Механика композиционных материалов
..pdfОСРЕДНЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР
Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. За тем подробно излагаются методы решения статической простран ственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряже ниях для композитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тен зоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости. Дается определение регу лярной структуры, квазипериодической структуры и описывается метод решения статических пространственных задач теории упру гости для композитов, у которых тензор модулей упругости не об ладает свойством периодичности по координатам. Разрабаты вается «теория нулевого приближения», по которой можно, ре шая задачу только по теории эффективного модуля, найти при ближенно микроперемещения и микронапряжения. Рассматрива ются условия неидеального контакта, когда один компонент ком позита может, например, проскальзывать относительно другого.
§ 1. Задача о неоднородном упругом стержне
Пусть упругий неоднородный стержень с модулем упругости Е(х) и длиной L подвержен действию «объемных» сил Х(х). Тре буется найти перемещение и(х) из решения уравнения равновесия
- i r [ E(x)Jt ] |
+X(x) = ° |
(U) |
||
и граничных условий |
|
|
|
|
и |,=0 =U\ |
£ М |
-7 Ч |
= 5 ° . |
( 1 .2) |
|
|
d x |
\ x = L |
|
т. е. на левом конце стержня |
задано перемещение w°, |
а на пра |
||
вом — усилие (напряжение) 5°. |
|
|
|
|
Решение задачи (1.1), (1.2) легко находится: |
|
|||
х |
L |
|
|
|
U(*) = ^ (s ° + |
^ X ( y ) d y ^ - f ^ + Ф. |
(1.3) |
||
Ох
где LQ— характерный размер стержня. (Обычно мы будем счи~ тать, что в стержне укладывается целое число ячеек периодич ности.) Заметим, что параметр а, характеризующий период струк туры (1.8), определяется, как единица, деленная на число ячеек периодичности (1.7). Поэтому чем больше ячеек периодичности содержит стержень, тем меньше параметр а.
Будем считать, что модуль упругости зависит от быстрой ко ординаты £. Тогда уравнение (1.1) перепишется в виде
— в (I) и’ (х) + Е (I) и" (х) + Х ( х ) = 0, |
(1.9) |
а |
|
где точка в этом параграфе означает дифференцирование по бы строй координате, а штрих — по медленной:
£ • ( 1 ) = ^ - . « '< * ) - - £ . |
(U 0 ) |
Решение уравнения (1.9) будем искать в виде комбинации некоторого «среднего» перемещения v(x) (смысл этого «средне го» выяснится позже) и осцилляций в каждой ячейке периодич ности:
u = v (x ) + a N1 (l)v' (х) + a2N2(t)v" (х) +
+ аn N n ( t ) v W ( x ) + |
(1.11) |
В правой части (1.11) функция v(x) и ее производные зависят только от медленной координаты, а функции JV*(£), i= 1, 2,...
—»л»... — так называемые локальные функции i-того уровня — за висят от быстрых координат, т. е. изменяются только на ячейке периодичности. Дифференцируя (1.11) по х, имеем
и' = v' - f 'N\ v' + а (Мх v" + N2V") + а2 (N2o'" + N3v") + |
, |
|
( 1. 12). |
и |
= ! / '+ — N\ v' + 2N\ v" + [Л^2 V" + |
|
|
|
а |
|
|
+ a (N± v"' + 2N2O'" + N3 v'") + |
(1.13) |
||
После того как |
локальные |
функции будут найдены, |
их с по |
мощью преобразования (1.6) |
можно превратить в периодические |
||
функции медленных координат. Однако подчеркнем, при проведе
нии техники |
осреднения |
после |
|
операции |
дифференцирования |
(1-12), (1.13) считается, |
что эти |
функции от медленных коорди |
|||
нат не зависят. |
функции |
f(x, £) |
будем понимать сле |
||
Операцию |
осреднения |
||||
дующим образом:
</(*.!)> =
О
Q d i , |
(1.14) |
т- е. при проведении осреднения (1.14) переменные х и £ счита ются независимыми и любая функция только медленной коорди-
наты выносится из-под знака осреднения. Полагая, например, что осредненные значения всех локальных функций равны нулю:
Ш Ю ) = 0, |
я = 1 .2 . |
|
(1.15) |
||
получим из (1.11) |
(и) = v(x), |
|
(1.16) |
||
|
|
||||
а после умножения левой и правой части |
(1.12) на Е (|), |
опера- |
|||
ция осреднения дает |
|
|
|
|
|
(Ей') = ( Е |
+ EN\) v' + a {EN± + |
EN2) + |
(1.17) |
||
Заметим также, что из разложения |
(1.11) |
видно, что |
|
||
|
Нш и = |
v(x), |
|
|
|
|
а-*0 |
|
|
|
|
что позволяет выяснить смысл осреднения |
(1.16). |
теории |
|||
Попробуем теперь |
задачу |
(1.1)-, (1.2) |
неоднородной |
||
упругости свести к последовательности задач однородной упруго сти (провести «гомогенизацию» задачи). Для этого подставим разложения (1.11) — (1.13) в уравнение (1.9)
— |
\ЕШ(1 + Ni) + ENi]vr + [Е (Ni -f- N2) + |
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
+ |
E (1 + |
2N\ + |
i)] v" + a [£■ (N2 + N3) -f |
|
||
+ |
£ ( # ! + |
2N2+ |
W3')] v'" + |
+ X (x) = |
0 |
(1.18) |
и граничные условия |
(1.2) |
|
|
|
|
|
и \х=0 = (v + a N y + a2 N2 v" + |
. )x=0 = |
tt°, |
|
|||
Eu' |,=L =[E(1\+ N\) v' + aE (N±+ N2) + |
|
|||||
|
+ a*E(N2 + N3) + . . . ] X = |
L = S°. |
|
(1.19) |
||
Приравняем теперь величины в (1.18), заключенные в квадрат ные скобки, неким постоянным:
(ЯМн-2)’ + |
(ENn+iy + |
EN'ri+i + ENn= hn, |
(1.20) |
|
N0= l , |
n = |
0, 1, 2, |
|
|
причем выражение в |
квадратных скобках при У/а приравняем |
|||
нулю: |
|
|
|
|
|
(EN\y + Е ’ = 0, |
(1.21) |
||
с тем чтобы в уравнении |
(1.9) |
был возможен предельный |
пере |
|
ход при а-*0. |
|
|
|
|
Для того чтобы локальные функции Nn(%) были непрерывны при их периодическом продолжении по длине всего стержня, не
обходимо выполнение условий |
|
[[Мп]] = 0 (Nn(0)=N n(\))y п= 1, 2,..., |
(1.22) |
где [[N]] означает величину скачка функции N при |
переходе иэ |
||||||
рассматриваемого элемента периодичности в соседние |
(в направ |
||||||
лении внешней «нормали»). |
|
(1.21), |
запишем |
уравнения |
|||
Используя |
условия |
(1.20) |
|||||
(1.18) |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
h0v"+ ah lv "'+ ... + * (* ) |
=0. |
(1.23); |
|||
Уравнение равновесия |
(1.1) |
можно записать в виде |
|
||||
|
|
|
о '+ Х (х )= 0, |
|
(1.24) |
||
где напряжение сг связано с деформацией е законом Гука |
|||||||
|
|
|
|
о=Ее, |
|
(1.25) |
|
а деформация |
связана |
с перемещением соотношением |
Коши |
||||
|
|
|
|
е = и'. |
|
(1.26) |
|
Левая |
часть соотношения |
(1.17) |
представляет собой, очевидно, |
||||
осредненное напряжение: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(а) = (£«'). |
|
(1.27) |
|
Для того чтобы уравнение равновесия (1.23) можно было запи сать, по аналогии с (1.24), в виде
(а)' -г Х(х) = 0, |
(1.28) |
||
нужно, очевидно, положить в (1.17) |
|
|
|
К = ( ENn+, |
+ ENn) ,п = 0, 1, |
(1.29) |
|
и тогда соотношения (1.17) |
будут иметь вид |
|
|
(о ) = h0 v' + a hi v” + |
ап hnu(n) + |
(1.30) |
|
a граничные условия (1.19) после операции осреднения — вид
(u+'aW i£/+ ...)х=о = м°,
(1.31)
(hou'-\-ah\v"...)X=L —S°.
Для того чтобы найти эффективный модуль, нужно установить связь между (а) и (е). Осредненная деформация (е) в силу (1.26) определяется из осреднения выражения (1.12):
(B) = (u') = v' |
(1.32) |
Поэтому, положив в (1.30) а->0, имеем |
|
(ст) = h0<е), |
(1.33) |
откуда и следует, что величина h0 имеет смысл эффективного моДУлЯ. Назовем и величины hn, п= 1, 2,..., модулями упругости п'То уровня.
Итак, задача неоднородной теории упругости (1.1), (1.2) ме тодикой осреднения сведена к задаче однородной «моментной» теории упругости (1.23), (1.31). Решение задачи «моментной» тео
рии упругости можно искать в виде разложения «среднего» пере мещения по малому параметру
|
|
|
|
v = Wo+aWi-\-a2w2-\-... |
|
|
(1-34)' |
||||||
Подставляя |
(1.34) |
в уравнение |
равновесия |
(1.23), |
граничные ус |
||||||||
ловия |
(1.31) |
и приравнивая |
величины |
при одинаковых |
степенях |
||||||||
а, получим рекуррентную последовательность задач: |
|
|
|
||||||||||
|
|
h0w"p+ |
Хр = |
О, |
р = |
О, 1,2, |
|
|
|
(1.35) |
|||
где |
wpU=o = |
Up, |
|
h0w'pIx=L = S°p, |
p = |
0, 1, 2, |
|
|
(1.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xp = j ^ h rw{;+!\ |
X0 = |
X, |
|
|
(1.37) |
|||||
|
|
|
|
|
r= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ u°, если |
p = 0, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Up= |
— |
NrWprl r|*=o, если p > 0 , |
|
|
(1.38) |
||||||
|
|
|
|
|
r=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S°, |
если p = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- j ^ h rw ^ r\x=L, |
если p > 0. |
|
|
<L39> |
||||||
|
|
|
|
r= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы видим, что в |
уравнение |
(1.35) |
и граничные |
условия (1.36) |
|||||||||
входят |
величины hr, г = 0, 1,..., |
которые |
можно найти |
по |
формуле |
||||||||
(1.29), |
если |
только |
известны |
локальные |
функции. |
Процедура |
|||||||
•отыскания этих величин заключается в следующем. Из решения
уравнения (1.21) |
находим |
локальную |
функцию первого |
уровня |
|||
JV. (g): |
|
ENX-+ E = Ci, |
(1.40) |
||||
|
|
||||||
где Ci — некоторая постоянная. Поэтому |
|
||||||
|
^ 1 © |
|
|
|
|
S + C- |
(1.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу условия (1.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c‘ = |
(4 г ) " |
(1.42) |
|||
|
|
|
|||||
а в силу условия |
(1.15) |
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 = |
Т |
“ |
С1( 1 |
в ® )■ |
(1.43) |
|
|
- |
|
|||||
После этого по формуле |
(1.29) |
находим |
|
||||
|
h '= (E N \ + E ) = |
C1= ( - L - f ' |
(1.44) |
||||
т. е. для упругого стержня с периодической структурой эффек тивный модуль совпадает с модулем Рейсса (§ 3 гл. 3). Теперь решаем уравнение (1.20) при п= 0:
(EN2y + |
(ENJ + EN\ + Е = |
(1.45) |
||
откуда находим |
I |
|
|
|
^ 2 = |
|
(1.46) |
||
]'^1(5)dl-(|JV1>, |
||||
где |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
(1.47) |
|
|
|
|
|
и определяем hi по формуле (1.29) |
при п= 1 и т. д. |
стержня |
||
Итак, задача теории |
упругости |
для неоднородного |
||
(1.1), (1.2) методикой осреднения |
сводится к двум рекуррентным |
|||
последовательностям задач: |
|
|
1,...) |
|
1) Задачи для однородного стержня (задачи Д (я), п= 0, |
||||
для нахождения величин |
шп, п= 0, |
1. Эти задачи являются |
одно |
|
типными краевыми задачами и различаются между собой только входными данными.
2) Задачи для определения локальных функций Nn, п= 1, 2,...
(задачи Ж (я), п= 1, 2,...). Эти задачи являются задачами теории упругости для неоднородного тела (ячейки периодичности) и не являются краевыми. Единственность решения этих задач обеспе чивается условиями (1.15) и условиями «периодичности» (1.22).
После решения каждой задачи Ж (п) |
необходимо |
выполнить опе |
||
рацию осреднения с тем, чтобы получить |
величины |
hn- U п= 1, |
||
2,..., и обеспечить возможность решения |
задачи Ж (л-{-1). |
|||
Разумеется, здесь мы так подробно останавливаемся на реше |
||||
нии простейшей задачи только из |
методических |
соображений, |
||
ибо техника осреднения для более |
сложных задач |
остается в |
||
принципе той же. |
|
|
|
|
Если же говорить действительно об одномерной задаче теории
упругости, то легко доказать, что в этом случае |
|
hn = 0, п> 0. |
(1.48) |
В самом деле, из соотношений (1.40) и (1.44) видно, что угло |
|
вые скобки осреднения в левом равенстве (1.44) можно |
опустить: |
h o=E N i+E . |
(1.49) |
Поэтому уравнение (1.20) при п= 0 имеет вид |
|
(EN2-+E N l)' = 0, |
(1.50) |
откуда с учетомусловия (1.29) при п= 1 получим |
|
EN2-+E N i=hx. |
(1.51) |
4 в. Е . П о б е д р я |
97 |
где |
Лрг= 0 при г > р — 1. |
0 |
(1.60) |
|
|||
|
Рассмотрим теперь вопрос о возможности |
точного |
решения |
исходной задачи (1.1), (1.2) с помощью описанной техники осред нения.
Решение задачи Ж(1) дается в виде (1.57), (1.44). Решим те |
||||||||||
перь задачу Д(0) для |
определения w0. |
Полагая в |
(1.35), |
(1.36) |
||||||
р = 0, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.61) |
|
|
h0wo + X = 0 , |
|
|
|
|||||
|
w0\x=o=u°, |
h0wo\x=L=S°. |
|
|
(1.62) |
|||||
Решение этой задачи легко находится: |
|
|
|
|
||||||
wQ= -^ -х + |
|
fL(х — у) X (у) dy + и°. |
|
|
(1.63) |
|||||
|
По |
по |
J |
|
|
|
|
|
|
|
Сформулируем теперь задачу Д (1), полагая в (1.35), |
(1.36) |
р= 1: |
||||||||
|
|
h0w\ = |
— hj^wo, |
|
|
(1-64) |
||||
|JC— 0 = — NXWQ|X = 0 * |
hQw'i |JC= L |
= — hx WQ\X—L- |
|
(1.65) |
||||||
В силу (1.48) и |
(1.63) |
эта задача имеет решение |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
ш1 = |
------Nl^ ] |
(s° |
+ |
£ X (у) dyj = const. |
|
(1.66) |
||||
Задача Д (2) имеет решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
шг = ----- X (0) = |
const. |
|
|
|
(1.67) |
||||
|
|
|
ho |
|
|
|
|
|
|
|
И вообще, задача |
Д (р), |
р > 1 , |
имеет |
решение |
в |
виде |
кон |
|||
станты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
JVpjO). Х (Р-2) (0) |
|
|
(1.68) |
||||
|
|
|
|
ho |
|
|
|
|
|
|
Поэтому согласно формуле (1.11) имеем |
|
|
|
|
||||||
|
u=aN\ (£)г(У0/+ ^ о + а о л + а 2аУ2+ - |
|
|
(1.69) |
||||||
Переходя в выражении Л^(£) |
от быстрой переменной к медленной |
|||||||||
путем замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 = — , |
|
|
|
0.70) |
|||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
получим, учитывая |
(1.59), |
|
|
|
|
и = 1 { ^ + \ Х ( у ) й у ) - Щ |
+ “ ° - 1 ' - \ y X ( y ) d y - |
|
|||
О |
х |
|
|
х |
|
- a ^ |
[ x ( y ) d |
y - - ^ - Y |
а”+' Лр0 Х ^ -' >(0). |
(1.71), |
|
|
"о |
j |
"‘О ^ |
|
|
Отсюда видно, что при отсутствии «объемных» сил решение (1.71) совпадает с точным (1.3). Причем в этом случае в окон чательный результат (1.71) параметр а не входит, а значит он справедлив для стержня с модулем Е (х), являющимся произволь ной функцией координат, а не обязательно периодической. В этом случае эффективный модуль упругости h0 (1.44) следует понимать как
|
dx |
(1.72) |
|
( д г Г |
Т т - ) - - г Г Т{Х) |
||
|
|||
Упражнение 1.7. Показать, что если функция Е (я), |
определен |
||
ная на отрезке 0 < * < /,, обладает свойством (1.4), то |
|
||
L |
I |
|
|
-Ь - | Я (х) |
d x= - j - j E (x)dx, |
(1.73), |
|
оо
где
/ = - |
(1-74), |
aiV — число ячеек периодичности.
§2. Статическая задача теории упругости в перемещениях
Рассмотрим неоднородную упругую среду (упругий композит)
с тензорами модулей упругости С(х) и упругих податливостей
J(x).
Уравнения равновесия для такой среды имеют вид (1.3.17)
V - [c f* ):v ® ы ] + Х = 0 ([Cim (x)uktl]J + Xi = 0), |
(2.1) |
а граничные условия для смешанной краевой задачи (1.3.19):
и |st = ц°, С : у ® и •л |s, = S°
( 2 . 2 )
(ut |s, = ul, CijklUkjnj |г, = S°i).
Рассмотрим периодическую структуру, т. е. такой композит, кото рый можно составить из плотно прилегающих друг к другу оди наковых элементов — ячеек периодичности. Тогда, согласно (3.1.5)