Теория автоматического управления. Линейные системы управления

электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование элек­ тромагнитной энергии в механическую энергию вращения вала ротора; JR- приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращае­ мого механизма; М, Мс - соответственно электромагнитный момент электро­ двигателя и момент сопротивления на его валу; ш - скорость вращения вала двигателя.

Таблица 5.2

U,,

о

А/,

Ш ®

м «

Рис. 5.4. Функциональная схема (а) и схемы замещения (6-г) электродвигателя постоянного тока

Для описания динамических моделей электрических цепей электро* двигателя воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи - 2-м законом Ньютона. Тогда получим:

(5.9)

d(D

где Тэ, Тл - электромагнитные постоянные времени соответственно об­

мотки якоря и обмотки возбуждения, Тэ = —L, Тъ =

Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напря­

где Сы - конструктивная постоянная двигателя.

5.3. Способы соединения звеньев. Правила преобразования структурных схем

Одним из основных вопросов теории управления является составление и преобразование структурных схем САУ.

Структурные схемы САУ, как уже отмечалось, графически отображают причинно-следственную связь их переменных. Мри непосредственном при­ менении прямого преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям звеньев структура САУ может отображать собой далеко не оп­ тимальную в концепции “вход-выход” систему. Пользуясь определенными правилами, исходную структурную схему САУ можно упростить, сведя сс к структуре (конфигурации) с меньшим числом звеньев, но более сложных по структуре, или к конфигурации, содержащей только простейшие типовые звенья, но с общепринятой в конкретной предметной области структурой.

В теории управления техническими системами традиционно применя­ ется три основных типа соединения динамических звеньев: последователь­ ное, параллельное и с обратной связью. Кроме того, наличие нескольких входов у линейных динамических звеньев позволяет в ряде случаев метода­ ми структурных преобразований схем существенно упростить исследование динамической модели САУ при заданных входе и выходе. При этом ряд многих взаимосвязанных звеньев сводится к одному или относительно не­ большому числу взаимосвязанных звеньев. При анализе таких структурных схем гораздо отчетливее проявляется роль каждого звена в преобразовании входного воздействия САУ, чем эго было бы при рассмотрении дифферен­ циальных уравнений, описывающих САУ.

В основе преобразований структурных схем линейных САУ лежат присущие линейным системам свойства суперпозиции, коммутативности, ассоциативности и др. Основные правила преобразований структурных схем приведены в табл. 5.3.

Особую значимость в теории управления имеет 4-е структурное преоб­ разование (см. табл. 5.3). Поскольку в основе построения подавляющего большинства САУ используется введение обратных связей по регулируемой координате или возмущающему воздействию, преобразованную структур­ ную схему можно рассматривать как обобщенную структурную схему любой замкнутой системы. При этом Wx представляет собой передаточную функ­ цию разомкнутой САУ, a W2 - передаточную функцию звена обратной свя­

зи. Знак “+” в знаменателе передаточной функции соответствует отрицатель­

В качестве примера найдем передаточные функции электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря (см. структурную схему,

в обратной связи - одно безынерционное звено с передаточной функцией СеФн. Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, полу­

чим

К.

Щ р ) =-Тир{Т,р +1) + 1 (5.14) где Кл , Ти - соответственно коэффициент передачи двигателя и электро­

1

механическая постоянная времени, Ка =

Q Ф СМФ

Во втором случае разомкнутая цепь двигателя содержит одно интегри­ рующее звено, а в обратной связи - последовательно включенные безынер­ ционное звено с передаточной функцией СсФн, апериодическое звено и бе­ зынерционное звено с передаточной функцией СыФи. Применяя 2-е и 4-е

правила преобразования структурных схем, получим

Тыр{Т3р + 1) + \

5.4. Представление САУ в виде сигнальных графов. Правило Мейсона при преобразовании структурных схем

Структура любой системы управления может быть представлена в виде сигнального графа (графа прохождения сигналов в САУ). Граф представляет собой некоторое множество определенным образом связанных элементов (вершин, или, иначе, узлов графа) и ребер (дуг, или, иначе, ветвей графа). Основные свойства сигнального графа:

1.Каждая вершина графа отображает одну из переменных (координат состояния) системы, а следовательно, элементы графа и элементы системы - понятия различные. Графическое изображение вершины графа - окружность или точка.

2.Каждое ребро (дуга) графа отображает, с одной стороны, направле­ ние прохождения сигнала, с другой - закон преобразования входной пере­ менной в выходную. Это означает, что каждому ребру графа может быть по­ ставлено в соответствие свое уравнение связи, например в виде передаточ­ ной функции. Графическое изображение ребра графа-линия со стрелкой.

3.Если к вершине графа подходит несколько ребер, то соответствую­ щая ей величина равна сумме выходных величин входящих ребер, что делает ненужным использование в графах суммирующих элементов.

4.Если из вершины графа исходит несколько ребер, то входная вели­ чина для этих ребер будет одной и той же, что делает ненужным использова­ ние в графах точек разветвления.

•t.J

где WKi - передаточные функции различных контуров, / - номер контура,

WKiWKJ - произведения передаточных функций некасающихся пар

контуров (комбинаций из двух некасающихся контуров),

WKiWK/WKk - произведения передаточных функций некасающйхся

троек контуров (комбинаций из трех некасающихся контуров) и т. д. Минор определителя графа Лк(р) равен определителю графа при уда­

лении к-го пути (всех ребер и вершин, лежащих на А-м пути).

В качестве примера составления сигнального графа САУ приведем ма­ тематическую модель электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря, рассмотренную в разделах 5.2, 5.3. В качестве регулируемой ко­ ординаты примем угол ср поворота вала электродвигателя. Это означает, что выходная координата электродвигателя будет являться интегралом от угло­ вой скорости со двигателя и в структурной схеме электродвигателя (см. рис.

5.5) на ее выходе добавится пятое звено с передаточной функцией —.

Р

Сигнальный граф электродвигателя показан на рис. 5.7. Передаточные функции (ребра графа) имеют вид:

С

Рис. 5.7. Сигнальный граф электродвигателя постоянного тока

Определим передаточную функцию (ребро графа) между двумя вер­ шинами А и В с помощью формулы Мейсона, полагая момент нагрузки на валу двигателя Мс= 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами Л и В,

т. е. k =1, и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура

W v M ’ W ilp W iip W iip W sip ),

^ А р )= ~ Щ р )Щ<<р ) Щ р ) ^ ( р ).

Определитель графа в соответствие с (5.17) и минор определителя гра­ фа имеют вид

А(/>) = 1 - ^ = 1 + w,(PW2(PWJ(PW4(P). А.(р) = 1•

Передаточная функция электродвигателя в соответствии с (5.16)

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по управлению со стороны цепи якоря после подстановки в (5.18) передаточных функций звеньев будет иметь вид

Определим передаточную функцию между вершинами С и В, полагая

напряжение на якоре двигателя Ц, = 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами С и В и

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по мо­ менту сопротивления на валу после подстановки в (5.20) передаточных функций звеньев будет иметь вид

Заметим, что полученные с помощью сигнального графа передаточные функции (5.19, 5.21) электродвигателя соответствуют передаточным функциям (5.14, 5.15), полученным на основе дифференциальных уравнений.