Механика композиционных материалов
..pdfТогда сохраняются выражения для плоских тензора упругих по датливостей нулевого приближения (4.11) и эффективного тензо ра упругих податливостей (4.12) (см. также приложение V ).
Если все компоненты композита изотропны
C/JKL (|) = |
|
(£) |
+ И-* (£) (biK^jL + 6/zA//c)> |
(5 .35) |
|||
где приведенные характеристики X*, р* имеют вид |
|
||||||
|
|
'Е у |
|
|
|
|
|
Г = % = ■(l+v)(l-2v) , |
р |
= р = |
2(l+v) |
(5.36) |
|||
в случае плоской деформации и |
|
|
|
|
|||
|
|
Е у |
Р*= Р = |
Е |
|
(5.37) |
|
|
|
1—V2 |
2(1+v) |
|
|||
|
|
|
|
||||
в случае плоского напряженного состояния. |
компонент |
эффек |
|||||
Тогда из (V.2) |
следует, |
что независимых |
|||||
тивного тензора модулей упругости |
будет 4 |
(ортотропия): |
|||||
( Г + |
2р*) + |
(Я*/(Ь*+2р*))2 |
\ Х*+2ц*р / |
|
|||
<1/(Х*+2р*)> |
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
^2222 — |
|
1 |
|
|
|
|
|
<1/(Я,*+2р*)> |
|
|
|||
h |
_ |
<Х«/(Х*+2р*)) |
|
^1212 — (Iх ) • |
(5.38) |
||
1122 |
<1/(Я*+2р*)> |
|
|||||
|
|
|
|
||||
Рассмотрим задачу о бесконечно длинной трубе под действи ем внутреннего р0 и внешнего pN давления, равномерно распре деленного по поверхностям r=R0 и r=Rn соответственно.
Решение этой задачи по теории эффективного модуля имеет вид
|
|
а эи ее= о э0 = Л /Р - 1 + В гг ~ ^ - \ |
|
|
||
|
|
оэ2= = а э= Л 2гР-1 + В /-Р -1, |
|
|
||
|
|
еэп s e j = |
а^Р-1 + &1Г-Р-1, |
|
|
|
|
|
еэ22 ^~гэ = |
а2гР—1+ b2r~Р-1, |
|
(5.39) |
|
|
|
v==vl==v*r =rs*v |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
Л |
о |
Po^o+ 1 — PN.tft1 |
D |
р P°Rо '— PN ^N 1 |
n P + l p P + 1 |
|
Л = р — |
- a i = P— W W ~ Ra |
’ |
||||
|
at = |
(G;; + po;t) A 2, |
6i = |
(c^ -p G ;<)B2> »= |
1. 2, |
(5.40) |
причем приведенные эффективные податливости G*a\*, а, £=1,2, вычисляются через компоненты трехмерного эффективного тензо ра.упругих податливостей (2.14):
Gap — ^aapp “ |
(5.41) |
Кроме радиального огэ и окружного аеэ напряжений в трубе воз никают также и осевые напряжения:
0зз= о? = |
— |
№2 (Н2233 "Ь РЯцзз) /* - 1 |
|
|
"3333 |
|
|
+ |
^ ( Я |
223з - Р Я 113з) г-Р -1 ]. |
(5.42) |
Для подсчета напряженного состояния по теории нулевого при ближения
« |
! |
• |
! |
(5-43) |
необходимо найти тензор модулей упругости нулевого приближе ния О 0). Так как
Ntaa = |
f Д » (1) d l - |
(| Ах (|) <2?}; a = 1 . 2 . |
(5.44) |
|||
|
о |
|
0 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
D m |
= |
<с г2а»/(х+ 2^)) |
___ |
^*llag (l) |
(5.45) |
|
|
Ш ) +2fx(E)K 1/(H 2F)> |
Щ)+Ы1) ’ |
|
|||
то имеем |
|
|
|
|
|
|
c Zf> © |
= |
© + C-22 © |
Dp © , |
(5.46) |
||
а отсюда находятся |
и C jo j© |
(5.33), |
а также все остальные ха |
|||
рактеристики.
Мы не будем останавливаться на нахождении высших прибли жений, которые легко находятся из несложных, но громоздких вычислений.
Заметим только, что задача о слоистой трубе, известная как задача Гадолина, имеет точное решение. Для сравнения прибли
женных |
решений |
|
т= О, |
1, 2 с точным |
оц рассмотрим |
тру |
||||
бу |
под |
действием |
внутреннего давления |
ро, |
состоящую |
из |
N— |
|||
= 1, |
2, |
3 пакетов периодичности, причем |
каждый пакет |
состоит |
||||||
из двух слоев — внутреннего с коэффициентом Пуассона |
vi = 0,3 |
|||||||||
и модулем сдвига |
Gi и наружного с коэффициентом |
Пуассона |
||||||||
*v2 = 0,446 и модулем |
сдвига G2. Отношение |
модуля сдвига |
наруж |
|||||||
ного слоя к модулю |
внутреннего G2/G I =0,067. (Эти данные |
при |
||||||||
близительно соответствуют композиции сталь — свинец.) |
Во |
всех |
||||||||
случаях |
полагаем |
объемную |
концентрацию |
первого |
компонента |
|||||
у = 0,7. Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
vi = 0,3; |
|
v2 = 0,446; |
G2/Gx= 0,067; |
у = 0,7. |
|
(5.47) |
||
Буквами «т» и «э» помечены кривые, соответствующие точно му решению и теории эффективного модуля, цифрами «О», «1», «2» обозначены кривые, соответствующие теориям нулевого пер вого и второго приближений. Все напряжения отнесены к давле нию ро.
На рис. 21 и 22 показано распределение радиальных напря жений Or и окружных tie в описанной выше трубе с одним «паке том», (N = а = 1 ).
Из этих рисунков видно, что даже для одного пакета, когда механические свойства компонентов композита довольно сильно отличаются друг от друга, второе приближение достаточно хоро
шо соответствует точному. |
|
распределение |
радиальных |
ог и |
||
На рис. 23 и 24 показано |
||||||
окружных напряжений а0 |
для |
трубы |
с двумя |
«пакетами» |
(ячей |
|
ками периодичности) (N = 2, а= 1/2), |
а на рис. 25 и 26 — с тремя |
|||||
(N = 3, |
а = 1/3). |
что |
максимальное |
отклонение любого |
||
Из |
рис. 23—26 видно, |
|||||
приближения наблюдается: для радиального напряжения ог — на границе раздела компонентов внутреннего пакета, а для окруж
ного |
напряжения ае — на |
внутренней |
|
поверхности |
трубы. |
В табл. 5.1 для различного числа пакетов |
N приведено процент |
||||
ное |
отношение шах|сгг— ar(m)|, |
т = э, 0, 1, 2 |
(значения |
радиаль |
|
ных напряжений, вычисленных по теориям эффективного модуля и нулевого приближения совпадают).
В |
табл. 5.2 приведено процентное отношения |
шах |ае—ae(m)|, |
||
т = э, |
0, 1, 2. |
видно, что |
все приближения |
(нулевое, пер |
Из |
табл. 5.1 и 5.2 |
|||
вое и второе) быстро |
стремятся |
к точному при увеличении числа |
||
пакетов. Окружные напряжения аеэ, вычисленные по теории эф
фективного |
модуля, |
с ростом N дают большую |
погрешность. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
э, |
0 |
10,1 |
12,3 |
9,3 |
8,9 |
5,5 |
0,6 |
0,2 |
|
1 |
1,1 |
0,5 |
3 |
1,4 |
1 |
0,1 |
0,06 |
|
2 |
1,7 |
2 |
3,8 |
1,7 |
1,1 |
0,1 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
22,2 |
46,9 |
60,4 |
74,0 |
86,1 |
98,3 |
99,2 |
|
0 |
77,5 |
52,9 |
39,3 |
25,7 |
13,7 |
1,4 |
0,5 |
|
1 |
44,9 |
8,3 |
1,4 |
1,2 |
1,4 |
0,2 |
0,1 |
|
2 |
5,7 |
4,3 |
4,1 |
3,2 |
1,9 |
0,3 |
0,1 |
Рис. 21. |
Рис. 22. |
Рис. 23. |
Рис. 24. |
Рис. 25. |
Рис. 26. |
|
||
|
|
Разумеется, если механические свойства компонентов компо зита будут более близкими, сходимость приближений к точному улучшается, что видно из табл. 5.3 и 5.4, где показано процент
ное |
отношение |
max |ог—а/т) | и |
max |ае—ae(m)| |
соответственно, |
|||||
т = э, 0, |
1, 2 для композиции сталь — |
медь: vi = 0,3; V2 = 0 8* |
|||||||
Ог/G i = 0,494; |
у = 0,7. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.3 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э, |
0 |
. |
5,2 |
5,5 |
4,8 |
3,7 |
2,2 |
0,3 |
0,1 |
|
1 |
7,2 |
1 |
.1 |
0,9 |
0,6 |
0,1 |
о.оз |
|
|
2 |
|
7,6 |
1,2 |
1,1 |
0,9 |
0,6 |
0,1 |
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л ица |
5.4 |
|
N |
|
|
|
|
5 |
10 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т\
Э |
15,4 |
23,9 |
27,9 |
31,8 |
34,9 |
39,1 |
38,3 |
0 |
23,0 |
14,5 |
10,5 |
6,6 |
3,5 |
0,3 |
0,1 |
1 |
4,8 |
0,6 |
1,2 |
1,1 |
0,7 |
0,08 |
0,04 |
2 |
2,2 |
2,4 |
2,0 |
1,3 |
0,8 |
0,08 |
0,04 |
§6. Неосесимметричная задача о слоистой трубе
Впредыдущем параграфе была дана оценка точности теории нулевого приближения в зависимости от числа ячеек периодич ности (параметра а). Эта оценка проводилась на задаче о слои стой трубе под действием равномерного внутреннего давления.
Однако на точность нулевого приближения, несомненно, оказы вает влияние и характер нагрузки. Например, если при плоской
деформации труба |
подвержена нагрузке, изображенной на рис. 27, |
то интуитивно ясно: чем меньше угол (3, тем хуже точность нуле |
|
вого приближения |
(при фиксированном числе пакетов N). |
Здесь |
|
|
|
|
I |
__ ( — q, |
если — р < 6 < Р; я — р < 6 < JX + р |
^ ^ |
|
1Г=-R" |
~ { р, |
если р < 0 < я — Р; я + |
р < 0 < 2 я — р, |
|
причем среднее давление на поверхность |
r= R N предполагается |
|||
нулевым: |
|
|
|
|
|
|
И и г - ' Ь |
|
м |
(Мы будем предполагать, что труба под действием указанной на грузки не теряет устойчивости).
Если р-*0, нагрузка стремится стать сосредоточенной, и в этом
случае заведомо метод осреднения не годится. |
|
|
В самом деле, рассмотрим действие |
сосредоточенной силы R |
|
на границу слоистой полуплоскости (рис. 28). |
|
|
Очевидно, на границе полуплоскости |
||
02? = |
022, #12* |
= Cfi2, |
|
|
(6.3> |
*11* = |
Си!, е?, + |
Спи 622, |
Рис. 28.
где Cqh — компоненты тензора модулей упругости нулевого при ближения для плоской деформации | = 0 (см. приложение V ). Тогда, воспользовавшись решением Лехницкого, подсчитаем пре делы:
|
|
|
|
F (0, |
G*) |
|
|
г->0 |
Оц |
|
(6.4). |
|
|
>'(0. £(0))* |
|||
ии |
F( e. O( 0 ) ) [(- |
^1122 (0) (С2222) |
(G 22COS20 + G 12 sin2 0) -f- |
||
I ™ аи _ |
Сяи(0) |
|
|||
|
[ С п и (0 ) + |
Cll22 (0) |
|
— Q 1 2 2 (0 ))1 |
|
+ |
Г П22 L ! |
((^ 112 2 ) |
|||
|
L |
С2222 (0) |
|
J |
|
|
- |
|
|
||
|
X (Gl2cos20 + Gil Sln2 0) |
(6.5). |
|||
|
|
|
|
|
sin2e |
где компоненты эффективного приведенного тензора упругих по датливостей G* подсчитываются по формуле (5.41), а функция
F (6, О) = |
+ |
(6.6) |
имеет конечное отличное от нуля значение при всяком 6 (компо ненты тензора G подсчитываются по формуле (5.41), где следует сделать замену Hijki~*Jijki)-
Радиальные и касательные напряжения оказываются сущест венно меньше окружных и поэтому графики их распределения не приведены.
Из рис. 30—33 видно, что в жестких слоях погрешность непре рывного решения по теории эффективного модуля на порядок
больше погрешности разрывного решения по теории нулевого при ближения. Точность теории нулевого приближения повышается с увеличением числа пакетов N и уменьшается при уменьшении уг ла р (т. е. при увеличении степени локализации нагрузки).
