Теория автоматического управления. Линейные системы управления

Поскольку функция nyquist применена без указания параметров, то диаграмма строится автоматически для всего диапазона изменения частоты со 6 ( - оо;+оо) и полный годограф Найквиста симметричен относительно дей­ ствительной оси.

Рассмотрим еще один пример. Пусть разомкнутая САУ 4-го порядка (л=4) устойчива и имеет передаточную функцию

р 4 +2р3 +Зр2 +4/7 + 1 Определим устойчивость замкнутой САУ по критерию Найквиста.

Запишем скрипт Matlab:

»num=[4];

»den=[l 2 3 4 1];

» d e n ia l 2 3 4 5];

»sys=tf(num,den);

»roots(den)

ans =

-0.1018 + 1.471 li -0.1018- 1.471 li -1.4873 -0.3092

» roots(denl) ans =

0.2878 + 1.416П

0.2878 - 1.41611 -1.2878+ 0.8579i -1.2878 -0.8579i » nyquist(sys).

Все корни разомкнутой системы являются левыми, т. е. /п=0, а в замк­ нутой САУ имеется два правых корня, что свидетельствует об ее неустойчи­ вости.

Аналогичный вывод можно сделать, рассматривая диаграмму Найкви­ ста (рис. 7.7). Годограф Найквиста охватывает точку (-1,у0). Согласно кри­ терию Найквиста система в замкнутом состоянии будет неустойчива, по­ скольку разность между числами положительных и отрицательных перехо­ дов годографа разомкнутой системы отрезка (-о о ;-1) действительной оси

равна единице (имеется один отрицательный переход действительной оси) при т!2=0.

Отобразим в плоскость к мнимую ось усо плоскости корней ph опреде­

ляющую границу области устойчивости системы, заменив р на усо. Тогда

* = =£/(<■>) + УК(ю), (7.25)

где М(р) - члены характеристического уравнения, не содержащие пара­ метр A, a D(p) - члены характеристического уравнения, содержащие пара­ метр к линейно.

Непрерывно увеличивая со от ~оо до +оо построим в плоскости ком­ плексного переменного к кривую D-разбиения. При этом левую часть кри­

вой, обозначающую границу области устойчивости системы, будем штрихо­ вать. Только замкнутая область D определяет пределы изменения данного параметра, при которых система является устойчивой. На рис. 7.8 приведен пример построения кривой D-разбиения. Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается структурно неустойчивой и ввести ее в установившееся состояние возможно, лишь изменив структуру.

Если изменяемый параметр к является вещественным, то область его

значений, при которых САУ остается устойчивой, принадлежит отрезку

(а, Ь\ т. е. к е (ayb).

7.3.4. Логарифмический критерий устойчивости

Логарифмический критерий устойчивости применяется как для оценки устойчивости системы, так и при проектировании корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого в устойчивое состояние. В основе логарифмического критерия устойчивости лежит критерий устой­ чивости Найквиста.

По критерию Найквиста базовая точка (~\;j0) в комплексной плоско­ сти, определяющая границу устойчивости, характеризуется параметрами

f201g 4 ®) = 201gl = 0,

[<р = - я .

Рассмотрим частотные характеристики разомкнутой системы (диа­ граммы Боде) для двух случаев.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Это означает, что годограф Найквиста (рис 7.9,а) такой системы не пересекает отрезок (—<х>; —1). САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза сос логарифмической амплитудно-частотной характери­ стики (ЛАЧХ) разомкнутой системы меньше частоты, при которой лога­ рифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) достигает значе­ ния -л, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ЛФЧХ не должна достигать угла -л. Диаграмма Боде устойчивой системы приве­ дена на рис. 7.9,6.

Рис. 7.9. Годограф Найквиста и логарифмические частотные характеристики устойчивой системы при отсутствии правых корней разомкнутой САУ

2. Разомкнутая система неустойчива.

Логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточ­ но, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза количество переходов прямой - к ЛФЧХ было равно нулю (т.е. количество положитель­ ных переходов должно быть равно количеству отрицательных переходов).

Нормированная величина запаса устойчивости по модулю:

1

Если а > 1, то система устойчивая.

Если а = 1, то система находится на границе устойчивости. Если о < 1, то система неустойчива.

На практике считается допустимым иметь запас по амплитуде в лога­ рифмическом масштабе а д^м= 10 - 20 (дБ).

Таким образом, для определения запаса устойчивости по амплитуде необходимо:

1) построить годограф АФХ разомкнутой системы;

2) определить ближайшую точку пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке ( - 1,у0);

3) рассчитать нормированный запас устойчивости по формуле: а = ~ | .

Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отве­ чает запасу устойчивости по амплитуде, в противном случае не отвечает.

Запасом устойчивости по фазе называется минимальный угол у (см. рис. 7.11), образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно­ фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости по фазе считается угол

Упппоп =30-45°

' д

Если у > удоп, то система обладает запасом устойчивости.

Если у < удоп, то система не обладает запасом устойчивости.

Запасы устойчивости системы можно определить также по диаграмме Боде (см. рис. 7.9,6). Запас по модулю обозначен AL и соответствует сдвигу по фазе разомкнутой системы на угол -я . Запас по фазе обозначен Дер. Он определяется на частоте среза и соответствует коэффициенту усиления ра­ зомкнутой системы, равному единице (0 дБ).

Относительную устойчивость системы можно определить по диаграм­ ме Боде с помощью функции margin системы MATLAB. Оценим относитель­ ную устойчивость системы, представленной передаточной функцией (7.23). Запишем скрипт Matlab:

»num=[0.4];

»den —[1 2 1 0.6];

»sys=tf(num,den) Transfer function: