Механика композитных материалов 2 1979

рая только в редких случаях дает хорошее согласие с наблюдаемыми экс­ периментальными фактами.

Следует отметить следующие обстоятельства:

1) характеристики прочности рассматриваемой системы при других

ложениях. Легко получить аналогичные соотношения и для других, бо­ лее общих, случаев. Так, если материалы армирующих стержней или матрицы являются анизотропными, вязкоупругими, упругопластическими и т. п., достаточно сделать соответствующие дополнения в системе пара­ метров (2) и при необходимости в системе (3).

В случае, если контакт волокно—матрица не является идеальным, в систему А войдут также дополнительные параметры, характеризующие взаимодействие волокон и матрицы. Изучаемая система представляет собой двухфазную систему Ф, состоящую из фазы Oi (армирующие во­ локна) и фазы Фг (матрица). В реальных композитах, как и в любой двухфазной системе, связи между отдельными фазами определяются мно­ гими факторами, в том числе технологией изготовления композита. Фор­ мирование этих связей приводит к образованию переходного погранич­ ного слоя, обладающего физико-механическими свойствами, отличными от свойств фаз Фь Ф2, и могущего оказать заметное влияние на поведение системы Ф. Концепция переходного пограничного слоя при анализе меха­ нического поведения двухфазных структур использовалась в работе9; экспериментальное обоснование наличия переходного слоя в волокнистых композитах на основе полимерной матрицы имеется в работах10-12. Пере­ ходный пограничный слой имеет сложную структуру. Для рассматривае­ мой системы в достаточно хорошем приближении его можно характеризо­ вать четырьмя параметрами — толщиной слоя d и средними для слоя механическими характеристиками — модулем упругости £ 3, коэффи­ циентом Пуассона v3, пределом прочности при растяжении сгвзПри этом в систему А, помимо параметров (1) —(3), войдут также параметры d, Ег, v3, ств3.

Ограничимся в последующем рассмотрением случая идеального кон­ такта, при котором имеет место соотношение (4).

Реализуя первый из указанных выше путей изучения зависимости (4), следует экспериментально определить величину сгв, варьируя в экс­ периментах параметры, являющиеся аргументами функции ф0. Соображе­ ния размерности позволяют несколько сократить число параметров в со­ отношении (4).

Введем безразмерные параметры

На основании П-теоремы13 величина crD/aDi является функцией парамет­ ров (5) и коэффициентов Пуассона vi, V2. Удобно ввести относительное объемное содержание q волокон q=V\/V = Si/S, где У, 5 — объем и попе­ речное сечение бруса, а V\, S\ — объем и часть поперечного сечения, за­ нимаемые армирующими волокнами. Простой подсчет в рассматривае­ мом случае дает: q= jtр2(1 —а )2; поэтому в системе (5) параметры р, а могут быть заменены параметрами q, а. Из П-теоремы тогда получим:

Объем необходимых экспериментальных исследований существенно со­ кращается при использовании формулы (6) вместо формулы (4) и все же он остается весьма значительным.

3. Среди параметров, являющихся аргументами функции <р, есть пара­ метры, от которых функция ф зависит сильно, и параметры, от которых

293

она зависит слабо. Имеющееся к настоящему времени большое число экс­ периментальных и теоретических исследований проблемы прочности композитных материалов дает возможность оценить относительную роль некоторых параметров, входящих в соотношение (6). Анализ этих иссле­ дований позволяет, в частности, сделать следующие выводы:

1) параметр $= Ь/1 играет определенную роль лишь в тех случаях, когда прочность определяется имеющимися дефектами и объем образца становится существенным параметром;

2) зависимость ав от параметра а = а/Ь в соотношении (6) означает наличие масштабного эффекта по отношению к прочности композита. Имеется некоторое значение ао, такое, что при а<ао масштабный эффект не наблюдается и параметр а является несущественным; в обычных мак­

Соотношение (7) содержит наиболее существенные структурные пара­ метры, от которых зависит прочность композита, и может быть положено в основу первого, экспериментального, пути исследования прочности.

4. Рассмотрим другой, теоретический, путь определения предела проч­ ности композита. Этот путь требует решения задачи деформации компо­ зита, рассматриваемого как неоднородное составное тело.

Решение задачи растяжения в направлении волокон однонаправлен­ ного волокнистого материала14-15 показывает, что при значениях пара­ метров, характерных для многих композитных материалов, в рассматри­ ваемом случае реализуется следующее напряженное состояние:

1)осевое напряжение az в каждой из областей, занятых армирую­ щими стержнями и матрицей, постоянно и изменяется скачком на границе этих областей;

2)радиальные и тангенциальные напряжения постоянны внутри ар­ мирующих стержней; в матрице у границ стержней имеется концентра­ ция напряжений — они быстро затухают при удалении от границ раз­ дела. Эти напряжения малы, причем они уменьшаются с уменьшением параметра ц = Е2/Еi< l и с уменьшением разности vi—v2 коэффициентов Пуассона; при vi=v2 они равны нулю — при этом и материал армирую­ щих стержней, и материал матрицы находятся в одномерном напряжен­ ном состоянии.

Сдостаточной для практических целей точностью осевые напряже­ ния в армирующих стержнях oi и в матрице о2 могут быть приняты в виде14:

Примем, что разрушение композита происходит, если осевое (наи­ большее нормальное) напряжение в волокнах или матрице достигает со­ ответствующего предела прочности. Тогда при разрушении имеет место одна из трех ситуаций:

294

а в случаях (11) и (12) соответственно

ori/a2< l A ; ai/a2= lA .

Условие (13), с учетом (8), можно записать в виде:

При выполнении соотношения (14) разрушениепроизойдет по волокнам и предел прочности композита ов найдется из условия ao|ffl=aB1 = сгвИс­ пользуя (8),(9), отсюда получим:

то разрушение произойдет по матрице и величина сгв найдется из условия

Таким образом, в зависимости от соотношения свойств (14), (16) во­ локон и матрицы предел прочности композита ав определяется формулой (15) или формулой (176). При выполнении соотношения

формулы (15) и (17а) совпадают и принимают вид:

Проведенное рассмотрение показывает, что оптимальным по проч­ ности будет композитный материал с соотношением упругих и прочност­ ных свойств, удовлетворяющих условию (18); в таком материале разру­ шение происходит одновременно по волокнам и матрице. Формула (196) характеризует предел прочности оптимального по прочности композита.

Результаты вычислений во всех трех случаях (10) — (12) могут быть объединены в одну формулу:

которая является расчетной формулой. В этой формуле нет никаких не­ определенных констант, она содержит лишь упругие и прочностные характеристики волокон и матрицы и степень армирования (относитель­ ное объемное содержание волокон q). Поэтому она дает теоретическое предсказание прочности композита и может быть положена в основу ра­ ционального проектирования композитных материалов.

Формула (20) имеет структуру соотношения (7). Отсутствие в фор­ муле (20) параметра r\ = oB\/Ei обусловлено принятием при выводе

295

формулы (20) в качестве критерия прочности (для армирующих элемен­ тов и матрицы) критерия наибольшего нормального напряжения; при других критериях формулы типа (20) могут содержать и параметр тр Отметим интересный частный случай соотношения (20). Если выпол­

няется условие

Формула (22) хорошо описывает ряд экспериментальных данных по прочности волокнистых стеклопластиков14-16.

В случае (21) условие (18) принимает вид:

где еВ1, еВ2 — относительны^.удлинения (деформации при разрыве) воло­ кон и матрицы. При условии (236) формула (22) снова приводит к соот­ ношению (196). Следовательно, в рассматриваемых условиях при близ­ ких значениях коэффициентов Пуассона оптимальным по прочности будет композитный материал, у которого значения относительных удли­ нений близки.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Fracture. Vol. 1—7. N. Y.—Lond., 1968—1972.

2.Composite materials. Vol. 1—8. N. Y.—Lond., 1974.

3.Малмейстер A. K-, Тамуж В. П„ Тетере Г А. Сопротивление жестких полимер­

ных материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.

4.Kelly A. Strong solids. Oxford, 1973. 261 р.

5.Огибалов П. М., Ломакин В. А., Кишкин Б. П. Механика полимеров. М.,

1975. 528 с.

6.Кишкин Б. П. Конструкционная прочность материалов. М., 1976. 184 с.

7.Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М., 1970. 140 с.

8.Ломакин В. А. Методы решения стохастических краевых задач механики компо­ зитных сред. — В кн.: Teoria osrodkow wielofazowych. £r. 1. Warszawa, 1974.

9.Ломакин В. А. Зависимость сопротивления металлов сдвигу от их структурного состояния. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1958, № 7, с. 10—14.

10.Schonorn Н. Generalized approach to adhesion via the interfacial deposition of amphipathic molecules. I. Adhesion of polyethylen to aluminium. — J. Polymer Sci. P. A., 1963, vol. 1, N 7, p. 2343—2359.

11.Яхнин E. Д., Егорова Ю. В., Евко Э. И. О механизме структурирующего дейст­ вия частиц наполнителей и пигментов в полимерных средах. — Докл. АН СССР, 1967,

т.176, № 2, с. 385—387.

12.Регель В. Р., Габараева А. Д., Филиппов Н. Н., Лексовский А. М. Измерение методом инфракрасной спектроскопии напряжений на волокнах в нагруженном компози­ ционном материале. — Механика полимеров, 1977, № 5, с. 832—837.

13.Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., 1967. 428 с.

14.Ломакин В. А., Колтунов М. А. Действие армирующих элементов при растяже­

нии на деформацию и прочность стеклопластиков. — Механика полимеров, 1965, № 2,

с.104—113.

15.Борзова Т. В. Концентрация напряжений в армированном упругом простран­ стве. — Инж. журн., 1965, т. 5, вып. 5, с. 972—976.

16.Немец Я., Серенсен С. В., Стреляев В. С. Прочность пластмасс. М., 1970. 335 с.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 297—304

УДК 539.4:678.5.06

Ш. Ч. Чоу

МЕТОДЫ ПРЕДСКАЗАНИЯ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ*

В последние годы в целях снижения массы конструкций в них все чаще применяются композитные материалы. Однако их потенциальные возможности в полной мере не используются, так как отсутствует методо­ логия предсказания поведения этих материалов при разрушении. Это объясняется трудностью определения поля напряжения в слое, в част­ ности, если слой содержит концентратор напряжения. Эффективным для анализа слоя можно считать метод конечных элементов в сочетании с трехмерной теорией упругости. Однако для анализа этим методом много­ слойной конструкции, имеющей значительные градиенты напряжений, требуется очень большая память ЭВМ и значительное машинное время. Это обычно делает невозможным исследование полного поведения кон­ струкции. Иными словами, сегодняшняя техника не позволяет анализи­ ровать поле напряжений в многослойном материале, содержащем неко­ торые формы концентраторов напряжений. В результате этого исследо­ вание видов разрушения затруднительно даже, если применяются приближенная теория и численный анализ1-12. Цель настоящей работы — краткое описание техники метода конечного элемента, развиваемого при­ менительно к анализу поля напряжения в слое.

Для анализа разрушения многослойных композитных материалов су­ ществуют в общем два основных метода — макроскопический и микро­ скопический. Данная статья рассматривает методы анализа только на макроскопическом уровне. В зависимости от различий в основных пред­ положениях мы разделим эти методы на две группы — методы моделиро­ вания материала и методы математического моделирования.

Моделирование материала. Общеизвестно, что упругое поведение слоя можно хорошо предсказать, используя теорию слоистых пластин. Для объяснения экспериментальных результатов, относящихся к неупругому поведению, предложен целый ряд моделей. Большинство из них основано на принципе моделирования материала, согласно которому принимается, что известные свойства слоя изменяются по определенному закону, когда напряжения или деформации в слое удовлетворяют одному из критериев разрушения, примененных в анализе, например, критерию максимальных деформаций, напряжений или критерию в виде тензорного полинома. Ниже приведены два типичных примера, иллюстрирующих процедуру этого подхода.

В работах11-14 для определения упругих констант каждого слоя на всех уровнях напряжений и деформаций, соответствующих диаграмме на­ пряжение—деформация, экспериментально установленной из опыта на растяжение слоя, были использованы так называемый касательно-мо­ дульный анализ и конечно-элементная модель слоя. Для каждого слоя на всех уровнях напряжения определяются упругие константы, которые ис­ пользуются для предсказания поведения образцов, содержащих концен-

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.). Перевод А. Ф. Крегера и Р. Б. Рикардса.

297

Рис. 1. Схематическая иллюстрация касательно-модульного метода: а — истинное соот­ ношение между напряжениями и деформациями; б — приближенный численный метод.

траторы напряжений. Разумеется, образцы имеют такой же тип слоев. Установлено, что данный подход дает хорошее совпадение теоретически предсказанного поведения с результатами эксперимента.

Кратко процедуру такого касательно-модульного подхода можно опи­ сать следующим образом. Сначала проводится линейно-упругий анализ для неповрежденного слоя, затем вычисляются напряжения для каждого слоя во всех конечных элементах, при этом используется теория слоистых плит. После этого напряжения на слой сравниваются с поверхностью прочности для определения разрушающего усилия первого слоя NFPF (это соответствует точке А на рис. 1). Далее конечно-элементная модель изменяется соответственно для тех слоев и элементов, в которых разру­ шен первый слой, после чего повторно прилагается разрушающее усилие величиной NFPF д л я определения точки В (см. рис. 1 ) . Затем повторно вычисляются напряжение в каждом слое и элементе для определения начального состояния следующего приращения. Используя одно и то же значение усилия NFPF, но различные величины жесткости, получаем по­ стоянную скорость нагружения материала. Приращение деформации от точки А до точки В является результатом снижения жесткости материала за счет разрушения слоев. Таким же образом определяется приращение напряжений, которые суммируются с начальными напряжениями сц; эти суммарные напряжения соответствуют точке D (см. рис. 1) и определяют разрушение следующего слоя и соответствующее усилие на слоистый композит. В таком виде процедура повторяется до исчерпания прочности слоистого композита. На рис. 2 показана разбивка на конечные элементы для задачи анализа многослойного композита с эллиптическим (а/Ь = 4) и круглым отверстиями. Анализируется одна четвертая часть образца с учетом условий симметрии. На рисунках 3 и 4 показано сравнение теоре­ тических и экспериментальных кривых стеклоэпоксидного композита [0/±45/90]s с эллиптическим {а/Ь = 4) и круглым отверстиями. Имеется

хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов.

298

растяжение, сжатие и сдвиг. Иными словами, в работе15 было принято, что прочность слоя заранее неизвестна и может быть определена из проч­ ности слоистого композита. Это предположение означает, что все слои в многослойном композите разрушаются одновременно. Кратко подход15 можно описать таким образом. Для двухмерного случая с сохранением квадратичных членов критерий прочности имеет вид:

^1СГ112 + Л 20222 + ^3(У 122 + ^4СТ11С122 + ^5СГ11а12 + ЛбО22СТ12 + ^ 7 О 1 1 +

+ А^022^~Ад0\2= К

где Gij — напряжения на слой; Ah — неизвестные коэффициенты проч­ ности слоя. Направление 1 совпадает с волокном. Коэффициенты А опре­ деляются по методу наименьших квадратов [а]т[а]{Л} =[о]т{1}, где а —

9 x m m X 9 9 X l 9X m mX 1

разрушающие напряжения слоя, вычисляемые по теории слоистых плас­ тин. Если эти коэффициенты известны, то прочность слоя определяется решением тензорного полиномиального критерия прочности для различ­ ных случаев нагружения. Таким образом, установлено, что прочность слоя в многослойном композите отличается от прочности монослоя.

Оба этих случая относятся к расчету при простых нагружениях растя­ жением, сжатием или сдвигом. В работе17 был рассмотрен аналитический подход к определению прочности двухосно-нагруженных многослойных композитов, содержащих концентратор напряжения. Принято, что жест­ кость слоя обращается в нуль, если напряжения в слое удовлетворяют критерию прочности. Напряжения вычислены по теории слоистых плит. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов отсутствует.

Необходимо отметить, что при моделировании материала вид разру­ шения не может быть установлен, так как классическая теория слоистых пластин не учитывает трансверсальных напряжений, которые, как сле­ дует из экспериментов, значительно влияют на поведение композита. Тем

Рис. 3. Измеренные диаграммы осевая нагрузка—деформация для многослойного компо­ зита [0/±45/90]s с эллиптическим отверстием а/Ь = 4. Точки — теоретический расчет; линии — эксперимент.

Рис. 4. Сравнение вычислительных и измеренных кривых осевая нагрузка—деформация для элемента 9. Обозначения те же, что на рис. 3.

299

не менее, простота метода моделирования материала для изучения слож­ ных конструкций обусловливает его широкое использование инженерами и проектировщиками.

Математическое моделирование. Большинство конструкций содержит концентраторы напряжений, такие, как отверстия, соединения, кромки и разрывы в слоях. Экспериментальные результаты показывают, что разру­ шение, как правило, начинается с области, содержащей концентратор на­ пряжений. Следовательно, чтобы предсказать прочность такой конструк­ ции, необходимо проанализировать поле напряжений в областях значи­ тельных градиентов напряжений. Эту проблему можно решить, используя трехмерные конечные элементы. В многослойном композите конечный элемент необходимо разделить на подобласти по толщине. Это требует большой машинной памяти и значительного машинного времени, что ог­ раничивает применение метода для детального анализа малых областей. Использование крупной сетки разделения на конечные элементы в облас­ тях значительных градиентов напряжений дает неверный результат, что заставляет многих исследователей применять приближенные теории. Проблеме определения поля напряжений в многослойном композите у свободной кромки посвящено большое количество исследований. В2 при рассмотрении этой проблемы многослойный композит заменялся мно­ жеством анизотропных слоев, разделенных изотропными слоями, рабо­ тающими на сдвиг. В9 для решения этой же проблемы был применен метод конечного элемента. В3 метод конечных разностей использован в целях решения уравнения теории упругости для состояния плоской деформации. Для того же применен метод конечных элементов в8. В6 методом возму­ щений было получено аналитическое решение уравнений теории упру­ гости для плоской деформации. Было разработано много методов, на­ правленных на достижение большей точности, но их трудно применять к другим задачам, например, к определению поля напряжений около отвер­ стия для предсказания прочности многослойного композита. Очевидно, для установления поля напряжений в многослойном композите и вида разрушения необходимы более гибкие методы.

В18 была развита теория пластин, учитывающая деформации попереч­ ных сдвигов, деформации нормали и коробление поперечного сечения. По толщине пластинки в работе приняты кубическая аппроксимация для тангенциальных перемещений и и и и квадратичная — для нормального перемещения w:

300

мещениями и изгибными напряжениями, полученными в работах20-21, причем отмечено хорошее согласие.

В22 теория пластин высокого порядка была изменена и выведен трех­ мерный конечный элемент для толстых пластин. Принятый гибридный конечный элемент получен при использовании принципа минимума допол­ нительной энергии, причем перемещения на границах элемента принима­ ются неразрывными. Гибридный конечный элемент имеет в плане форму параллелограмма и имеет общую толщину 2h (рис. 5). Перемещения на границах изменяются линейно и параметры напряжений выбраны так, чтобы удовлетворились уравнения равновесия. В гибридной модели существует много возможностей разложения для напряжений. В22 было ис­ пользовано несколько разложений для напряжений и найдено одно, удов­ летворяющее уравнениям равновесия, причем свободными от сил оказы­ ваются верхняя и нижняя поверхности пластины. В теории пластин высо­

301

дополнительное требование, чтобы GXZ и o yz обращались в нуль на верх­ ней и нижней поверхностях пластины, a crz обращалось в нуль только на нижней поверхности. С учетом сказанного выражения для напряжений имеют вид:

где h — полутолщина пластинки. При использовании этих разложений для компонентов напряжений и перемещений получена матрица жест-

302