Теория автоматического управления. Линейные системы управления

2.Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3.Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг ф^.

4.вычислить параметр к по выражению (10.10).

5.Найти частоту о)т , при которой ЛАЧХ корректирующего устройства

имеет усиление 101g/c, т. е. частоту, при которой ЛАЧХ скорректированной

6.Вычислить значения полюса а = (йт^1к и нуля Ь = а/к.

7.При использовании пассивного четырехполюсника скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления, введя последовательно с корректи­ рующим устройством усилительное звено с коэффициентом передачи к

8.Построить частотные характеристики скорректированной САУ, про­ верить полученные запасы по амплитуде и фазе.

Рассмотрим пример синтеза САУ с опережением по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют пе­

р(0,5 р+\)

Требуется, чтобы при линейном задающем воздействии X{t) относи­ тельная установившаяся динамическая ошибка составляла не более 5 %, а за­

пас по фазе составлял около 40° В соответствие с (4.8) и табл. 4.1 коэффициент передачи разомкнутой

Фазовая характеристика нескорректированной САУ

ф(о) = -90° - arctg(0,5co). (10.18) На рис. 10.7 диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена

сплошной полужирной линией.

Частота среза нескорректированной САУ сос = 6,2 рад/с, а значит, в со­ ответствие с (10.18) фазовый сдвиг ф(сос) = -90° - arctg(0,5 • 6,2)» -162°

\

Рис. 10.7. Дишрамма Боде САУ при коррекции с опережением по фазе

Таким образом, запас по фазе составляет 18° и требуется ввести кор­ ректирующее устройство, обеспечивающее опережение по фазе

Найдем кратность отношения полюса к нулю корректирующего уст­ ройства, воспользовавшись (10.10):

откуда к = 3.

Амплитудная характеристика корректирующего устройства на частоте <от имеет значение lOIgA = 101g3 « 4,8 дБ. Поскольку именно на столько по­

вышается коэффициент передачи скорректированной САУ (частота соот, со­ ответствующая <pm, должна совпадать с частотой среза скорректированной

САУ), то ©с= 8,4 рад/с. Отсюда д = comV£=14,5 рад/с, b = а / к = 4,85 рад/с.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

Если корректирующее устройство выполнено в виде пассивного четы­ рехполюсника, то его коэффициент передачи необходимо увеличить в к раз.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректирован­ ной САУ имеет вид

линии) приведена на рис. 10.7. Фаза передаточной функции (10.22) на часто­ те среза

Ф К ) = ~90° - arctg(0,5coc)-arctg((l/J4,5)coc)+ arctg((l/4,85)a>c) я -137° Тогда запас по фазе скорректированной САУ Дф(сос) = 180°-ф(сос)«43°, что отвечает исходным требованиям к

САУ

10.3.2. Коррекция с отставанием по фазе

Рассмотрим корректирующее устройство, выполненное на основе опе­ рационного усилителя (см. рис. 10.6) с передаточной функцией

_ Кку(Т[р + \ ) _ Кку(тр + 1)

где Кку = /?2 / R\, Т\ = R\C\, Т2 = RI C2, т = 7J, А = Г2 / Гь т. е. для реализации

отставания по фазе, как и для звена с опережением, должно выполняться ус­ ловие: k> 1.

Его частотную характеристику можно записать в виде

отставанием по фазе.

Поскольку по модулю нуль больше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек в области средних частот, т. е. при а <со < b . Фазо­

Отрицательный фазовый сдвиг имеет максимальное значение на часто­ те сош, определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т.е.

(10.26)

Чем больше кратность отношения нуля к полюсу, тем больше макси­ мальный отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим уст­ ройством и больше его дестабилизирующее действие. Компенсация такого отрицательного явления, т. е. увеличение запаса по фазе, обеспечивается корректирующим устройством за счет снижения коэффициента усиления на -201gA. При этом происходит снижение частоты среза и, тем самым, полосы пропускания скорректированной САУ, а значит, повышается помехозащи­ щенность системы.

Синтез корректирующего устройства с отставанием фазы выполняют в следующей последовательности:

1.Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректирован­ ной системе и вычислить необходимый коэффициент Кку корректирующего устройства. Построить диаграмму Боде нескорректированной системы.

2.Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3.Сдвигая ЛАЧХ влево, выбрать частоту среза скорректированной САУ ю'с < сос, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе.

4.Выбрать частоту излома (сопрягающую частоту) (пь, соответствую­ щую нулю корректирующего устройства, на декаду левее со'с.

5.Определить, на сколько необходимо уменьшить усиление скоррек­ тированной САУ на частоте ©[., чтобы ЛАЧХ с корректированной САУ на

этой частоте имела единичный коэффициент усиления (уровень 0 дБ).

6. Вычислить параметр к, учитывая, что корректирующее устройство на частоте ш'с вносит ослабление -20lgA.

7. Частоту излома со,, (сопрягающую частоту), соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее частоты среза «£..

Найти частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устрой­ ства, <оа = \/кт = (оь /к .

8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ? проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

Рассмотрим пример синтеза САУ с отставанием по фазе. Пусть сбъ&а управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют* пе­ редаточные функции (10.13), (10.14).

Будем полагать также, что к системе управления предъявляются те же требования, что и в предыдущем примере (относительная установившаяся динамическая ошибка - не более 5%, а запас по фазе - не менее 40*).

В соответствие с (5.8) и табл. 5.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости ( = 20 )„ а частотная передаточная функция будет иметь вид (10.17). Диаграмма Боде нескорректированной САУ будет такой же, что и в рассмотренном выше примере. На рис. 10.10 ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной САУ представ­ лены сплошными полужирными линиями.

Частота среза нескорректированной САУ юс = 6,2 рад/с, а значит,, в со­

ответствие с (10.18) фазовый сдвиг ср(сос) = -90° - arctg(0p-6,2) ~ -162х

Запас по фазе составляет 18° Введем корректирующее устройство с передаточной функцией, обеспечивающее отставание по фазе.

Сначала определим частоту среза ю'с, обеспечивающую фазовый сдвиг ЛАЧХ ср(со)« -130°, т. е. запас по фазе около 50° Частота среза е/с скоррек­ тированной САУ, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, составит около 1,5 рад/с, а коэффициент усиления системы умень­

лабление -201gк, получим 20 дБ = 201gА, откуда определим параметр к кор­ ректирующего устройства: А=10. Тогда частоты излома скорре!гшрова1Нной ЛАЧХ, соответствующие нулю и полюсу корректирующего устройства, со,, = сос/10 = 0,15 рад/с, соа = со6/Л:= 0,015 рад/с.

ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены на рис. 10Л0 пунктирными кривыми, а ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирной линией.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

/.(дБ )

Рис. 10.10. Диаграмма Боде САУ при коррекции с отставанием по фазе

Корректирующее устройство (10.23) реализуют на основе операцион­ ного усилителя (см. рис. 10.6) при Т2>Т\.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректирован­ ной САУ имеет вид

Тогда запас по фазе скорректированной САУ Аф(©с) = 180° -<р(сос)«48°, что отвечает исходным требованиям к

САУ.

В отличие от САУ, имеющих коррекцию с опережением по фазе, поло­ са пропускания и, соответственно, быстродействие систем, имеющих кор­ рекцию с отставанием по фазе, будет ниже, однако они менее подвержены влиянию внешних и внутренних шумов.

10.3.3. Коррекция введением интеграторов

Введение интеграторов в структуру устройства управления позволяет повысить точность системы в установившихся режимах за счет увеличения значений коэффициентов ошибок и повышения порядка астатизма САУ (см. раздел 4.2). В качестве регуляторов (корректирующих звеньев), обеспечи­ вающих повышение статической точности САУ, применяют интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интег­ рально-дифференциальный (ПИД) регулятор. Структура применяемого регу­ лятора зависит как от структуры объекта управления, так и от требований к точности САУ.

Рассмотрим пример коррекции САУ введением в структуру САУ1по­ следовательного с объектом корректирующего звена, содержащего интегра­ тор. Пусть передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид

Потребуем, чтобы при линейном задающем воздействии X(t) устано­ вившаяся динамическая ошибка отсутствовала, а при квадратичном во вре­ мени задающем воздействии составляла не более 2 %. Потребуем также, что­ бы запас по фазе составлял не менее 35°

Частотная передаточная функция нескорректированной САУ

уусо(0,05уш + 1)

Диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена на рис. 10.11 сплошными линиями.

В соответствие с (4.8), (4.9) и табл. 4.1 коэффициент ошибки по ско­ рости САУ будет равен нулю, а коэффициент ошибки по ускорению будет отвечать заданной точности, если структура скорректированной разомкнутой САУ будет содержать интегратор 2-го порядка, а коэффициент передачи ра­ зомкнутой САУ

Объект управления (10.29) содержит один интегратор. Введение дополнительного интегратора (корректирующего устройства) в структуру САУ приводит к увеличению фазового запаздывания и резкому снижению запаса устойчивости. В связи с этим зададимся пропорционально­ интегральной (ПИ) структурой корректирующего устройства, создающего опережение по фазе:

20 дБ/дек. Зададимся геометрическим характером расположения корней ха­ рактеристического полинома скорректированной САУ, отвечающим опти­ мальным фильтрам Баттерворта [1, 4], т. е. пусть корни (полюсы и нули) ра­ зомкнутой передаточной функции отличаются в 2 раза. Тогда сос = 10 рад/с,

Гку = 0,2 с.

Рис. 10.11. Диаграмма Боде САУ при коррекции

введением интегратора

Отсюда частотная передаточная функция скорректированной САУ

Диаграмма Боде скорректированной САУ приведена на рис. 10.11 пунктирными линиями, ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирными линиями.

Фаза частотной передаточной функции (10.33) на частоте среза, равной

10 рад/с, ср(сос) = -180° -arctg(0,05coc) + arctg(0,2coc) * -143°

Запас по фазе скорректированной САУ Д<р(сос) = 180° - ф(сос)«37°, что

отвечает исходным требованиям к качеству САУ

10.4. Синтез систем с подчиненным регулированием координат

Стуктурная схема многоконтурной САУ с подчиненным регулировани­ ем координат объекта управления приведена на рис. 10.12.

Основные положения принципа подчиненного регулирования координат изложены ниже.

1. Объект управления представляют в виде п последовательно соединенных простейших линейных динамических звеньев с одним-двумя доминирующими полюсами (интегральных, апериодических первоговторого порядка) - Woy X(р), W0yt2{p\ •••, ^оУ>п(р), где п - число контролируе­

мых переменных.

Рис. 10.12. Стуктурная схема многоконтурной системы с подчиненным регулированием координат объекта управления

2. В передаточную функцию младшего подобъекта управления ^ oy,i(p) включают фильтр с эквивалентной малой (некомпенсированной) постоянной времени контура Гц, определяющей такие важнейшие свойства системы управления, как быстродействие, точность и помехозащищенность.

3.Устройство управления представляют в виде п последовательно со­ единенных регуляторов класса “вход-выход”

4.Синтез САУ начинают с младшего (внутреннего) контура регулиро­ вания и заканчивают старшим (внешним) контуром, применяя единую типо­

вую методику (см. раздел 10.5).

5.Каждый синтезированный замкнутый контур регулирования аппрок­ симируют оптимальным звеном первого-второго порядка и после синтеза присоединяют к объекту управления последующего контура.

6.Ограничение координат объекта управления на допустимых уровнях осуществляют ограничением задающих воздействий соответствующих кон­

туров регулирования.

В многоконтурных электромеханических системах подчиненного ре­ гулирования координат наиболее распространены настройки отдельных кон­ туров на технический (модульный) и симметричный оптимум.

Настройка на технический оптимум.

При настройке контуров регулирования на технический оптимум (ТО) передаточные функции замкнутых контуров регулирования представляют в виде фильтров Баттерворта второго порядка:

где i=\,...,n.

Передаточная функция оптимального регулятора в этом случае имеет

2V W 'oy.iO ’)

Переходный процесс в младшем контуре регулирования представлен кривой 1, рис. 10.13. Время регулирования младшего контура составляет

около 8 Гц, в остальных контурах оно будет, как минимум, в 2'-1 раз больше, 1 = 2,...,«.

Рис. 10.13. Кривые оптимальных переходных процессов в САУ

Настройка на симметричный оптимум.

При настройке контуров регулирования многокоитурной САУ на сим­ метричный оптимум (СО) их передаточные функции представляют в виде оптимальных звеньев третьего порядка. Для этого передаточные функции замкнутых контуров регулирования, настроенных на ТО (см. выше), и соот­ ветствующих регуляторов умножают на изодромное звено вида

где i - номер синтезируемого контура регулирования, / = 1,.. .,л.

Такая настройка контуров регулирования обеспечивает астатизм пер­ вого порядка по задающим воздействиям (теоретически нулевую статиче­