены системы

(2.9)

ограничены в совокупности и ряды

I.

1*14*41*1

(2Л2)

k,n=1

Л,п=1

А,п=1

сходятся, т. е. система (2.9)

является системой нормального

типа.

Упражнение 2.2. Доказать, используя условие периодичности

функций U 1, U2,что

h\\р + Лггрр = (Сцрр + С22рр) —2nR

—clf

H-i

x

^22pp — h\\pp =

( C 22pp —

Cupp)

+

[(1 + Щ) a i

+ Yi (P) # ] • ( 2 - 1 3 )

Упражнение 2.3. Показать, что для задачи Жр? вектор объем­

ных псевдосил

Xi(pq)= Cijpq.j

(2Л4)

имеет представленный в табл. 2.1 вид.

Т а б л и ц а

2.1

Hpq)

х х

у

у

(pq)

'

.

Аз

(И )

(Я. + 2р)|4

А/,о

0

(22)

Ki

А

+ 21*).,

0

(33)

^.1

^,i

0

(12)

И,2

0

(13)

0

0

(23)

0

0

Ц,2

В табл. 2.2 приведены значения относительных эффективных

модулей

Лцц/(Ai—f—2fXj), /11122А 1,

^пззАь

Лзззз/A i“b2m)

в зависи­

мости от

х* при

разных

объемных

концентрациях

волокна у.

Константу А определяем

из

условия периодичности функции С/3:

А = ------— nRzat.

(3.3)

Тогда

-

Ч> = -

n F t a i +

Я»; (*).

°и -

iah =%(*)■

Условия (1.27) и (1.28) на границе Г<ю можно записать

в виде

А - ^ - + —

R e«M 0 = —

R e«h(0.

(3.5)

IK

(X!

p2

Im q>! (t) + ( HI

+ Hi -

ц„)

= Im <p2 (t).

(3.6)

e» - x £ *

^ . = Jr ^ - * 6 u ,

(3.7)

П=1

р - f c L

l Rk+iTk+ u n = \ ,

(3.8)

_

(

я,

* = 1,

(3.9)

*+‘

l s * f l ,f t > 3 ,

v __

1—X*

(3.10)

Ck = *'(ak + £ Pnifln)-

(3.11)

П—1

Упражнение 3.1. Доказать, что

^1313 _ J

%Уа1

(ЗЛ2)

Pi

R\it '

а Фа (а) и г|)а(2)

имеют

вид

(2.3). Из

условия

периодичности

функций £/ь U2 находим, что

а0 =

--------60=

- a

1 (x 1- - ^

- U -

я2

/

(3.16)

Xi т 1

V

Условия идеального контакта (1.32), (1.33) примут вид

ФИО —<ф!(0 — ФИО—(Hi— Иг)^= ч>«(0 — <ч>2(0 — ♦«(О. (3-17)

« 'K < P i(0 +

<ф|(0 + ЫО]= Ф»(0 + <фг(0 +

’МО-

(3.18)

Для определения

коэффициентов

ah получим

следующую

нор­

мальную систему уравнений:

a k + ^ o a A f t

+

n=i

nk +

B G nk) =

E

(Hi —

Иг)

(3 .1 9 )

где

Л0 = в ( - ^ -

— хЛ v; B =

x>~

!

°

V

1+K*:;*xt

л =

в

X2 —X*Xi

;

E =

-

1

(3.20)

X* + x 2

1-ГХ*Х!

Коэффициенты 6/t,

, dh выражаются

через

ак следующим об­

разом:

&i =

0,

оо

Ь/е+2 = kak +

—

^

Л/г к+2ап (& ^

1 )>

X* (XI +

1)

(3.21)

Х2 +

1

Ё

-Т1"А "

П=1

Ск+2 =

X* (X! + 1)

ОО

Т\пк+2С1п (£ > 1 ),

х* + х2

п=

1

dk= j q * ± l L a k

X* (Цх — ц2)

1 — X*

М и -

1—X*

X* (х, +

1)

(^ +

2) ^

т]п. к+2fln.

X* + х 2

Упражнение 3.1. Показать, что

Иг

лгр-1

(3.22)

модуля Л1212/Ц1 при

разных

объемных

концентрациях

волокна

Y (vi = 0,39;

V 2 = 0,2)

Т а б л и ц а 3.2

X*

V

0.4

0,55

0.7

0,75

0,78

6

1,5 82

1,951

2 ,6 4 4

3 ,0 8 2

3 ,4 9 3

20

1 ,7 4 3

2 ,2 9 0

3 ,6 4 6

4 ,9 4 6

7 ,1 0 2

120

1,8 1 0

2 ,4 4 8

4,281

6 ,6 1 6

14T261

400

1,8 2 0

2 ,4 7 2

4 ,3 9 2

6 ,9 6 9

1 7 ,1 0 5

00

1 ,824

2 ,4 8 3

4 ,4 4 2

7 ,1 3 4

18,770

^1111 — ^2222 — (Cllll)

+

(

У2( 1)

+ a 2v ,(l)j

Y 1ai

-

l

Pi

,

.

1

Y1(D

^1122— (C1122) +

Y |ai

Pi

‘ a2Vl(l)} ■

1

Y*(1)Y.(3)

\

»

"1133 — "2233 — (^1122/

~r Ya i

Pi

(3.23)

Y? (3)

^зззз —

( Q i i i )

+

Yai

Pi

^1212

(xi +

1) XiY _

1*1

1

x .- x ? n v - V .

_ __ ^2323

11'

2XY

Pi

Pi

1 + % y - X 9NiY % '

где

x2 — 1

|Y —

1 — x,i(«i +

1)

*»-

- N J - ' N A ,

2ao

2a0

XI + 1

(i+ x * x 1) ( x , - X i W

'_1£/«)

„ _

x2 — X*Xi

_

1 — X*

(3.24)

a3 —

-----“

» M —

1+ X*Xi

x* + x2