Механика композиционных материалов

1) решение задачи А имеет не более одного решения;

2)лагранжиан в положении равновесия имеет мини­ мум;

3)точка минимума лагранжиана является единствен­

ной.

Упражнение 1.2. Доказать, что если для трансверсально изо­ тропного упругого тела выполнены условия (1.3.55), то справед­ ливы все три утверждения предыдущего упражнения.

Упражнение 1.3. Доказать, что если выполнены условия уп­ ражнения 4.10 гл. 1, то для изотропного линейного вязкоупругого тела справедливы все три утверждения упражнения 1.1.

Упражнение 1.4. Доказать, что если выполнены условия (1.5.9), то справедливы все три утверждения упражнения 1.1 для упруго-пластического материала.

§ 2. Принцип Кастильяно

Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях (задачу В). Она заключается в решении шести уравнений совмест­ ности (1.2.19) и трех уравнений равновесия (1.2.6) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряже­ ний а при удовлетворении трем граничным условиям (1.2.9). Об­

ласть, занимаемая телом, считается односвязной.

Помножим скалярно соотношения (1.2.1) на тензор т е Г 0 и про­

интегрируем по объему V. Тогда, используя теорему Остроград­ ского— Гаусса и условия (1.5), получим

(2.1)

V

Сравнивая (2.1) с (1.2.22) и учитывая определяющие соотно­ шения (1.1.2), видим, что решение задачи В является также обоб­ щенным ее решением. Но справедливо и обратное утверждение.

Если обобщенное решение достаточно гладкое, то оно являет­ ся решением задачи В.

В самом деле, решение задачи В в односвязной области долж­ но удовлетворять условиям (1.1,2), (1.2.6), (1.2.9), (1.2.19). По определению обобщенного решения выполняются уравнения (1.2.6),

Применяя к (2.2) теорему Остроградского — Гаусса в силу произвольности поля т е Г 0, получим

Для того чтобы существовало непрерывное поле и, необходи­ мо и достаточно выполнения условий (1.2.2), причем из (2.3) сле­ дует выполнение первого из граничных условий (1.2.9).

Предположим теперь, что тензор деформаций потенциальны"

(1.1.4).

В этом случае можно ввести так называемый «кастильяниан» Ж по формуле

где ф(а) определяется по формуле (1.1.17).

Тогда, очевидно, тождество (2.1) можно записать в виде

Следовательно, задача отыскания обобщенного решения зада­ чи В эквивалентна задаче отыскания «стационарной точки» кастильяниана Д'(а).

Докажем теперь, что в положении равновесия лагранжиан сов­

где и*, о* — решения соответственно задач А и В, что и требо­

валось доказать.

Предположим, что определяющие соотношения (1.1.2) доста­ точно гладкие. Тогда если существуют функциональные произ­ водные дец(о)/доы определяющих соотношений (1.1.2), то спра­

ведливо тождество

Ф (а2) = ф (о1) + As, (а2 — <т\ и0) +

+ T J f - f £ - {~ + ч ( £ - £ ) Н « » Ь - » 1 Ж , - « ! , ) ] dV (2-7>

V u

В самом деле, введем функцию числового аргумента £ (0 < £ < 1 )

допускающую на указанном отрезке представление

Подставляя в (2.9) выражения, полученные из (2.8), и учи­ тывая (1.1.4), получим

Учитывая (2.1), из (2.10) получим (2.7).

Предположим теперь, что среда обладает положительной каса­

что и требовалось доказать.

Если среда обладает положительной «касательной податли­ востью», то существует не более одного обобщенного решения

т. е. единственность решения задачи В.

Докажем, что точка максимума кастильяниана является един­ ственной.

Пусть о 1 и о2 — две точки максимума кастильяниана Ж. Тог­

да для них выполняется условие (2.12) и в силу доказанной един­ ственности справедливо соотношение (2.15).

Упражнение 2.1. Доказать, что если для изотропного упругого тела выполнены условия (1.3.54), то:

1)решение задачи В имеет не более одного решения;

2)кастильяниан в положении равновесия имеет мак­ симум;

3)точка максимума кастильяниана является единст­ венной.

Упражнение 2.2. Доказать, что если для трансверсально изо­ тропного упругого тела выполняются условия (1.3.55), то справед­ ливы все три утверждения предыдущего упражнения.

Упражнение 2.3. Доказать, что если выполнены условия уп­ ражнения 4.11 гл. 1, то для изотропного линейного вязкоупругого тела справедливы все три утверждения упражнения 2.1.

Упражнение 2.4. Доказать, что если выполнены условия (1.5.14), то для упруго-пластического тела справедливы все три утверждения упражнения 2.1.

§ 3. Новый вариационный принцип

Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях (задачу Б). Она заключается в решении шести обобщенных уравнений совместности (1.2.26) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений о при удовлетво­

рении шести граничным условиям (1.2.27). Область, занимаемая телом, считается односвязной.

Дадим вариационную постановку задачи Б. Для этого предпо­ ложим, что существует такой скалярный оператор 95, зависящий от градиентов напряжений, что выполняются условия потенциаль­

где А и В — некоторые размерные постоянные, отличные от нуля.

Будем под записью <т понимать, что тензор напряжений выражен через деформации по формулам (4.1), а под записью ас, что опре­ деляющие соотношения выбраны в виде (4.4):

шение. Кроме того, тензор Сс имеет обратный Jc, который также положительно определен. Будем предполагать также, что опера­

где р — симметричный тензор второго ранга, названный Хашином и Штрикманом тензором поляризации. Предположим соотноше­ ния (4.11) обратимы относительно деформаций и существует та­ кой скалярный оператор ш (р), что

dw(p)

у~

я если «касательный модуль» оператора (4.9)' положителен, то

лагранжиан в положении равновесия имеет минимум. Сформулируем теперь задачу (4.1), (4.2) для векторного поля

= 6е :ес + р: гс = ас : ес 4- 2р:гс —

— р : ес + р : е — р-: е = 0е : ес + 2р: гс 4- р : е' — р : е. (4.20)

Подставляя (4.20) в(4.19) ииспользуя формулы(4.15) и (4.9), получим

L=Hw(t)--±-ejV-.E^--Lp:i + ±- ( * :« ' +

V 1