Механика композитных материалов 2 1979

Рис. 2. Поверхности прочности для структур с различными углами армирования: 1 — ф= ±0° (•); 2 — ±10° (Л ); 3 — ±20° (О); 4 — ±30° (□); 5 — ±45° (V).

тов было аппроксимировано при помощи функции

указанная функция хорошо описывает изменение всех рассмотренных компонент тензоров поверхности прочности в зависимости от структур­ ного параметра материала фг-.

Далее изучалось влияние изменения интенсивности армирования ма­ териала ©г на компоненты тензоров поверхности прочности до четвер­ того ранга4, где ©i — относительное количество слоев под углом ф= 0°, @2 — под углом ф=±45°, ©з — под углом ф= 90° (рис. 4). Объемный

Рис. 3. Изменение компонент тензоров поверхности прочности в зависимости от струк­ туры армирования: 1 — ри(ф); 2 — р2г(ф); 3 — Рпп(ф); 4 — р222г(ф); 5 — 2рм22(ф); 6 — 4pi2i2 (ф).

223

O

коэффициент армирования p,=const, углы армирования cpi= const. Класс композитов с такой укладкой арматуры при различном относительном количестве слоев можно изобразить на плоскости ©1 + 02+©з=1 (рис. 5).

В работе исследовалось 13 структур с различной интенсив­ ностью армирования, и для каж­ дой по уравнению (2) определены компоненты тензоров поверхности прочности pij и рам. В качестве примера на рис. 6 показана компонента тензора поверхности прочности рп 11 в зависимости от

Рис. 6.

Рис. 6. Изменение компоненты тензора поверхности прочности pmi в зависимости от структуры армирования 0,-.

Рис. 7. Вектор р в пространстве напряжений (а) и изменения его максимального значе­ ния в зависимости от cti и ос2 (б). а2=л/2 (1)\ Зл/8 (2); я/4 (3); я/8 (4); а 2= 0 и р=2,862 (5).

224

Puc. 9. Сечение начальной поверхности прочности композита.

матрицы используется полином, вид которого устанавливается с приме­ нением аппарата разложения функции на сфере с помощью тензоров6:

Здесь WW(Ii,/3) — полином k-го порядка от инвариантов Л, / 3.

В качестве условия разрушения волокон используем критерий Мизеса:

3

_ /2Г)= (гюо)2; здесь гюо — прочность волокон на растяжение; I2D — вто­

рой инвариант девиатора напряжений.

На рис. 9 показано сечение построенной начальной поверхности проч­ ности однонаправленного композита при следующих исходных данных: диаметр волокна d= 15 мкм; Еа= 106кгс/см2; va= 0,2 1 ; Ет = 3,5 • 104кгс/см2; vm = 0,35; объемный коэффициент армирования ц= 0,16. Ось 5 33 направ­ лена вдоль направления армирования волокон. В основном композит раз­ рушается за счет потери прочности матрицы. При одноосном сжатии вдоль волокон разрушение начинается в волокнах. На рис. 10 кружками отмечены экспериментальные значения прочности для композита2 с объ­ емным коэффициентом армирования [х = 0,57. Экспериментальные точки, соответствующие растяжению в направлении волокон, отражают не пре­ дельное напряжение разрушения, а величину напряжения, при котором

вобразце начинается фотонная эмиссия, указывающая на начало трещинообразования в материале.

3.Рассмотрим эксперименты по исследованию механолюминесценции

встеклопластиках при одноосном растяжении7. Использовались плоские образцы в виде «лопатки». Длина образцов — 80 мм. Ширина рабочей зоны образцов 3—4 мм, толщина 0,35—1,5 мм. Для измерения светового излучения при деформировании образцов применяли счетчик отдельных фотонов. В качестве фотоприемника использовали умножитель ФЭУ-84, при необходимости охлаждаемый парами жидкого азота. Расчетная ско­ рость работы с линейностью ~ 2 % была 105 имп/с для некоррелирован­ ных фотонов. Поступление импульсов в эксперименте не превышало 104 имп/с.

При сравнении диаграмм деформирования и мёханолюминесценции, установлена связь между свечением и процессами деструкции стекло­ пластика. Так, кривая сгц(ец) у стеклопластика с углами армирования Ф=±45° (см. рис. 1) имеет выраженную нелинейно-упругую часть (рис. 10—а), после чего деформация продолжается с постепенным раз­ рушением материала. На рубеже этих двух частей диаграммы ап (еп) по­ является механолюминесценция образца и свечение достигает 920 услов­ ных единиц. Если в описанном ранее эксперименте по кривой деформиро­ вания можно приблизительно судить о том, когда начинаются процессы деструкции и как они развиваются, то диаграмма ац(ец) для однона­ правленно армированного стеклопластика представляет собой практиче­ ски прямую линию (рис. 10—б) и, следовательно, не содержит информа­ ции о процессах разрушения, происходящих во время нагружения.

Однако диаграмма механолюминесценции показывает, что первые процессы деструкции начинаются при 58,1 ±2,4% от разрушающей де-

226

Рис. 10. Зависимость условных единиц свечения NKB (1) и напряжения растяжения Он (2) от деформации Еп для стеклопластика с углами армирования ф =±45° (а) и для однонаправленного стеклопластика (б).

формации eii33, а дальнейшее накопление световых квантов происходит со скоростью 38 условных единиц свечения в секунду в зоне интенсивного разрушения материала. Полученные данные достаточно хорошо согла­ суются с теоретическими расчетами начала трещинообразования в одно­ направленно армированном материале (см. рис. 9), проведенными мето­ дом конечных элементов.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Малмейстер А. К. Геометрия теории прочности. — Механика полимеров, 1966,

№4, с. 519—534.

2.Упитис 3. Т., Рикарде Р. Б. Исследование зависимости прочности композита от структуры армирования при плоском напряженном состоянии. — Механика полимеров,

1976, № 6, с. 1018—1024.

3. Упитис 3. Т., Брауне Я■А., Рикарде Р. Б. Определение компонент тензоров по­ верхности прочности по методу наименьших квадратов. — Механика полимеров, 1974,

№3, с. 552—554.

4.Упитис 3. Т., Рикарде Р. Б. Прочностные и деформативные свойства стеклоплас­ тика при плоском напряженном состоянии в зависимости от структуры армирования. — Механика полимеров, 1978, № 5, с. 848—859.

5.Рикарде Р. Б., Чате А. К. Начальная поверхность прочности однонаправленно армированного композита при плоском напряженном состоянии. — Механика полимеров,

1976, № 4, с. 633—639.

6.Тамуж В. П., Лагздиньш А. Ж. Вариант построения феноменологической теории разрушения. — Механика полимеров, 1968, № 4, с. 638—647.

7.Крауя У. Э., Лайзан Я. Б., Упитис 3. Т., Тутан М. Я. Механо-люминесценция при растяжении стеклопластика. — Механика полимеров, 1977, № 2, с. 316—320.

15’

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 228—234

УДК 539.4:539.22:678.5.06

И. Ф. Образцов, В. В. Васильев

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА И ПРОЧНОСТЬ с л о и с т ы х к о м п о з и т о в ПРИ п л о с к о м н а п р я ж е н н о м с о с т о я н и и *

Композитные материалы, обладающие высокой прочностью и жест­ костью, находят в настоящее время широкое применение в различных об­ ластях техники. Характерной особенностью композитов, отличающей их от традиционных конструкционных материалов, является то, что они, как правило, образуются одновременно с изготовлением конструкции. При этом их механические характеристики, определяемые свойствами и схе­ мой расположения элементарных слоев, могут изменяться в широких пределах, что позволяет получать материалы с направленной анизотро­ пией, обеспечивающей максимальную прочность при заданных условиях нагружения. В настоящей работе рассматриваются тонкие слоистые композиты, обладающие максимальной прочностью при плоском напря­ женном состоянии.

1. Исходные соотношения. Рассмотрим материал, состоящий из k слоев, обладающих толщиной hi и углами ориентации волокон ф* (рис. 1 ). Введем систему координат (х, у), в которой заданы средние усилия Nx, Му, Nxy и систему, связанную с направлениями армирования. Запишем

x\2h Несущую способность материала будем оценивать с помощью фено­

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.).

228

нию трещин в связующем1-2. Если после этого внешняя нагрузка воспри­ нимается волокнами, такое нарушение сплошности материала часто счи­ тается допустимым, а поведение композита описывается соотношениями

(1) —(3), в которых принимается £ ,2= Gi2= p-i2= p-2i= 0. Условие (4) при

ностью. Прежде, чем перейти к общей задаче, рассмотрим определение оптимального угла армирования ф отдельного слоя. При k = \ напряже­ ния сгь 02, Ti2 являются статически определимыми. Предполагая, что на­ гружение является пропорциональным (Nx= pNx°, Ny= pNy°, Nxy°= pMxy°),

Условия минимума параметра hip, соответствующие максимальной пре­ дельной нагрузке или минимальной расчетной толщине, имеют вид: d(h/p)ld<p = 0; d2(h/p) /dq>2>0. Дифференцируя правую часть соотношения

(5) и заменяя Nx, Ny, Nxy через о\, о2, Ti2 с п о м о щ ь ю равенств (1), окон­ чательно найдем:

4 (Ец + / 722—^12 —^Зз)Т122—(01 —02) [ (^11 -\-F22 — F12 — F22) (Oi —02) +

Применительно к критерию прочности Мизеса—Хилла аналогичные соотношения были получены ранее в работе3. Для волокнистого компо­ зита, у которого o i » 02; o i^ rb ; 0 I> 02, условия (6) и (7) приближенно записываются в виде:

траекториям главных напряжений. Аналогичный результат следует также из первой теории прочности.

Из изложенного выше можно сделать следующий существенный для

229

дальнейшего вывод: условия (6) и (7), по существу, определяют некото­ рое оптимальное поле напряжений cii, 02, Т12, при этом совпадение воло­ кон с траекториями главных напряжений обеспечивает локальный мини­ мум толщины или максимальное значение параметра нагрузки, при кото­ ром имеет место нарушение сплошности или несущей способности мате­ риала.

3. Оптимальная структура слоистого материала. Рассмотрим теперь композит, состоящий из k слоев. Складывая первые два равенства (1), получим следующее выражение для толщины:

Входящие в (8) напряжения ар, а2* должны быть связаны условиями совместности деформации слоев. С помощью равенств (2) и (3) напря­ жения в любом /-м слое могут быть выражены через напряжения одного, например, первого, слоя, т. е.

Ul2

Всоответствии с изложенным в п. 2, будем отыскивать распределение напряжений в слоях, обеспечивающее минимум толщины (8) и удовлет­ воряющее условиям совместности деформаций (9) — (11) и условиям

230

Система (12) — (19) включает 7k —3 уравнений и является полной от­ носительно 3k напряжений оУ, a2J, Ti2j, k параметров Ay, и 3{k —1) пара­ метров Ау, Ay, Ay. Отметим, что в результате ее решения определяется оптимальное поле напряжений, а соответствующие структурные пара­ метры находятся далее из уравнений (1). Это обстоятельство является существенным, так как из решения частных задач следует, что оптималь­ ное распределение напряжений является единственным и ему может соот­ ветствовать множество различных равноценных структур. Ввиду того, что общее решение системы построить не удается, воспользуемся полуобратным методом.

Как следует из изложенного в п. 2, оптимальное распределение напря­ жений в слоях реализуется при совпадении траекторий армирования с траекториями главных напряжений. Попытаемся построить решение системы (12) — (19), приняв Ti2J’ = 0. Из уравнений (14) и (17) при этом следует TiiJ’ = T]jJ‘ = 0, что возможно, если (1) A y / A y = tg2<pi = tg2<pj или (2) Ау=Ау = 0. Ниже будут рассмотрены два случая.

I случай. Пусть Ay'A3J‘ = tg2(p1= tg2(p;,-, что, очевидно, возможно только для двухслойного материала при cpi= <p и фг= Ф + я/2. В этом случае урав­ нения совместности деформаций (19) позволяют выразить напряжения о-!2 и (J22 второго слоя с углом армирования фг через напряжения щ1 и сгг1 первого слоя с углом армирования фь Таким образом, условия прочности

(4) для обоих слоев могут быть записаны через напряжения щ1 и ог1На рис. 2 показан участок предельной кривой для углепластика с парамет­ рами5 £ 1 = 14800 кгс/мм2, £ 2= 1200 кгс/мм2, Щ2= 0,0227, ai = 106 кгс/мм2, ст2= 5,4 кгс/мм2. Кривая 1 соответствует первому слою, кривая 2 — вто­ рому. Уравнения (18) удовлетворя­

лежащим на кривых 2 или 1. В слу­ чае, когда А,!1 = Л-12= 0, т. е. оба огра­ ничения по прочности выполняются

ввиде неравенств, система (12 )—

(19)оказывается несовместной; при

g1= § 2 = 1 решение соответствует точке пересечения кривых 1 и 2. Та­ ким образом, из исходной системы остаются неудовлетворенными урав­

231

распределение напряжений сп1, 021 и о\2, о22- Угол ф и толщины слоев определяются из равенств (1 ), т. е.

h\ 9 = (Nx+ Ny) (oi2-1—о22Л) + (Nx— Ny)']/\ + g2(o'i2-1+ o,22,1)

2 (ai1ai2—G21022)

На рис. 2 точками показаны оптимальные распределения напряжений

щина во всех трех случаях одинакова.

Равенство (20) позволяет непосредственно найти ф, если усилия явля­ ются статически определимыми. В общем случае они, в свою очередь, за­ висят от неизвестных структурных параметров материала и задача усложняется. Отметим один частный случай. При hi = fi2 = h/2 физические соотношения для двухслойного материала, армированного по траекто­ риям главных напряжений, принимают вид:

p = {Ei\n2 + E2\i2i)/ {EI + E2), т. e. совпадают с законом Гука для изотроп­ ного материала. Таким образом, в рассматриваемом случае Nx, Nv, Nxy аналогичны усилиям в изотропной пластине.

II случай. Пусть теперь № = № = k, j = 0. При этом уравнения совмест­ ности деформаций (19) должны тождественно удовлетворяться. Прини­ мая в (9) — (11) Ti2J = 0, получим:

(/= 1,2,3,..., k), т. е. напряжения одинаковы во всех слоях. Таким об­ разом, A,ij = A,, gj = g, и система (12) — (19) принимает вид:

- ^ 12), где п определяется соотношением (21). Для волокнистых компо­ зитов с полимерной матрицей, как правило, /г>я<). Если несущая способ­ ность связующего не учитывается, следует принять Е2 = о2 = 0, при этом п = По=0. Для композитов с металлической матрицей пжгц.

232