Механика композиционных материалов
..pdfгде постоянные векторы агопределяют период структуры. Не
ограничивая общности, векторы а* можно направить по осям ко
ординат: аа = |
аа еа. |
Тогда аргумент левой части |
соотношения |
(2.3) может |
быть |
записан: ха + аапа. Пусть / |
— характерный |
размер неоднородности, например наибольшая из компонент век торов а*. Тогда, совершив преобразование
х 'а = ~— Ха |
(х[ = |
— Xlt |
М = — Х2, xl = |
— |
Хг \, (2.4) |
аа |
\ |
fli |
о2 |
а, |
1 |
вводим быстрые координаты £: |
|
|
|
||
|
ь |
- [ - £ |
+ «■].• |
|
(2'5) |
па— произвольные целые числа. Как и прежде, мы будем предпо лагать, что I много меньше характерного размера тела (компози та) и что можно ввести безразмерные координаты, отнесенные к
I, которые будем обозначать снова через х. |
Тогда |
|
ь = [ - 7 - 1 + яэ]о = [ - ? ■ + "о ];- ^ |
" Г ’ |
" г - (2-6) |
Будем считать, что тензор модулей упругости С зависит от быст
рых координат £ и обозначим производные по координате £* чер той перед индексом, оставив запятую для обозначения производ
ной по медленной координате х{. Дифференциальный оператор V ,
который относится к медленным координатам х, будем обозначать
через V ', если он относится к быстрым координатам £:
V ф (х) = |
grad ф= ф,( ej; |
v ' [ф(?) = |
grad' Ф = Фк"е{. |
(2.7) |
|||
Тогда уравнения |
(2.1) можно записать в виде |
|
|
|
|||
— V ' - C ( | ) : v ® “ + |
V -C(?): |
+ |
Х = |
О |
|
||
|
j |
|
|
|
|
|
(2.8) |
|
( “ •Ciikt\i Uh-,1 + |
С т Uk,l/ = |
“ X i j . |
|
|
|
|
Будем искать |
обобщенное |
решение задачи |
(2.1) |
(или |
(2.8)), |
(2.2) в виде асимптотического разложения по малому параметру а, используя технику осреднения, описанную в предыдущем пара графе.
и = v (х) + |
a N(1) (|): V ® |
v W |
+ |
а2 N(2) |
V ® |
V ® v W |
+ |
|
_ (П+1) - |
|
-V |
+ |
- |
|
|
|
+ anN( ) (|) |
v ® |
|
® V ® u U ) + |
|
||
|
(щ = Vi (л:) + a NlJh (|) vf,kl (х) + |
|
|||||
+ < * N l f U (0О/.М.(х) |
+ |
+ a nN \ fl...kn ( t ) v Jtkl...ka (*)), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
где символы |
(п+1) |
|
|
|
|
|
скалярно |
означают операцию (/г+1)-кратного |
|||||||
го умножения. Величины |
N<n>(|), |
так |
называемые |
локальные |
|||
функции координат п-го уровня, являются тензорами |
(/г+2)-го |
||||||
ранга. Безындексная форма записи |
соотношений (2.9) |
довольно |
громоздка. С тем, чтобы ее упростить, условимся опускать симво лы скалярного произведения и воспользуемся обозначением
|
d v = |
у ® v = |
vk.i ez® ekt |
|
|
d m v = d ® d ® |
® d v = V k , n 1^ . n m env ® |
® «Яда® ^ - |
(2.10) |
||
m раз |
|
|
|
|
|
Тогда соотношения (2.9) примут вид |
|
|
|||
|
и = |
£ ач№> (|) 1(х) |
|
||
|
q = о |
|
|
|
|
(“ » |
= f |
<** |
(? )% |
л ..*, Й )- |
(2 .1 1 ) |
|
<7=0 |
|
|
|
|
где локальные функции нулевого уровня представляют собой еди ничный тензор второго ранга
Nm = |/ ( < ’ = |
б(/). |
(2.12) |
Продифференцируем выражения |
(2.12) |
по координатам х |
с тем, чтобы получить выражение градиента вектора перемеще ний
V ® и = |
£ a |
‘ [ v '® N(,+1) (|) а<,+|) ? (7) + |
|
|
<7=0 |
|
|
|
+ |
Nw (l)d ,+1 » Й ] |
(2.13) |
(U m .t— £ |
О? |
0 / , t , . . . ^ +1 ( * ) |
+ |
<7=0
+ Nm}kt...kq il)^ i,K ...k ql (*)])•
а также второго градиента перемещений
V ® |
V ® “ = |
£ |
<*« [ v ' ® v ' ® N (,+ 2)(g)d(,'+ 2)y(7) + |
|
|
|
|
Q= - 1 |
|
|
|
|
+ |
(v ' ® |
N(,+ ” (i)) д^:+2) V(x ) + |
|
|
+ |
(N(,+ ,) ( | ) 0 v ') |
(x) + ;N(,) ( I ) д1" +2) V(Г)] |
.(2.14) |
||
|
|
oo |
|
|
|
|
(Um,ln = |
£ |
аЧ |
l^mikt2}.kg+2\lnl(l)Vjtkt...kg_{.2(x) + |
|
|
Q= —1 |
|
|
|
+NlZjkfLk^ \l\(l)^i,kl...kq+1n (x) +
+Nmitl.lkq+1 \n(I) VjA-.-kq+11 (x) +
+Nm]ki...kq (l)Vj,ki...kqZn] ) *
В(2.14) считается, что все локальные функции отрицательного уровня тождественно равны нулю, кроме того, равны нулю сред ние значения локальных функций положительного уровня
N(<7) = 0, <7 < 0; <N(<7)) = 0, <7 > 0. |
(2.15) |
Условие (2.15) ликвидирует некоторый произвол*) в выборе ло кальных функций, которые в регулярных структурах будут непре
рывными, и проясняет смысл векторного поля и, ибо после усред нения (2 .П ) имеем
(u) = v(x). |
(2.16) |
Подставни разложения (2.11), (2.13), (2.14) в уравнения равно весия (2 *8 ). получим (в индексной записи)
оо
J ] aQ{Ciiml\i [Nmrtki)..kq+2\lVn,kt---bq+2+
Q=—1
+ Ml”nkt...kq+lVn,kl-"bq+1l] + |
[Nmnkl]..kq+2\ljVn,kl'--bq+t+ |
|
+ ^mnkJ..kq+1\lVn,kl...kq+1j + |
^m^...kq+1I/ Un,kl |
...kq+l l + |
+ N&kt...kq vn.kl... |
kqii\} + Xt = 0. |
(2.17) |
С теМ Чтобы свести задачу (2.1), (2 .2 ) к задаче однородной теории упругости, приравняем в (2.17) коэффициенты при каждой
* Уел0*11* единственности для локальных функций будут сформулированы ниже.
степени q параметра |
а и |
при |
каждом |
vnikl |
тензору-кон |
станте h^: |
|
|
|
|
|
[ [C ijmlN rSnk^{ |
..kq+2 \l]\j + |
\Cijmkq^ N |
m( k i...k q+1 ]| / + |
||
+ Cikq+2mlN{^k1)...k(J+1\l + |
Cikq+imkq+1Nmnk1...kq = |
^tk^nk,.. .kq^ (2.18) |
Тензоры (4 + ^) -го ранга h<fl) будем называть эффективными тен зорами упругости 9 -го уровня, причем
hW =0 при 9 < 0. |
(2.19) |
Уравнения (2.18) аналогичны уравнениям равновесия теории упругости (2 .1 ) с той лишь разницей, что задача эта решается на ячейке периодичности. Чтобы сделать эту аналогию более пол
ной, введем вектор UW с тензорными компонентами, который на зовем вектором псевдоперемещений .уровня 9 :
Ulnkl...kq==Nrnnkl...kqem. |
(2 .20) |
IJW имеет 9 свободных индексов, т. е., вообще говоря, сЯ тензорных компонент, из которых независимыми будут только 3/г<7(9+1)> так как из записи (2.9)' следует симметрия по индек сам k\y..., kq. В дальнейшем мы эти индексы будем опускать. По соотношениям Коши (1.2.1) можно построить тензор псевдодефор маций, а, применив закон Гука, — и тензор псевдонапряжений
уровня 9 :
= СИт1и $ . |
(2.21) |
Для того чтобы псевдоперемещения всех уровней были непре рывными при их периодическом продолжении, необходимо выпол нение условий
[ [ & « ] ] = О Ц [ Л ^ Д ] ] = 0) |
(2 .22) |
при переходе через границу ячейки периодичности в направлении внешней нормали.
Для того чтобы выяснить характер разрывов псевдонапряже ний, запишем сокращенно уравнения (2.18) в виде
D iv (2 («+2) + С•t7<‘H-1>) + 2 <*+п + С.*7<«> = h<«> , 9 = — 1,0, 1
(2.23)
Обозначим через Г поверхность, ограничивающую ячейку перио дичности объема Q = 1 :
| (£<«+2) + C.j/(,+i)j .пгйГ = h<*> — (5^<<г+,) + С•{/<»> ). (2.24)
Г ~ |
~ |
В частности, при 9 = — 1 в силу условий (2.12), (2.15), (2.19)
| ( £ <1) + с ) - М Г = 0 , |
(2.25) |
Г~
где nr — единичный вектор внешней нормали к границе ячейки периодичности, а для того, чтобы можно было единственным спо собом отыскать решение уравнения (2.18) для (^ + 2 ) -го уровня, непрерывное и периодически продолжимое, считая, что все локаль ные функции уровня ниже q+ 2 таковыми свойствами обладают, нужно, чтобы левая часть (2.24) обращалась в нуль, т. е.
( £ (,+,,+ c-£/«>) = h<*>
|
q = 0 ,1 |
(2.26) |
Таким |
образом, уравнение (2.17) |
после принятых допущений |
(2.18) |
записывается в виде |
|
£tfhW : d<*+2h>+ X = О
<7=0
( £ « » Л Й Ц ................... |
kqi + Х ( = 0), |
(2.27) |
<7=0
а граничные условия (2 .2 ) — в виде
£ |
aW»> (|)а«гГ(х)|г |
=««, |
£ |
a?h(«) : а<«+‘>о-л|г = S° |
||
<7=0 |
|
1 |
|
<7=0 |
|
|
(S |
0,4 |
— (|)°/. |
» --ft<7(*) L, = |
* |
S a? hij£nkx...kq X |
|
<7=0 |
|
|
‘ |
|
<7=0 |
|
|
|
X Un.mfe,...^ Я/|2 = |
5ij. |
(2.28) |
Для решения задачи (2.27), (2.28) воспользуемся методом малого параметра, который заключается в том, что решение за
дачи v ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру
Пр) |
(2.29) |
» = £ « ” |
|
Р = о
Заметим, что метод осреднения, основанный на разложении (2.9), существенно отличается от широко применяемого в механике и физике метода малого параметра (или метода возмущений) (2.29). При применении метода малого параметра величина, стоящая в разложении при этом параметре (например, относительная раз
ность между модулем упругости некоторого компонента компози та и «средним» модулем), считается малой величиной. Поэтому и решение, разыскиваемое этим методом, должно в некотором смысле мало отличаться от решения исходной задачи. В методе осреднения (2.9) все обстоит иначе. Здесь модули компонентов композита могут как угодно отличаться от средних модулей, лишь бы исследуемое тело было составлено из достаточно большого чис ла ячеек периодичности.
Подставляя (2.29) в уравнения' (2.27) и граничные условия (2.28) и приравнивая выражения при одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач однородной тео рии упругости
h<°> : аса) w{P) + Х (Р} = 0 (hlfh wlP}j + Х{ = 0), |
(2.30) |
||
|2i =и°^Р\ |
h °: da^pJ*/i|2e = |
S0^ |
|
(wt^ |2l = u?iP\ |
hj/li w\Ph j |2j = |
S°i *^), |
(2.31) |
где обобщенные входные данные для каждой задачи (2.30), (2.31) (задачи Да (р ), Р= 0, 1, 2, ...) определяются по рекуррентным фор мулам
Х<{Р) = |
£ |
M |
/ L , wL’ Z l . |
|
р = 1,2, |
Х р = Х ь |
(2.32) |
|
Г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р > 0; |
иг,{ 0} = и г . |
(2.33) |
|
|
|
г=\ |
|
lSi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
St”{Pi = |
- |
vУ |
{р-Г) |
Р > 0; |
|
(2.34) |
|
hЛйijm n q l ...q r ' иг. . |
’ |
|
Если помножить левую и правую часть (2.13) на тензор мо дулей упругости, осреднить результат, воспользовавшись форму лой (2.26), то получим
<tf> = £ a,h<«) : а<«+» v
0=0
00
((ф/) “ ^ |
hcjmnki...kqVm,nkl...kq'\. |
(2.35) |
Я= о
Пусть теперь нам требуется определить эффективные модули композита, для которого решается задача (2.1), (2.2). Согласно методике, изложенной в § 1 гл. 3, для этого нужно решить урав нения (2 .1 ) без объемных сил со специальными граничными усло виями (3.1.7)
“Is= е0-? (щ |2= ej^y). |
(2.36) |
Задаче (2.1), (2.36) соответствует задача для однородного тела, решение которой имеет вид
v = е° •* ^ = е°. х,). |
(2.37) |
Поэтому все градиенты вектора перемещений v выше первого тож дественно обращаются в нуль, и мы получаем из (2 .3 5 )
<a) = h<°>:e° « * „ } = ft*.°>,e°,). |
(2.38) |
Сравнивая этот результат с (3.1.29), заключаем, что эффективные модули теории упругости нулевого уровня и есть настоящие эф фективные модули упругого композита
|
|
h(°)=h. |
|
(2.39) |
Для их |
отысканиянужно решить |
уравнения (2.18) |
(задачу |
|
Жа (<7)) |
при |
q= — 1 : |
|
|
|
|
{CiimlN("nkU + C ,;J „ = 0, |
(2.40) |
|
|
|
D iv (2 (1) + С ) = 0 , |
(2.41) |
|
а затем |
по |
формуле (2.26) найти |
эффективные модули: |
|
|
|
+ СИпк) = hiink. |
(2.42) |
Заметим, что для отыскания эффективных модулей не обязатель но знать локальные функции первого уровня. Для этого достаточ
но знать |
выражение, заключенное |
в (2.41) в круглые скобки или |
в (2.42) — в угловые. |
упругого композита сводится |
|
Итак, |
задача (2.1), (2.2) для |
к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Пер вая из них (задачи Да (р ), Р= 0, 1, ...) заключается в многократ ном решении краевой задачи (2.30), (2.31) по теории эффектив ного модуля. Входные данные для решения задачи JXA (P) форми руются из решения задач Да (О, г=0> 1» 2 , ..., р— 1 . Результатом
решения каждой задачи служит вектор w<p); комбинация этих век
торов (2.29) представляет собой усредненный вектор v исходной задачи. Решение этой исходной задачи (2.1), (2.2) получается на
основе вектора |
v(x) по формуле |
(2 .1 1 ), однако |
в эту формулу |
||
входят локальные функции NM, для отыскания которых необхо |
|||||
димо |
решить |
вторую рекуррентную систему задач |
(задач Жа (<7)> |
||
<7=1, |
0, 1, 2, |
...) |
(2.18). Каждая |
задача Ж (?) не |
является крае |
вой, а для нахождения единственного решения используются усло
вия (2.15), (2.26), из которых попутно определяются |
эффектив |
||
ные модули упругости <7-го уровня. |
с учетом |
||
Упражнение 2 .1 . |
Показать, что разложение (2 .1 1 ) |
||
(2.29) можно записать в виде |
|
||
щ = |
£ |
а’ £ M X...kp(i)w]XtP)V |
(2.43) |
|
<7=0 |
р=0 |
|
Упражнение 2 .2 . На основе разложения (2.43) провести осред нение задачи (2 .1 ), (2 .2 ), используя вариационную постановку Лагранжа (2.1.9).
§ 3. Статическая задача теории упругости в напряженяих
Рассмотрим линейное неоднородное упругое тело (композит), для которого связь между тензорами деформаций е и напряже
ний а имеет вид (1.3.2)
8< 7 = ^ /m „W (W |
(3-1) |
где Jijmn — компоненты тензора четвертого ранга упругих подат ливостей, зависящих от координат. Пусть задано упругое одно связное тело, занимающее область V с замкнутой границей 2. Тогда статическая задача теории упругости в напряжениях (зада ча «Б») заключается в решении шести дифференциальных урав нений относительно шести компонент симметричного тензора а
(1.2.28):
EtJk.k{o) + Y ti= 0 |
(3.2) |
при выполнении шести граничных условий на 2 (1.2.27):
сUjtij = |
Qt + Х{ = 0* |
(3.3) |
Здесь Eijk — компоненты тензора третьего ранга, симметричного по первым двум индексам:
Eilk (tf) Сilmnk ('*') ^тп “f" ^ ijmnkl (-*0 &тп,и |
(3.4) |
причем величины С;/тПй и Вцтпм вычисляются по формулам:
|
Cf/mnft = |
Jt]mn,k + |
bik |
Jllmn.i — |
Jijmn, l j + |
|
|
|
4" ^ jk { ^ ~ ^ J llm n , i |
f" |
|
— J llm n ,k )\ |
(3 -5 ) |
||||
D ijrn n k l= = |
J ijm r fik l |
H |
Jppm n i ^ i k ^ j l H" |
f i jk ) |
W iIm r fijk ~f~ |
J jlm t$ ik ) |
H- |
|
+ l i j |
( Jm nkl — |
J p p m rfik l) + |
( R in f ijk + |
R fy n fiik |
“ b j^ k m ) |
b nl> |
(3 .6 ) |
где X — вектор объемных сил; 5° — вектор поверхностных сил; 1и — компоненты симметричного тензора-константы; Ra — ком поненты симметричного произвольного положительно определен
ного тензора, зависящего, вообще говоря, от координат, ^-вектор:
Q i=lou,,- |
(3.7) |
Тензор У определяется по заданным объемным силам (1.2.29):
== (^im^m)./ + {RjmXm), i |
/ (^fcm^Cn),* • |
(3.8) |
Заметим, что решение задачи (3.2), (3.3) не зависит от выбора
тензоров |
и |
при £ = | ц8цф2. Если известны компоненты |
тен |
|||||
зора (3.6) |
Dijmnki, то нетрудно видеть, что через них можно выра |
|||||||
зить компоненты тензора податливости |
|
|
|
|||||
Jllmn=Dt M flu + |
( b , — |
U / ) |
) |
+ |
|
|||
|
|
|
|
\ |
2 |
2- l |
|
|
Н |
~ |
jRmn |
|
|
&ImRin |
(3.9) |
||
Обобщенное решение задачи (3.2), (3.3) будем искать в виде |
||||||||
асимптотического |
разложения |
|
|
|
|
|||
|
А / |
= |
Tt7 + ^ |
О? M i■ jp< rk 1...k Q (W 'tp r t kl ...k q { x ) , |
(3 .1 0 ) |
|||
|
|
|
<7=0 |
|
|
|
|
|
где локальные функции q уровня Mj/prkt...kq (£) являются перио
дическими функциями быстрых координат £. Подставляя (3 .10 ) в уравнения (3.2), получим
|
У |
аЧ Qijkimnpl...pg(^l)Xkl,mnpl...pq{x) — |
Y;j(x), |
(3.11) |
||||||
где |
Ч= —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qtjpq= |
Ai jmn i^pm^gn "Ь Mmnpq) 4" &limnkMmnpq\k + |
A imnklMjnnpq\kl, |
(3.12) |
|||||||
Qijpqr — AijmnMmnpqr 4" A/mnft {Mmnpqr\k + Mijpq8rk -f &ip$jq§rk) 4~ |
||||||||||
|
4" ^ iimnkl {Mmnpqr\kl |
M.\rJ?pq\k 8ri 4“ Mmnpq\l8rk)t |
(3.13) |
|||||||
|
Qijpqrs^1Aijmn Mmnpqrs 4" |
|
(Mmnpqrs\,kT Mmnpijr 8sfl) ~r |
|
||||||
|
4“ A'/mnftZ (MmnpqrsIkl,~h Mmnpqr\l^ks ”4 Mmnpqr\'kbls 4" |
|
||||||||
|
|
|
+ AfiiU M |
/ S 4- 6pm6qrfirlfils), |
|
(3.14) |
||||
|
Q{ijki?spx...pq = |
Alimn Mmrtd)spl...pq + Bijmnt {Mm^lrsPl. ..pq\t + |
|
|||||||
|
Mm^kirsp1...pq_1^tpq) 4- DIJmntu (Mmnklrspt...pq\tu ~h |
|
||||||||
4- |
q_1l t baPq 4~ Mmnklrsp,.. .Pq^'M &tpq 4~ Mmnklrspl...pq_J)tpl |
\PuPq ) ’ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
|
A iim n = |
C jfm n kik = |
J ijm m k k |
4 " h lm n x ii |
^ik m m k j |
|
||||
|
|
|
' Jjltm m kl |
4 - I / / {Jklm m kl |
J l lm n\kk)t |
(3.16) |
||||
|
|
|
|
|||||||
A'/mnft— ^ijrrtnk 4- A jmnklil = |
2Jlimmk 4“ |
|
|
ni^tk |
|
|||||
— J,llmnll $ kf — |
J jlm \ l § k i ' — |
Jiknu A j— |
J jk m n\l |
4" |
j |
W kim n\l ~~ h lm n \k ) • |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
109
Заметим, что все величины, снабженные верхним индексом, обра зуют тензор (4+ <7)-го ранга.
Приравняем теперь QW некоторым тензорам-константам К(,):
|
Q(Q) = о, Q d) = |
О, Q<?> = К («> |
(q = 2, 3, . . . ) |
(3.18) |
||
и потребуем, чтобы выполнялись условия |
|
|
|
|||
|
<DiimM ( Л С „ 6* A S + 6pm6,fM |
s ) ) = |
rffrnrs, |
(3.19) |
||
( A |
im n k l^ m n lu rs p ,.. . Pq. 2^ kpt}~ i^ lpq) ~ |
М /iursp,-. p, > Q ~ |
1 > 2 , |
(3 .2 0 ) |
||
|
(M tib...P') = |
0, <7 = 0 , 1, |
|
(3.21) |
||
Из |
формул (3.10) — (3.12) видно, что |
средние |
значения |
напря |
||
жений и деформаций имеют вид |
|
|
|
|
||
|
|
(<г,./) |
= т,;. |
|
|
(3 .22) |
|
<е,/> = £ |
aW flU ,... |
|
|
(3.23) |
|
|
<7=0 |
|
|
|
|
где тензоры HW определяются через заданные тензоры К(<7+2) по формулам (3.9), в которых вместо J нужно подставить Н<?), а вме
сто D — тензор К(<7+2), |
^7= 0, 1, |
На соотношение |
(3.23) можно |
смотреть как на связь |
между |
деформациями и |
напряжениями |
в моментной теории упругости для однородных сред. Задачу тео рии упругости в напряжениях для средних величин можно сфор мулировать в виде
|
|
£<7М + У 17= 0, |
|
|
(3.24) |
где в выражения для тензора EiJk |
|
|
|
||
Eiik = |
e4\k + fyft |
0f/- — e//,/j + 6jk |
0,t —e |
+ |
|
+ |
In (e«.i - |
6,fc) + (Rtm6jk + Rim6ik - |
ltiRmk) qm |
(3.25) |
вместо деформаций подставлены их средние значения по форму лам (3.23), причем выполняются граничные условия (3.3).
Таким образом, исходная задача теории неоднородной упруго сти (3.2), (3.3) сведена к задаче (3.24), (3.3) моментной теории однородной упругости. Для решения задачи (3.24). (3.3) вос пользуемся методом малого параметра. Ищем решение в виде
* < / = £ « Ч р) |
<3-26) |
р = о |
|
Подставим это выражение в соотношения (3.24), (3.3) и, прирав няв величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач теории упругости для анизотропной однородной среды (задачи Д б (р), р = 0, 1 , 2 , ...):