Механика композитных материалов 2 1979

история нагружения любого элемента находится между нагружением всеми ступенями нагрузки

Присваивая всем элементам одну или другую крайнюю историю, мы должны получить две границы, между которыми находится истинная ки­ нетика накопления дефектов.

Зная зависимость функции распределения F(t, о) от параметра о, мо­ жем построить кривые для нужных дискретных уровней напряжений оо,

o i,...,o n (рис. 1).

Введем предположение, что плотность вероятности разрушения эле­ мента определяется только напряжением в данный момент и ранее до­ стигнутым уровнем вероятности разрушения. Другими словами, если в момент t = x 1 напряжение на элемент меняется с сто на oi и если к этому моменту достигнута вероятность разрушения F(oo,x1), то функция рас­

263

В случае истории нагружения (6) формула (9) для дефекта любого раз-

того, что элемент порождает разрушающий дефект. Вероятность, что в образце с N элементами появится по крайней мере один разрушающий дефект, выражается формулой

exp [W*(t)N].

Как было отмечено, история нагружения (6) предполагает занижен­ ные перегрузки на структурных элементах в окрестности края трещины. Поэтому можно ожидать, что расчет даст завышенные значения для дол­ говечности композита.

3. Расчет концентрации напряжений и количество структурных эле­ ментов модели. Как было сказано выше, расчет усредненного по волокну напряжения в окрестности разорванного волокна проделан в работе15.

В расчете предполагались упругие свойства волокна, упругопластические свойства матрицы и гексагональная упаковка волокон. Делались обыч­ ные предположения, что матрица передает сдвиговые напряжения, а во­ локна воспринимают напряжения растяжения. В наших расчетах исполь­ зовалась методика расчета15. В случае разрушения нескольких рядом стоящих волокон реальная конфигурация дефекта, как и в13, заменялась круглой плоской трещиной. Композит по обе стороны от плоскостей тре­ щины в расчетах заменялся стержнем с усредненными характеристиками композита*. Количество волокон вокруг дефекта рассчитывалось исходя из диаметра дефекта и диаметра волокон и равнялось 6, 9, 12 при раз­ мере дефекта соответственно 1, 4, 7.

Размер структурного элемента по длине волокна естественно принять равным удвоенной «неэффективной» длине б. Полученные уровни пере­ напряжений и отношение длины элемента к диаметру волокна приведены в табл. 2. При этом использовались следующие значения: модуль сдвига эпоксидной смолы G=133 кгс/мм2, касательный модуль после предела пропорциональности Gt= 62 кгс/мм2, модуль упругости волокна Е = 7,5X X 10 кгс/см2, объемная доля волокон V = 0,6, приложенное напряжение на

*Такая методика расчета предложена П. В. Тихомировым. Численные расчеты здесь

ив дальнейшем выполнены С. П. Юшановым,

264

волокне do=80 кгс/мм2. Видно, что величина б больше таковой по фор­ муле Розена и увеличи­ вается с возрастанием де­ фекта.

4. Статистические ха­ рактеристики прочности и долговечности структур­ ных элементов композита.

Структурный элемент од­ нонаправленного волок­ нистого композита имеет поперечный размер, срав­ нимый с сечением волокна,

и продольный размер, приблизительно в 10 раз больший. В9 предложено получать характеристики кратковременной прочности волокон такой ма­ лой длины путем экстраполяции прочностных измерений длинных воло­ кон. Простейшая экстраполяция основана на предположении, что рас­ пределение прочности волокна длиной L определяется распределением

где а и р — параметры распределения. Разбивая волокно длиной L на N частей L = iVAL и используя процедуру «слабейшего звена», распределе­ ние прочности волокна длиной AL получаем формулой, аналогичной (И ):

F (or, AL) = 1 —exp (—ALaop) .

Результаты экспериментов на длительную прочность волокон можно опи­

где t, a, L — безразмерные время, напряжение и длина волокна. Переходя к волокнам длиной AL, таким путем получаем формулу для

265

Рис. 4. Кинетика накопления дефектов разного размера — 1, 4, 9, 10 (а—г), х — время разрушения композита. Кривые 1, 2, 3 получены при разных уровнях напряжений

CTi <СГ2<С Гз.

распределения на отрезки волокон малой длины и хорошо известно, что прочностные свойства волокон существенно меняются от выдержки их

ватмосферных условиях, а также от соприкосновения их со связующим.

Втаком случае параметры распределения прочностных свойств струк­ турных элементов композита должны быть определены непосредственно из испытания композита по его длительной прочности и регистрации на­ копления дефектов в процессе разрушения.

5.Численный пример. Ниже приведены расчетные результаты по на­ коплению дефектов в стеклопластике с функцией распределения долго­ вечности структурных элементов F(o, In/), показанной на рис. 2 для раз­ ных уровней напряжений. Аналитические выражения кривых распреде­ ления рис. 2 были получены исходя из экстраполяции вейбулловского распределения кратковременной прочности волокон на отрезки размера эффективной длины и перехода к оценке длительной прочности путем ис­ пользования гипотезы линейного суммирования повреждений. Ввиду из­ лишней сложности по сравнению с (12) эти выражения здесь не при­ водятся.

Каждая кривая на рис. 1 соответствует расчетному максимальному значению перенапряжения на волокнах, окружающих дефект. Графики усредненных напряжений, рассчитанных по методике п. 3, представлены

на рис. 3. Кинетика накопления дефектов разных размеров в композите без учета истории нагружения, т. е. по формулам (1) — (5), показана на рис. 4. Видно, что большинство единичных разрывов возникает в начале нагружения, а количество крупных дефектов возрастает во времени вплоть до окончательного разрушения. Такой результат качественно со­

266

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 268—275

УДК 539.4:678.5.06

Э. М. By

АНАЛИЗ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТОВ С УЧЕТОМ ГРАДИЕНТА НАПРЯЖЕНИЙ*

Современные композитные материалы являются инженерной комби­ нацией (в отличие от физической и химической комбинаций) нескольких материалов, в результате которой получаем макроскопически многоком­ понентный материал с определенными физическими свойствами, которые не могут быть получены при использовании только отдельных компонен­ тов. Очень часто свойства многокомпонентного материала являются ани­ зотропными; их можно разделить на две категории: 1) усредненные, гло­ бальные свойства материала (например, жесткость, теплопроводность) и 2) локальные свойства (например, прочность, разрушение, межфазные свойства). Первая категория свойств с успехом может быть исследована методами механики сплошных сред, однако микромеханические свойства второй категории не поддаются такого рода исследованиям. Об этом сви­ детельствует тот факт, что в настоящее время прочность и разрушение рассматриваются как изолированные явления.

Внастоящей работе предпринята попытка на базе физических пред­ ставлений (которые могут быть статистически количественно оценены) объединить теорию прочности и механику разрушения. Количественные значения параметров, определяющих разрушение композитов, необхо­ димы для надежного проектирования и для установления несущей спо­ собности конструкций из композитов. Наши результаты могут быть по­ лезными также для установления масштабного эффекта при наличии концентрации напряжений.

Внастоящее время исследования прочности анизотропных многофаз­ ных композитов ведутся по двум большим направлениям: 1) прочность композитов без учета макроскопических трещин; 2) прочность компози­ тов с учетом макроскопических трещин и концентратов напряжений. Эти два направления относятся к разработке критериев разрушения анизо­ тропных материалов и к механике разрушения; обычно эти два вида прочности трактуются как отдельные физические явления.

Отметим, что указанное произвольное деление проведено для установ­ ления слабых сторон подхода, когда прочность композита обсуждается

спомощью аппарата, полученного при исследовании изотропных мате­ риалов. Разрушение изотропных материалов характеризуется одним параметром, поскольку в этих материалах трещина всегда распростра­ няется перпендикулярно к направлению наибольших растягивающих на­ пряжений и диссипация энергии связана с расширением трещины. Здесь математическая модель соответствует физическому явлению. Однако композиты, особенно в виде слоистых пластиков, проявляют ряд неустой­ чивых состояний, включая медленный рост различных трещин. В компо­ зитах диссипация энергии не связана только с расширением трещины;

она включает также продолжающиеся скольжение и сдвиг вне плоскости. Траектории распространения трещин редко коррелируют с направлением максимальных растягивающих напряжений, и часто при распространении они разветвляются, не оставаясь подобными себе. На неустойчивость тре­

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.). Перевод Г А. Тетерса.

268

ления параметров. Для анизотропных слоистых композитов можно наме­ тить не менее семи основных параметров, характеризующих разрушение: 1) жесткость и прочность отдельных слоев; 2) геометрия слоистого плас­ тика; 3) ориентация трещин по отношению к осям анизотропии мате­ риала; 4) длина трещин; 5) вид напряженного состояния; 6) диссипация энергии в зависимости от трех кинематически допустимых видов разви­ тия трещины; 7) траектория трещин.

Благодаря множеству параметров их количественное определение из экспериментов следует считать невозможным. В данной статье предлага­ ется аналитическая модель, которая вместо семи указанных параметров содержит лишь критерий разрушения слоя и статистический параметр из­ менчивости т.

Теоретическая модель основана на следующем постулате: в случае квазистатического нагружения разрушение некоторого объема может быть определено анализом слабейшего звена с учетом местных напря­ жений.

В частности местное напряжение может возрасти от однородного со­ стояния (как при однородном растяжении, рис. 1—а) до концентрации напряжений (рис. 1—б) или привести к особенности в случае трещины (рис. 1—в). Наш постулат является переходным звеном между теориями прочности и механикой разрушения.

Наиболее известной концепцией слабейшего звена является статисти­ ческая теория разрушения Вейбулла. Вероятность неразрушения Ps ма­ териала объемом V под действием напряжений сг(Хг), зависящих от про­ странственных координат, записывается следующим образом:

где Gu — предел напряжения, ниже которого вероятность разрушения равна нулю; со — параметр нормализации; т — параметр распределе­ ния Вейбулла, который характеризует наблюдаемый разброс прочности. Статистическая теория разрушения Вейбулла была успешно применена для описания хрупкого разрушения изделий из керамики и углерода.

Несмотря на то, что теория Вейбулла применялась для исследования композитов, никто не указывал на основное ограничение теории. Уравне­ ние (1) предполагает, что разрушение является одномерным процессом. Из этого следует, что прочность будет той же, независимо от того, будет

269

материал подвергнут одноосному или сложному напряженному состоя­ нию. Более того, прочностные свойства считаются не зависящими от на­ правления. Применительно к композитам эти ограничения теории тре­ буют обобщения. Оба указанных ограничения могут быть разрешены пу­ тем обращения к математическому критерию прочности анизотропных

материалов.

За последние годы было предложено много критериев разрушения. Анализ многих из них1показывает их неудобную форму записи. В работе2 было установлено, что критерий прочности в виде тензорного ряда* явля­ ется весьма гибким и из него вытекает методика экспериментов, необхо­ димых для установления нужных параметров критерия3. Ниже мы ис­ пользуем критерий прочности в виде тензорного ряда, хотя могут быть применены и другие, экспериментально подтвержденные критерии. Запи­ шем критерий прочности в виде тензорного ряда в пространстве напря­ жений:

Для типичных, применяемых на практике композитов (например, угле­ эпоксидных) сохранение линейного и квадратического членов приводит к удовлетворительной аппроксимации экспериментов (рис. 2). Опыты

Рис. 2. Данные по разрушению графито-эпоксидных слоистых композитов, отложенные в плоскости о[0 2 , полученные при использовании тензорного полиномиального критерия разрушения (а), критерия разрушения по максимальным деформациям (б) и модифи­ цированного критерия разрушения Мизеса—Хилла (в). Среднеквадратическое отклоне­ ние напряжений /?Л45= 0,11 (а); 0,20 (б); 0,23 (в).

Критерий прочности в виде тензорного полиномного ряда впервые был предложен и проанализирован А. К. Малмейстером в статье «Геометрия теории прочности», опубли­ кованной в журнале «Механика полимеров», 1966, № 4, с. 519—534 (примеч. переводчика).

270

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 3. Однородное анизотропное тело со случайно распределенными микроскопическими трещинами.

были проведены на трубчатых образцах при сложном напряженном со­ стоянии простым нагружением на испытательной машине при нагруже­ нии в продольном направлении, кручением и внутренним давлением, при­ чем нагружение управлялось ЭВМ. Техника и методика экспериментов подробно изложены в4. Результаты могут быть отражены в трехмерном пространстве смагОб, но для наглядности они спроецированы в плоскости очаг. На рис. 2 эти результаты показаны в плоскости 0 \02, где описаны тремя различными критериями. Наилучшую корреляцию дает крите­ рий в виде тензорного ряда, что видно непосредственно из рисунков и подтверждено обработкой методом наименьших квадратов.

Физическая интерпретация экспериментальной поверхности проч­ ности требует некоторого внимания. Предполагается, что композит явля­ ется однородным и анизотропным и содержит множество микроскопиче­ ских трещин Сь Сг,..., Cj, произвольно распределенных. Хотя трещины считаются малыми по сравнению с характерным размером тела D (рис. 3), результаты механики сплошных сред указывают, что при действии произвольной нагрузки Ргнапряженное состояние в местах гео­ метрических особенностей Сь С2, ..., Cj неограниченное, что должно сразу привести к разрушению даже при малых значениях Р*. Это проти­ воречит физическим наблюдениям. В связи со сказанным напряжения в

(1) должны рассматриваться как величины усредненные, присутствую­ щие в малом, но конечном характерном объеме (определенные размером гс*, см. рис. 3), который полностью содержит одну микроскопическую тре­ щину. Несмотря на то, что напряжение имеет особенность внутри харак­ терного объема гс, внешние к гс средние напряжения ограничены и могут быть использованы для определения разрушения этого объема при по­ мощи критерия прочности в следующем виде:

Здесь SP— среднее значение вектора напряжений, внешних по отноше­ нию к характерному объему, определенному единичными векторами е*

рис. 4. При произвольном нагружении Р* вектор напряжений SP в любой точке тела может быть определен методами механики сплошных

* Явное определение этого характерного объема будет обсуждено далее, после уста­ новления общего вида статистического критерия разрушения.

271

сред. Если критерий f{oi) известен, то место разрушения материала можно установить, рассматривая вероятность неразрушения каждого элементарного объема тела. Для рассматриваемого элементарного объема Vi (где Vi>rc3) с плотностью трещин на единицу объема р при

P s = g (£Г

Для всего объема V, состоящего из Vi элементарных объемов, общая вероятность неразрушения будет:

В соотношении (3) вероятности неразрушения анизотропного тела

должны быть введены ограничения на функцию g( ). Чтобы не было разрушения при нулевых напряжениях, должно быть выполнено условие

Для обеспечения разрушения при предельном напряжении должны вы­ полняться условия

предложена для отражения свойств данного композита. В частности можно предложить экспоненциальную зависимость, как это сделал Вей-

&

Частная зависимость (6) применима для всех видов распределения напряжений, начиная от однородного до концентрации напряжений. Дальнейшие упрощения возможны в случае большой концентрации на­ пряжений (например, острые надрезы, трещины), сильно снижающих

прочность, т. При этих условиях уравнение (6) приобре­

тает вид:

V

Заметим, что в случае одномерного напряженного состояния, когда = где X — прочность на растяжение, уравнение (7) приво-

272