Теория автоматического управления. Линейные системы управления

где е ^ 1 ~ матрица перехода системы из начального состояния У(^о) в текущее состояние Y(t). Понятие и расчет матрицы перехода рассмотрены в

разделе 9.3.

Полное решение уравнения движения линейных САУ представляет со­ бой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.

В качестве примера на рис. 4.3 приведена реакция электродвигателя по­ стоянного тока (полное решение уравнения движения) на ступенчатое прило­ жение номинальной нагрузки Мсн(возмущающего воздействия) к его валу.

Рис. 4.3. Реакция электродвигателя на возмущающее воздействие в виде ступени нагрузки на валу

При приложении нагрузки скорость ш(/) двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скорости Дшдин превышает статическое падение скорости Дсос (см. рис. 4.1).

Вынужденное движение соответствует новому установившемуся со­ стоянию - номинальной скорости сон электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет tp.

4.3. Переходные и импульсные характеристики САУ

Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) мо­ гут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.

Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систе­ му является единичное ступенчатое воздействие x(t). которое может быть

не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий, прежде

всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздей­ ствия которых квантованы по уровню.

Переходная функция (переходная характеристика) hit) - это нормаль­ ная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или мето­ дом математического моделирования. Для наиболее широко распространен­ ных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их пе­ реходных функций [1-5].

Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во времен­ ной области. Она представляет собой производную от единичной ступенча­

dt

Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по вре­ мени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.

Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие - импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить чис­ ленным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебни­ ках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [1—5].

Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.

4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения объектов управления

Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В ча­ стности, на сложность электромеханических систем управления влияет мно­ жество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических

пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновеши­ вания и динамической развязки движений и др. Для определения их матема­ тических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла [1,2].

Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [2]:

(4.14)

где q, q , Q(q, q) - векторы обобщенных координат, скоростей и обоб­ щенных сил;

£K(q,q) - кинетическая энергия механической системы.

Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления, представляют в форме системы обыкновенных диффе­ ренциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.

(4.15) Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механиче­ ских звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических

пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.

Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последова­ тельности:

1)определяют число п степеней свободы материальной системы;

2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные

координаты q\,qi,..^qn\ q = ~ вектор обобщенных координат;

их число должно быть равно числу п степеней свободы механической си­ стемы;

Q = [Qi>62 v«.>Q„]T - вектор обобщенных сил;

примечание 1: для определения обобщенной силы Q, , соответствую­ щей /-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном пере­

мещении bqt ; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда

примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (од­ нозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу £?, можно найти как частную производную потенциаль­

где потенциальная энергия системы £п определяется как функция обобщен­ ных координат, т. е. £ n = £ n(q ); потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для z'-го звена массой т, равна Еи(#,) = т д А ^ , где А/г, - высота подъема центра масс /-го звена, g - ускоре­ ние силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости

где с, - жесткость упругого звена, Ад, - угол закручивания (приращение обобщенной координаты);

4) вычисляют кинетическую энергию Ек системы как функцию обоб щенных координат и скоростей, т. е. £ K(q,q); кинетическая энергия матери­ альной системы определяется как сумма кинетических энергий всех п мате­ риальных точек системы

Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распре­ деленных масс механической системы и требует определение абсолютных

скоростей v, (q, q) достаточно большого множества материальных точек системы с массами /и,.

Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:

- при поступательном движении: £ к = 0,5mv2, где т - масса твердого тела, v - скорость любой его точки;

- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: £ к = 0,5J ZCD ,

где Jz - момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, со - угловая скорость вращения;

2.В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол ф отклонения нити маятника от вертикальной оси.

3.Для определения обобщенной силы 2, (я=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщен­ ном возможном перемещении 5ф. Единственной активной силой является

сила тяжести маятника P^mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном пере­ мещении 5ф

З Л --Р 1 БШфбy =-m g l этфбф.

Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой Р и приращения 5ф, разные.

Отсюда с учетом (4.16)

Qx = -PI sin ф = -mgl sin ф .

Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).

Обобщенная сила Q\ может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы Еп(ф) - - Р 1 cos ф = -mq I cos ф:

-mgl sin ф.

4.Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой т) при вр щательном движении вокруг неподвижной оси:

ЕК=0>5/2ф2,

где Jz - момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, на­

правленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и то-

2

чечной массы т имеем J 2 - т1 \

ф- угловая скорость вращения.

5.Частная производная кинетической энергии по обобщенной скоро-

сти — - = а ее производная по времени Эф6

d _ fdE ^ = У2ф. dt\d<$ ,

6. Кинетическая энергия Ек не зависит от обобщенной координаты ф, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате

дЕи

Эф

7. После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа

(4.14) получим

Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются ди­ намическим уравнением движения маятника.

Рассмотрим в качестве примера расчетную схему более сложного ме­ ханизма с тремя степенями подвижности, приведенную на рис. 4.6. Такая схема соответствует механизмам переносных движений роботов-манипу- ляторов, портальных кранов, ротационных стендов и т. п.

Платформа механизма совершает вращательное движение вокруг оси Z\ со скоростью ф . Каретка (ползун) массой т2 перемещается вдоль радиуса вращения платформы (оси X) со скоростью х . Груз (изделие) массой т 3 по­ ворачивается вокруг оси У (ось У направлена касательно к радиусу х враще­ ния каретки, проходит через центр ее масс т2) и отстоит на расстоянии / от оси вращения.

1. В число обобщенных координат механизма включим угол ф поворо­ та платформы против часовой стрелки, радиус х перемещения каретки от оси вращения платформы и угол а поворота ИП вокруг оси Х2 против часовой стрелки, т. е. q = [q} q2 <7з]т =[ф х а ]т

2. Будем полагать, что приведенный к валу платформы момент инер­ ции равен 7,, а массы т2 радиально перемещаемой каретки и w3 перемещае­ мого груза сосредоточены в их центрах масс.

движения ее центра масс ис2 состоит из переносного вращательного движе­ ния платформы и относительного движения каретки вдоль оси X ее линейно­ го перемещения, т. е.

а следовательно,

Ек2 = 0,5 т2х 2(р2 + 0,5 т2х 2 (4.27)

Груз также совершает сложное движение, и скорость движения его центра масс ос3 состоит из рассмотренного выше переносного сложного движения каретки и относительного движения груза вокруг оси Y. Применяя теорему о сложении скоростей точки к точечной массе /я3, получим

v23 = (* + / с0Б а)2ф2 + X2 + / 2d 2 - 2 /sinoti:d,

а следовательно,