Механика композитных материалов 2 1979

Подставляя равенства (21) в (1), запишем условия, определяющие оптимальные структурные параметры материала:

Таким образом, существует множество структур материалов, обладаю­ щих одинаковыми напряжениями (24) и толщиной (26). Из равенств (25) следует, что действующие усилия не могут быть произвольными и должны удовлетворять условиям

В качестве примера рассмотрим замкнутую оболочку вращения, на­ груженную равномерным внутренним давлением q, вызывающим усилия

Пусть оболочка образована двумя слоями с толщинами h\ = h2 = 0,5h и углами ф1 = ф, ф2= —Ф относительно образующей. Пусть поперечное се­ чение г = const пересекает под углами ±ф т лент однонаправленного ма­ териала. Обозначая площадь сечения ленты через 5 и считая mS одина­ ковым для всех сечений, получим:

Второе равенство (25), очевидно, удовлетворяется тождественно, а пер­ вое равенство и соотношения (27) позволяют записать уравнение, опре­ деляющее оптимальную форму оболочки2, —

R2 1 —(1 —п)соз2ф

(29)

RI п+ (1 —n)cos2 ф

При п = 0 имеем 2— (R2/R\) =tg2 у, т. е. уравнение равновесной формы нитяной оболочки согласно сетчатому анализу6.

Найдем траектории армирования, обеспечивающие выполнение равен­

233

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 235—239

УДК 539.32:678.5.06

С. С. Абрамчук, В. П. Булдаков

ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В настоящей работе проведены исследования ограничений на вели­ чины некоторых упругих характеристик анизотропных материалов, выте­ кающих из следующих двух требований1-3:

1 ) упругий потенциал есть положительно определенная квадратичная форма компонент напряжений или деформаций (общий физический принцип);

2 ) при всестороннем сжатии объем тела уменьшается (эксперимен­ тально установленный факт).

Работы этого направления2-6 можно существенно дополнить, как бу­ дет показано ниже.

Если в произвольной декартовой системе координат обобщенный за­ кон Гука принять в виде7: ei = aijOj] i,j= 1,2,..., 6, то упругий потенциал

235

Введем в рассмотрение 15-мерную декартову систему координат, по осям которой будем откладывать значения величин лчг, V23, V31, • • • Неравен­ ства (2) показывают, что допустимые значения обобщенных коэффициен­ тов Пуассона лежат внутри 15-мерного параллелепипеда с центром в на­

чале координат и с длинами сторон 2^E2jEx\ 2^EzfE2\ 2^E\jE3, ... Пересе­ чение этого параллелепипеда с областью, описываемой неравенством (6), и определяет область П6 всех допустимых значений V12, V23, V31, •.. согласно требованию 1). Неравенства (3) — (5) описывают области П3(от>, П4<п\ Пб^ (т= 1 ,2 ,..., 20; п= 1 ,2 ,..., 15; /= 1, 2 ,..., 6) в соответствующих 3-, 6- и 10-мерных пространствах, являющихся пересечениями области Пб соот­ ветствующими координатными гиперплоскостями.

Исследуем область П30), т. е. область допустимых значений коэффи­ циентов Пуассона V12, V23, V31 произвольного анизотропного материала. Проведенные рассуждения будут, очевидно, справедливы для любой об­ ласти П3(т >т = 2, 3 ,..., 20, так как обобщенные коэффициенты Пуассона входят в условия (2) — (6) равноправно. Итак, рассмотрим коэффициенты Пуассона V12, V23, v3i. Из условий (2), (3) получим:

Для дальнейшего удобно ввести декартову систему координат Х\, х2, *3,... , *15, по осям которой отложены приведенные значения коэффициен­

236

Поверхность, ограничивающая область (8'), будет:

Повернем систему координат вокруг оси *3 против часовой стрелки на угол я/4, тогда (10) в новых осях *'ь *'2, *з будет:

гипербол. При *з°-«—1=F0 соответствующие эллипсы и гиперболы вырож­ даются в прямую х'\ = 0, а при *3°->-—1±0 — в прямую *'2 = 0. Ввиду того, что в уравнении (9) переменные *ь *2, *з равноправны, аналогичные ре­ зультаты можно получить при сечениях поверхности (9) плоскостями *i = *1°, *2 = *2°- Область, определяемая (7'), есть куб с центром в начале координат. Нетрудно видеть, что внутренняя по отношению к поверхности

нусообразных областей, примыкающих своими вершинами к вершинам тетраэдра и касающихся продолжений граней куба по прямым линиям, являющимся продолжением ребер тетраэдра. Сечение поверхности (9) плоскостью *'2 = 0 является параболой * /2= 1 —*3, ветви которой непре­ рывно переходят через угловые точки. Представление о форме поверх­ ности можно получить из рис. Итак, учитывая (7'), (8'), делаем вывод о том, что допустимые значения коэффициентов Пуассона согласно требо­ ванию положительной определенности квадратичной формы упругого по­ тенциала лежат в области, ограниченной внутренней частью поверхности (9), которую назовем тетроидом. Тетроид является всюду выпуклой, гладкой поверхностью, за исключением четырех угловых точек.

Переходим к исследованию ограничений, накладываемых требова­ нием 2). Математически оно эквивалентно условию2- 3

V.4 VW4 "У4 Ут+Vf VT+VJ+V?"

( 12)

Если плоскость (12) пересекает тетроид, то требование 2) накладывает дополнительные ограничения на область допустимых значений коэффи­ циентов Пуассона. Покажем, что этого не происходит при любых значе­ ниях а, b, с. Для этого решим совместно уравнения (9) и (12). Выразим *i из (12) через *2, *3 и подставим в (9). Получим уравнение линии их пересечения:

237

После несколько громоздких выкладок можно представить дискрими­

отрицателен и, следовательно, плоскость (12 ) отделена оттетроида щелью. Если |x3|< l и |х*3|< 1 , то (14) всегда отрицателен, кроме одной точки х*з, где он обращается в нуль. Следовательно, в этом случае плоскость ( 1 2 ) касается тетроида в точке x*i, х*2, х*з, где х*\, х*2 можно найти из вы­ ражения для х*з циклической перестановкой а, Ь, с. Итак, если требова­ ние 1 ) выполнено, требование 2 ) удовлетворяется автоматически и его привлечение необязательно.

Для практических целей представляет интерес установить предельное значение суммы коэффициентов Пуассона. Для этого рассмотрим

Положим х2, Хз произвольными, а Х\ выразим через х2, хэ из уравнения

(9) и исследуем полученное выражение на экстремум как функцию двух переменных. Оказывается, что всегда существует максимум суммы (15)

ной тетроидом, всегда справедливо:

VJ^y^_y^<VlJ+V23+V3,<Y(l7 +'^+§r^(16)

Установленное нами неравенство (16) является более сильным, чем из­ вестное условие Рабиновича2- 3

В (16) все три модуля Е ь Е2, £ 3 входят равноправным образом, и в изо­ тропном случае из него легко следует известное соотношение1

Рассмотрим численный пример. Пусть в некоторой системе координат Ь/с= 2, а/с = 4, тогда неравенство (17) дает vi2+ v 23+ v3i< 7 ,5, а из нера­ венства (16) получаем: V12+V23+V3i<2,125, причем значения коэффи­ циентов Пуассона, при которых последнее неравенство переходит в ра-

238

венство, будут: v'i2= ,V23= 0,125; v3i= 1,875. Этот пример наглядно иллюст­ рирует тот факт, что неравенство (16) более сильное, чем (17). При на­ рушении хотя бы одного из следующих условий |* i|< l, |х2|< ; 1 , |х3| < 1, зависящих только от величины модулей упругости £*, неравенство (16) не переходит в равенство справа ни при каких значениях х*, лежащих внутри тетроида, т. е. становится менее сильным.

Исследование на экстремум суммы приведенных коэффициентов Пуассона приводит к неравенству —3 <Х1+ *2 + *з<3/2, что эквивалентно

(19)

чинах Ей а в изотропном случае — в условие (18). Полученные резуль­ таты ввиду равноправности переменных с точностью до обозначений справедливы и для остальных 19 соотношений (3). Нетрудно убедиться, что и в общем случае условия (2 )— (6) приводят к следующей цепочке неравенств типа (19):

—1 <дсх< 1,... (15 неравенств);

которые переходят в равенства справа при одинаковых значениях хг-, рав­ ных 1, 1/2, 1/3, 1/4 и 1/5 соответственно, а также слева при хг-= —1 и спра­ ведливы для произвольных значений £* (i = 1 , 2 ,... , 6).

Выводы. 1 . Исследована область допустимых значений обобщенных коэффициентов Пуассона уц {i, /= 1 ,2 ,..., 6) для анизотропного мате­ риала общего вида в произвольной декартовой системе координат. Эта

2.Показано, что если выполнено условие положительной определен­ ности квадратичной формы для упругого потенциала, то всегда при все­ стороннем сжатии объем тела уменьшается.

3.Получены строгие неравенства для линейных сумм обобщенных коэффициентов Пуассона.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М., 1965. 204 с.

2.Рабинович А. Л. Введение в механику армированных полимеров. М., 1970. 482 с.

3. Тарнопольский Ю. М., Кинцис Т. Я■ Методы статических испытаний армирован­ ных пластиков. М., 1975. 264 с.

4.Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. М.—Л., 1972. 216 с.

5.Рабинович А. Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материа­ лов. — Тр. ЦАГИ, 1946, № 582, с. 1—56 (М.).

6.Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Применение

метода преобразования координат. — Журн. Русск. физ. о-ва, 1926, т. 58, вып. 3,

с.415—446.

7.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких полимер­ ных материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.

8.Джефферис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М., 1969. 424 с.

Поступило в редакцию 07.12.78

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 2, с. 240—247

УДК 539.4:678.5.06

В. В. Болотин

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ*

1. Разрушение твердых тел имеет стохастическую природу. Эта при­ рода проявляется уже на атомном, молекулярном и субмолекулярном уровнях. На макроскопическом уровне сопротивление твердых тел разру­ шению и сам характер разрушения существенно зависят от факторов слу­ чайной природы — малых трещин, дефектов макроскопической струк­ туры, включений и т. п. Для композитных материалов к таким факторам относятся случайные свойства волокон или зерен наполнителя, их слу­ чайное размещение в матрице, нарушения адгезии наполнителя к матрице и т. п.1 К перечисленным факторам необходимо добавить также неустой­ чивость технологического процесса, выборочный характер и толерант­ ность системы контроля качества.

По мере совершенствования технологического процесса и системы контроля удельный вес технологических факторов, влияющих на разброс механической прочности, уменьшается. Если разрушение исследуется как физическое явление, то технологические факторы можно исключить из рассмотрения, взяв все образцы из одной партии и проявив особое вни­ мание к однородности исходных материалов и к устойчивости технологи­ ческого процесса. При помощи неразрушающих методов можно отобрать еще более однородную партию, уменьшив роль макроскопических факто­ ров. Но если цель эксперимента состоит в нахождении данных для инже­ нерных расчетов, например, в установлении нормативных характеристик прочности и коэффициентов запаса, то испытания на прочность необхо­ димо планировать, в полной мере отражая ту долю разброса, за которую несут ответственность технологические факторы. Выборки образцов для испытаний должны в полной мере отражать существующий уровень тех­ нологии и контроля качества.

В настоящей статье рассматривается вопрос о статистическом ана­ лизе результатов испытаний на прочность и об оценке стохастических моделей разрушения в условиях значительного разброса механических свойств. В основе предлагаемого подхода лежит предположение, что все случайные факторы, присущие ансамблю образцов, элементов конструк­ ции или деталей машины, могут быть описаны некоторой случайной характеристикой. Выборочные значения этой характеристики определяют внутренние свойства данного образца элемента или детали. Если нагру­ жение детерминистическое, то стохастические свойства этой характерис­ тики полностью задают разброс результатов испытаний. Вообще говоря, эта характеристика должна включать некоторые случайные поля. Для упрощения дальнейших построений, а также имея в виду практические приложения, ограничимся случаем, когда внутренние свойства ансамбля могут быть заданы при помощи многомерной случайной величины. Будем обозначать эту величину через г, называя ее кратко вектором прочности.

Эксперименты по разрушению в определенном отношении являются невоспроизводимыми. Каждый образец можно разрушить лишь один раз,

* Доложено на советско-американском симпозиуме «Разрушение композитных мате­ риалов» (Рига, сентябрь 1978 г.).

240

Если т рассматривать как параметр, то формула (1.1) дает функцию рас­ пределения разрушающего напряжения при заданной долговечности.

нии. Квантили долговечности T Y связаны с квантилями характерной проч­ ности rv зависимостью

( 1.2)

'=т‘ ( - Г )’

где показатель степени т выражается через показатели а и р в распре­ делении (1 .1 ) следующим образом:

Коэффициенты вариации случайных величин 5 и т, которые подчиня­

причем в рамках принятой модели коэффициент вариации разрушающего напряжения зависит только от показателя а, а коэффициент вариации долговечности — только от показателя р. Поскольку эти показатели свя­ заны зависимостью (1.3), то формулы (1.4) и (1.5) можно рассматри­ вать как параметрически заданную связь между ws и wx. Роль параметра при этом играет показатель степени т в формуле (1.2). Зависимость между ws и wх представлена на рис. 2 (цифры у кривых — значения т). Чем больше показатель степени т, тем при заданном разбросе разрушаю­ щих напряжений разброс долговечности получается больше (обычно т принимает значения от 4 до 12).

2 . Чем сложнее гипотеза, которую нужно проверить, тем больше труд­ ностей, связанных с ограниченностью применения закона больших чисел. Рассмотрим вопрос о проверке линейного правила суммирования повреж­ дений. Пусть программа нагружения характеризуется вектор-функцией s(/), где вектор s учитывает факторы нагрузки, температуры, а также, если нужно, и другие факторы окружающей среды. Обозначим долговеч­ ность индивидуального образца при s = const через Ts(s|r). Согласно ли­ нейному правилу суммирования повреждений, долговечность т* образца,

242