Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика композиционных материалов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Эти же условия являются входными данными для решения задачи Д в(0), решение которой имеет вид

*•»

- у

- .

(4.28)

Входные данные для решения задачи Дв(1)

будут

Л°) = Я 1) =

ф(‘>= (2<1) =

Я 1>= 0,

м Г = — ( ? № ! ! (е)]|г,. (4.29)

Из

(4.17)

следует, что значению

х2 = — 1/2

соответствует £ = 0

и п= 1,

а значению лг2 = 1 /2

соответствует £=1

и n= N, где N, как

и прежде, — число ячеек

периодичности, составляющих

полосу,

а п= 1, 2, ..., N — номер этой

ячейки (начиная

от нижней грани

цы полосы

х2 = — 1/2),

которой

принадлежит

рассматриваемое

значение медленной координаты

х2. Из (4.13)

получаем

ГШ (0) =

ГШ (1 )= < Е А В> =

( i ( v ( i ) - < v ) ' ^ - ) )

= - d . (4-30>

Следовательно, М 1)и= ^ . Решение задачи

Дв(1)

при входных

данных (4.29)

имеет вид

Х“ >=

2gdxl

(4.31)

Для задачи Дв(2)

будем иметь

т|(2) =

Я 2) =

ф<2>=

Q(2>=

Mi2) =

О, Я 2) = 1 2 # ^ ,

(4.32)

где

-< * . -

Г ш (1) =

г ,,, (0) =

<ЕВц> =

( е

- 1 ) )

•

Функция напряжений х(2) определяется формулой

Х(2) =

6qddi

+ - у j*

(4.33)

Вообще для задачи Д в(5 ),

s > 2

х<*> =

plS) (*2 +

) 2 +

ш »‘ } *2 ’

(4'34)

Где

Р(! > =

м Р

dip(s~''l — 24d2M<s_2>,

м (°) = 0.

(1) =

М 22 (0) =

[<k + ( S* ( - ^ g -

- 1 )

) ] .(4.35)

Из (4.31) и (4.34) следует, что

X<2s_1) =

2 p * 'V * 2 . X<2s> =

6p - 1qdd1 (x2,+ y ^ 2

(s =

1,2, ... ) , (4.36)

6 Б . E . П о б е д р я

161

где
Р -	12 (df -	2<g =	1 - 12	<^ £><<^>)г (SE)2 ■	(4.37)
Подставляя,	далее,	(4.14)	и (4.36)	в ряд (4.8.30)	и суммируя

его, получим следующие ненулевые компоненты тензора напря жений:

= Ч [о (I) - (V) - S f f + I2ad Ш . - ^ ] .(4.38)

В выражение для оц входят функции быстрой переменной |, параметр а, а также константы d, d\ и ft, величина которых зави сит от вида неоднородности в ячейке периодичности. Поэтому их можно назвать локальными параметрами неоднородности. Ис пользуя зависимость (4.17), можно выразить локальные парамет ры неоднородности d, dx и ft через глобальные параметры неод нородности

d= --L ..w ° - W i., d1= _ _ L A ,

		a	JI0		а Ро
					(,з9)
	1/2			1/2
4k=	j	4	V (х2)	рЛ== j	х2 Е (х2) dx2,
	—1/2			—1/2
где уk и р,* — глобальные параметры неоднородности.
Подставим	(4.39)	в	(4.38)	и заменим	в (4.38) функции от \|

функциями от х2, сохранив за ними прежние обозначения. Окон чательно получим

°22 ~ Я> ^11 =	V (Х2) Ро YO-E (*2)
Ро	L
— Е (х2) (*2Ро—PiHYiPo—Y0P1)		(4.40)
	Р2Р0—Р?

Напряжения (4.40) удовлетворяют уравнениям равновесия, ус

ловиям	совместности	и граничным условиям (*4.27)			при произ
вольных функциях £ (* 2)			и v(x2) (необязательно	периодических).
Из	(4.40) следует,	что	нормальное давление	через	неоднород

ную полосу передается без изменений, независимо от вида неод нородности полосы, но при этом возникают самоуравновешенные напряжения ап, причем эти напряжения сохраняются и в том слу

чае, если модуль Юнга	полосы Е не зависит от	координаты х2.
В этом случае из (4.40)	имеем
0\1= q [v (х2) —Yo— 1 2*2YI] >		(4.41)

где у0 и -Yi определяются по формуле (4.39). Например, если по

лоса состоит из двух изотропных однородных слоев одинаковой толщины, причем

Vl>	—
v(x2) =	(4.42)
Vs.	О < хг < -L,

тогда

<*н = Я		[3*s!+ ( -
где п = 0 при — 1/ г « : * 2 < 0 и		п= 1
при 0< *2<7г. Эпюра	распреде
ления 1напряжений	(4.43)	при
v i> v 2 показа/на на рис. 18.		ъ •
Нетрудно видеть, что по тео
рии эффективного модуля		реше
ние этой задачи имеет вид

1)л]. (4.43)

f z

-LH И тш тттпт

(722э= <7> 011Э= О.		(4.44)	т п т ТПТГ Н И Ж Н Р 4
Решение по	теории	нулевого	Рис. 18.
приближения	получается (учи

тывая только решение по теории эффективного модуля (4.28))’ в виде

4S* = <?,	ей» = - 2 - [v (х2) щ, -		у„Е (*)].	(4.45)
	Ро
т. е. отличается от точного решения (4.40)			на величину	(4.46)
СТ2- (7$ = 0; andi? =aj1/2 (*2- у) £ (у ) d y ,				(4.46)
		- 1/2
где постоянная а равна
	а = Л —			(4. 47)
	Ро	РгРо—Pi
Из (4.38) видно, что	для того	чтобы решение по теории		нулево

го приближения отличалось от точного на заданную величину б:

	1/2
	(	(<и (а) — <!1 (s)> dx <				6' <?-	(4-48)
-	1/2
необходимо взять	не		менее	N ячеек	периодичности,		где
N =		—	> л /	+ Р	. Ь =	12<Й1-	(4-49)
		а	У	о

Например, для двухкомплектного композита с объемной концент рацией у = 7 г с постоянным коэффициентом Пуассона v и модуля ми компонентов El = const, Е2 = const, из (4.49) имеем

дг^	-2L + 1	х = -^ -.	(4.50)
2 1+х г	б	Ех

2.Избиг неоднородной консоли равномерной нагрузкой. Кон

соль |х2| < 72, OC J C IC /, l^>1 одним концом х\ = 1 заделана и изги бается нормальной нагрузкой интенсивности q, распределенной равномерно по стороне х2= 72.

Граничные условия:

в*22!* —

1 ~

&2 2 1^

L =

°^i21^ =4_ 1 ~

Q-

(4.51)

“

Условия равновесия любого сечения:

x2andx2=

qx\

a1ylxt

= q x

l, ^

= 0,.

1/2

- 1 /2

—1 /2

-1/2

“ Г -

(4-52>

В этом случае решение имеет вид

х.

аi2=

—

J Y (у) Е (у) dy,

- 1/2

<*22=

(

f Y (у) E (у) dy,

—1/2

«и = W° ["г"

K (*a)E (X^ +

V (Xa) —

1/2

- F° (Ш -

ИЛ) E (x,)

f V (y) dy -

n»K (хг) E (xa)

(j yW (y) dy, (4.53>

'F ( X 2 ) = E (X2 [

Y (y)v(y)dy —

—1/2

X ,

f -77-Г

f Y(y)E .(y)dy] +

Y (y)E (y)dy,

- 1 / 2

— 1 / 2

(p^o - |i? )-i,

К (у) =

р01/ -

px,

G (*2) =

—

■, (4.54)

2(l+v(x*))

где G (X2) — модуль сдвига, а

константы

определяются по

формулам

(4.39).

3. Изгиб опертой балки равномерной нагрузкой. Для изотроп

ной неоднородной	по ширине	балки \|2 \|<У2, \|i\|</,	/ » 1 , шар
нирно опертой по	концам и	изгибаемой нормальной	нагрузкой,

равномерно распределенной по стороне х2 = 1/2, формулы для о\ч и 022 получаются такими же, как и в предыдущем примере, а про дольное напряжение определяется в виде

*11 = W 0 [		Х'~ ‘2 Y (хг) Е (хг) + V W		_
	1/2	1/2
— Ц0(Ца — И1 а)£(а)	^	У (y)dy — \i0Y(x2)E(Xz)	j	y'¥(y)dy. (4.55)
-	1/2	-	1/2

4. Изгиб неоднородной консоли линейной нагрузкой. Консоль |*2| < 72> 0 < * i< /, l^>1 одним концом Х\=1 заделана и изгибается нормальной нагрузкой интенсивности qxи распределенной по сто роне Хч —!/2.

Граничные условия:

ffaal

1 =

— <7*1.

°аа I

i = 0 ,

<*1а|

. 1 = 0 .

[(4.56)

'■= 7

'“

Х,=±Т

Условия равновесия любого сечения:

1/2

J 0*12^2 =

—^

011^*2 =

J ^2^11^2 = g

• (4.57)

1/2

- 1/2

Решение задачи имеет вид

0ц = - у -

\i°Y(.х2)Е (х2) +

qxffl* [ V (*2) — Р° (Рг —

—

Piх2) Е ( х2)

1/2

y¥ (y)d y —

\L°Y(x2)E (x 2)

г2

уЧ (у) dy J, (4.58)

—1/2

-1/2

022 =

<7*iP°

J dz

Y (у) E (y) dy,

—

1/2

X ,

К(у) E (у) dy— fli° [

1/2

j V { y ) d y -

—1/2

X ,

— Po Г(P2— Piy)E(y)dy

—

—1/2

-1/2

1/2

- P o

{ Y (у) E (y) dy

yV (y)d yj.

-1/2

На рис. 19 показаны эпюры распределения напряжений, отне сенных к q в среднем сечении х\= 1/2 = 5 двухслойной консоли (один пакет) при Vi = 0,2; л>2= 0,4; у.^ Е 2/Е\ = 1/10; у=1/2. Кривые, соответствующие теории эффективного модуля, помечены «э»,

теории нулевого приближения — «0», а соответствующие точному решению — «т».

На рис. 20 изображены эпюры напряжений для того же ком позита, но составленного из 4-х слоев (2-х пакетов).

Упражнение 4.5. Показать, что во всех рассмотренных приме рах 1—4 выполняется

(4.59)

N-+оо

Итак, асимптотический метод осреднения позволяет в некото рых случаях получить точное решение поставленной задачи, при

чем решение по теории нулевого приближения стремится к точно му при увеличении числа ячеек периодичности (пакетов) к оо, хотя даже при одном-двух пакетах оно правильно отражает осо бенности точного решения (рис. 19, 20).

Упражнение 4.6. Получ'ить решения	рассмотренных задач		1—
4 для плоской деформации, произведя	во всех формулах	замену
Е-+-Е' = —£—, v “->■ v/ == — —— .		(4.60)
1—V2	1—V	'	'

§ 5. Слоистые квазипериодические структуры

Пусть в некоторой криволинейной системе координат х1, х2, х3 тензор модулей упругости С зависит только от координаты х3, причем

С (г Ч /г 6 )= С (х 3), п = 0, 1, ..., N.

(5.1);

Такой композит называется слоистой квазипериодической струк турой. (Все рассуждения, проведенные ниже, будут годиться и для регулярных слоистых структур (4.5.8).) Решение задачи тео рии упругости (4.5.12) — (4.5.14) для такого композита согласно (4.5.16) и (4.5.32) ищется в виде ряда

“ ‘•= Е	а ,Е Е ]С«\|Й<е- )££!,<)•	(5-2)
<7=0	р = 0 Р = 0

где I — быстрая переменная, связанная с медленной х3 зависи мостью

* з= Хоз+ ( „ _ ! + £ ) а, /г=1, 2, ...» N,	(5.3)]
где	(5.4)
Xo3< x 3<Xjv3,	(5.4)
г N — число «пакетов» (ячеек периодичности), состоящий	из не

скольких слоев, внутри каждого из которых модули упругости яв ляются непрерывными функциями х3.

Заметим, что граничные условия вида (4.5.14) формулируются

только	на границе 2 = {х3 = х03 и x3 = xN3}, а на остальной поверх
ности	(если она имеется) граничные условия удовлетворяются ин

тегрально.

Для отыскания членов ряда (5.2) нужно решить две рекур рентные последовательности. Одна из них состоит в многократном

решении краевой задачи теории упругости	Д а(р )	для однородно
го тела (4.5.33), (4.5.34)".
hilw\p} +	=	0,	(5.5)
(А«ЦМ + ^ 4	' })« ik = s o(p)		(5.6)

при интегральных граничных условиях на 2'. Входные данные каждой задачи ДА(р) определяются с помощью соотношений (4.5.37) — (4.5.39).

Вторая рекуррентная последовательность состоит в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.5.22) при выполнении условий (4.5.23), (4.2.15), (4.2.22), причем в каждой задаче Ж(<7, Р) этой последовательности дифференцирование про изводится только по переменной £.

Например, для задач Ж а (— 1, —2) и Ж а (— 1, — 1) имеем урав нения (4.6.52), (4.6.53):

[С'3т3 (N‘mJ - Г ^ С '3"»]' = 0,1		(5.7)
[C‘s^ (M ? )m) '+ C ^ ] ' =	0,	(5.8)
ИЗ которых находятся локальные функции	# \| 0 ) т ( £ )	И ^ U ) m U ) » n o "

еле чего можно найти эффективные характеристики, входящие в

(5.5),

(5.6)

и зависящие, вообще говоря, от медленных координат

х 1,

х 2, х 3.

(Штрих означает производную по

быстрой координате

£.)

Из

(4.6.48) — (4.6.51)

имеем

h“й = < -rlt/Cilmn+ 2r5ic/^m3(jV'0)m)'—

_ 2 Г < - 0 > - Г ^ +

С"-Л7{0)т1П1/>.

(5.9)

h‘k‘ (Г) =

(С'*т3 (N\a)m)' -

ГLC 1*” " +

+ 2Г<‘С/)т3 (Щ\)тУ + 2Г^С/к«),

(5.10)

ЫМ Й

= (С‘1т3 (Nt\)m)’ + С*7«>.

(5.П)

f t f Й

(С,,т3 ( < 0)т)'

(5.12)

зор

Заметим, что локальные функции

No)m(l)

и эффективный тен

модулей

упругости

h‘’kl уже

найдены

1 (см. (1.14) и

.(U 2 )l:

где

* 8 „ ( 8 = ц ? ( 0 - < д г > .

(513)

Й ( 0 - }

С^з‘,3 (n )

: [

< ( ^ ' 3 p 3

) (Ср^зС’- 1 ) - 3'*)1

- С '3'* (Т))] dr\,

(5.14)

h‘M =

(СИ») +

( C ^ C - 'J

((С"3'’3)-1) - 1 (С ~ '3Ст 1 ) -

(5.15)

Упражнение 5.1. Показать, что из решения

уравнений

(5.7)

следует

Mo)m(I.x) =

- r ' , ^ ? )m.

(5.16)

Упражнение	5.2. Показать, что из решения уравнений (5.7) и
из (5.9), (5.10)	следуют (4.6.54), (4.6.55).

Упражнение 5.3. Показать, что задачуДА (/?) (5.5),					(5.6) мож
но сформулировать в виде
	+ X* = 0,				(5.17)
	hiikly lwlP)nj \zt =			So{p}.	(5.18)
Упражнение 5.4. Показать, что тензор модулей упругости нуле
вого приближения, определяемый формулой				(4.6.59),	имеет вид
( 1.11):
с% ‘ (\|) = С‘Ш (I) +	С"” 3 (I) [С-^,3 (I) ((С»303)-1>-1(С--,зС,34() _
	-Щ й з (\| )С "3*'(\|)].	с			(5Л9>
Обратим внимание на то, что если найдено решение по теории
эффективного модуля	vk(x) = Wk^ (я),	то	напряжения		в теории
нулевого приближения подсчитываются		по	формуле (4.6.57)
4 ) =	(Ю Ъ$ + С(Й' (\|) » , , W .				(5.20)

где кроме тензора модулей упругости нулевого приближения, оп ределенного в (5.19), нужно еще подсчитать величины Ci/k(o)- Од

нако в силу справедливости соотношения			(5.16)	легко показать,
что
	С(61® =	- Г£,С(Й?®-		(5-21)
Отсюда находятся входящие в		(5.6) величины /г'7**:
	/г ;/* = (С $ ) = -			(5.22)
Теперь	достаточно решить	задачу Да(0) для однородного			те
ла, чтобы	сразу жевыписать решение этой		задачи	по теории	ну

левого приближения, т. е. учесть микронапряжения.

Как частный случай слоистой квазипериодической структуры, можно рассмотреть слоистый шар и слоистый цилиндр, для чего во все формулы нужно подставить конкретный вид символов Кристоффеля.

С тем, чтобы сохранились все предыдущие выкладки, коорди натой хг следует считать радиус г. Тогда в обоих случаях тензор

модулей упругости обладает свойством
С (г + л б )= С (г ),		п= 0, 1,	N,	R0< r< R N,	(5.23)
(если рассматривается сплошной шар или				цилиндр, то	Ro=0).
Положим в случае шара
	* 1= 0,	Jt2=<p,	хъ = г.		(5.24)
Тогда имеем (см: приложение III)
gn =	(г sin ф)2, g22= r 2, gss= U
ц 2= — г,	TJj = — г 81л2 ф,		Г2п =	— sin фcos Ф,	(5.25)

Г|з= Г!з= 1/ П2= Ctgcp.

Для цилиндра положим
1 = 0, 2 = Z) хъ=Гу	(5.26)
тогда	(5.27)
g п = г2, ^22 =^зз=1, Гц3 = — г, Г131= 1 /г.	(5.27)

Обратим внимание на то, что при решении задач теории упру гости обычно пользуются физическими компонентами векторов и тензоров. Чтобы получить выражение в физических компонентах, например для цилиндра, следует каждую ковариантную компо ненту с индексом 1 разделить на г (столько раз, сколько встре чается индекс 1), а каждую контравариантную компоненту с ин дексом 1 умножить на г (приложение I).

Тогда, например, подставляя выражение (5.27)

T in = -	гбз &		6 i +	6 { (Sind1 +			б*	6 i	).	(5.28)
				2г
в уравнения равновесия		(4.5.12) и соотношения Коши
г тп =			( ит,п +	ип,т)		Н п А ’				(5.29)
получим соответственно
tr„. j +		"гз+ба^з-бйЯи			+	х е -	о,			(5.30)
«1/ = Y (И*./ +	«/.о +			—	фи	А А /		+	S a A i ) ;	(5.31)

здесь (как и далее) считаем компоненты векторов и тензоров фи зическими (индекс «ф» будем опускать), а частные производные понимаются в следующем смысле:

f	1	3 /	.	df	.	df	(5.32)
1. 1 -------------—			> / ,2	~	» 7.3 - — .		(5.32)
	r	d0		dz		дг
Например, из (5.21) и (5.28) имеем
Ф (I)	=		(I) «и -		С % (I) < у .		(5.33)
Рассмотрим теперь плоскую задачу теории упругости. В этом
случае необходимо	ввести		приведенные			упругие характеристики

(6 независимых приведенных упругих постоянных в общем случае вместо 21-й в трехмерном случае). Эти характеристики будут раз личными в зависимости от того, рассматривается ли бесконечная слоистая труба (плоское деформированное состояние) или состав ное тонкое кольцо (обобщенное плоское напряженное состояние); см. приложение V. Чтобы сохранить в прежнем виде эффектив ные характеристики плоского случая, необходимо переобозначить координаты, а именно полагаем

х1= 0, x2 = r, x3 = z.

(5.34)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202210.98 Mб4Механика композитных материалов 6 1980..pdf
#
15.11.202211.43 Mб17Механика композитных материалов 6 1982..pdf
#
15.11.20226.72 Mб4Механика композитных материалов N1 2006..pdf
#
15.11.20227 Mб3Механика композитных материалов N2 2006..pdf
#
15.11.20226.32 Mб6Механика композитных материалов N3 2006..pdf
#
15.11.202212.36 Mб42Механика композиционных материалов..pdf
#
15.11.202220.8 Mб80Механика мерзлых грунтов общая и прикладная..pdf
#
15.11.202212.72 Mб37Механика подземных сооружений в примерах и задачах..pdf
#
15.11.202210.82 Mб13Механика разрушения. Разрушение конструкций.pdf
#
15.11.20227.56 Mб70Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
15.11.202213.71 Mб33Механика сплошной среды..pdf