Теория автоматического управления. Линейные системы управления

НоЛ р )

Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как W (р), т. е.

Очевидно, что полином (7.8) знаменателя передаточной функции замк­ нутой САУ можно представить в виде (7.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.

Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, что­ бы все полюсы передаточной функции (7.4) имели отрицательные действи­ тельные части или все корни ее характеристического уравнения (7.8) были

левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, сис­ тема неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система нахо­ дится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить ха­ рактер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.

7.2.Алгебраические критерии устойчивости

Калгебраическим критериям устойчивости линейных САУ относятся критерии А. Гурвица и Э. Рауса.

7.2.1. Критерий Гурвица

Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая харак­ теристическим уравнением «-го порядка

устойчива, если при a<f>0 положительны все диагональные определители (оп­ ределители Гурвица) Дь Д2, ..., Д„, т. е.

Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель Д„= 0, а все остальные определите­ ли положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1-4-го порядка. Раскрывая определители, фигурирующие i общей формулировке критерия, можно получить следующие условия:

1. Для уравнения первого порядка (п=1) а0Р + а\ = ® условие устойчи­

вости: Оо>0 и Ai=fl,>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и доста­ точно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были боль­ ше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (п=2) а0р 2 +ахр + аг = 0 условие

устойчивости:

Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие ус­ тойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (п=3) о0р + Q\P + а2р + а3 = 0 ус­

ловие устойчивости:

аи > 0, Д. = а, > 0,

При п=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения {аи а2) было больше про­

изведения крайних (оо, Дэ)- 4. Для уравнения четвертого порядка (я=4)

Д0Р4 + fl,p3 + а2Р2 + азР + = 0

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

Д3 = а,я2а3 “ аоаг ~ а\ аА > 0 •

Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица были положительными.

Запасом устойчивости САУ по алгебраическому критерию Гурвица считается некоторая величина а , при которой самый минимальный опреде­ литель Гурвица не должен быть меньше этой величины, т. е. при А, >0 minА, > а .

Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При л>4 целесообразно применять критерий Рауса.

7.2.2. Критерий Рауса

Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу

Формулировка критерия: САУ будет устойчивой, если будут положи­ тельны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а{), рас­ считываемые по выражению:

где / - номер строки,у - номер столбца.

Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то сис* тема неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Рассмотрим пример.

Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:

г31 = 'п - ( П |'и ) / '21 = 5 1 2 - (1024-128)/1024 =384; г32=ги ~ (гпг2з)^г21 =16-(1024-1/1024) = 15;

'зз = 'i4 ~(rnru )lr2, =0-(1024-0)/1024 = 0; Ли = г22-(Л>1г32)/гз, =128-(1024-15)/384 = 88;

'42 = '23 - ('21'зз)/ '31 = 1 - (1024 • 0/ 3,4)= 1;

г4з= 0; '51 = '32 - ('31'42)/ '41 = 15- (384 • 1/ 88) = 10,64;

'52 = 'ээ “ ( 'з |'4 з ) / г 41 = 0 - 3 8 4 ' 0/88 = ° ;

'53=

''б! = '42 - ('41Г52) / ' 5| = 1 - (88 • 0 7 1 °«6 4 ) = 1 •

Все коэффициенты первого столбца выражения (7.11) положительны, что означает - система устойчива.

Проверим полученный результат с помощью системы программирова­ ния Matlab, непосредственно вычислив корни характеристического уравне­

73. Частотные критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертогопятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают на­ глядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили час­ тотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характери­ стик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только опре­ делить устойчивость сисгемы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.

7.3.1. Критерий Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (7.9). Заменим в нем оператор р на уш. Тогда кривой Михайлова будет называться функция

вида

Re(co) = ап - а„_гш2 + а„^со4 -...

(7.16)

Im(to) = а„_,со- <v3£o3 + a„.s(os -...

Разложим D(jto) на множители

ао0“-hХ/ю- а*)•■-С/<»- *.-1хл®- О =о.

где Xj - корни данного уравнения, /=1.. .п.

Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корню А* на комплекс­ ной плоскости соответствует некоторая точка А,. Если соединить эту точку с

нулем, то можно говорить о векторе ОЛ, (рис. 7.3). Длина вектора равна мо­ дулю комплексного числа А* а угол, образуемый положительной действи­ тельной осью и вектором А.,, есть аргумент комплексного числа X,.

усо

Рис. 7.3. Размещение корня А.,

характеристическогоуравнения на комплексной плоскости

Рассмотрим, как будет вести себя вектор уш - А.,- при изменении часто­ ты от —оо до +оо. Считаем движение против часовой стрелки положительным.

Заметим, что OB = усо, a AtB - OB - OAi =у'со-Х| (см. рис. 7.3), Тогда для

корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты сое(-оо;+оо), вектор усо- А., описывает угол Ис. Для корней, нахо­

дящихся в правой полуплоскости, вектор усо-А., при изменении частоты со € ( - °о;+оо) опишет угол -л .

Будем полагать, что порядок системы равен л, причем т корней поло­ жительно. Тогда остальные п-т корней будут отрицательны. Суммарный

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все пра­ вые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит,

Выражения (7.19) и (7.20) представляют собой математическую фор­ мулировку критерия Михайлова.

Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплекс­ ной плоскости Re(co), Im(co) носит название годографа Михайлова. Для ус­ тойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до оо, начав свое движение с положительной полу­ оси, последовательно проходил п квадрантов комплексной плоскости, нигде

не обращаясь в ноль (рис. 7.4).

Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравне­ ний (7.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку веществен­ ная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом пооче­ редно.

Очевидно, что если годограф Михайлова не проходит последовательно

п квадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то

система неустойчива.

сводится к построению на комплексной плоскости вектора (годографа Найк­ виста), начало которого находится в точке (-1,у0), а конец скользит при из­ менении частоты от 0 до оо по АФЧХ разомкнутой системы Wp(j(b).

Аргумент частотной передаточной функции (7.21) при изменении час­

Рассмотрим три случая.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Тогда для устойчивости замкнутой системы в соответствие с (7.22) не­ обходимо, чтобы

Д arg<p(yo))= л— - я ~ = 0.

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение ар­ гумента функции ф(/со) при изменении частоты от 0 до оо составит ноль.

Критерий Найквиста для первого случая:

замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой сис­ темы не пересекает отрезок (-оо; -/), т.е. не охватывает критичедкую точку (- /; jO).

На рис. 7.5,а изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на 7 .5,6 - неустойчивой системы.

Рис. 7 5. Годографы Найквиста устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответ­ ствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, хотя бы один раз пересечет точку (-1 J0).

2. Разомкнутая система неустойчива, причем число ее правых кор равно т.

Замкнутая система устойчива, если изменение аргумента при измене­

ние частоты от 0 до оо представляется формулой: