Теория автоматического управления. Линейные системы управления

7. В результате подстановки (4.22) и (4.29) в векторное уравнение Ла­ гранжа (4.14) и последующих преобразований математическая модель стенда описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

2[w2JCJi:+^3(^ + ^cosa)(i:--/sinad)](pH-[J| + т2х2 + w3(x + /cosa)2]cp =

m3l2a - m 3l sina x - m 3/cosa(x- /sina)cp2 =

= M 3 - M cз - m3 g l cos a .

(4.30)

Уравнения в форме (4.30) обычно преобразуют к нормальной форме (4.15) Коши, разрешая их относительно обобщенных ускорений.

Как следует из (4.30), рассматриваемый механизм является нелиней­ ным объектом третьего порядка с перекрестными связями по обобщенным координатам и скоростям, однако при определенных условиях (раздел 4.5) он может быть аппроксимирован линейной моделью.

В гл. 5 приведены примеры составления динамических моделей элек­ тродвигателя постоянного тока в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, операторных уравнений, структурных схем, сигнальных графов, а в гл. 9 - в векторно-матричной форме.

Для решения уравнений динамики САУ целесообразно применение широко распространенных математических систем {Maple V R3...87, Matlab

5.0...7.0, MathCAD Pro {Premium, 11, 12), Mathematica 2...5 и др.). Прежде всего, пакеты символьной математики этих математических систем позво­ ляют преобразовать векторно-матричное описание (4.30) к нормальной фор­ ме Коши, исключив многочисленные рутинные преобразования. Кроме того, эти математические системы позволяют выполнить численное интегрирова­ ние систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также наглядно представить результаты вычислений в виде таблиц и графиков и решить целый перечень задач математического моделирования динамиче­ ских систем.

4.5. Линеаризация САУ

При анализе и синтезе САУ применяются математические модели (ММ), представляемые, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Большинство реальных ОУ в широком диапазоне изме­ нения их переменных являются нелинейными, однако, как показывает прак­

тика, в области достаточно малых отклонений координат (переменных) они могут быть аппроксимированы линейными ММ. Свойство линейности ММ ОУ позволяет при исследовании САУ воспользоваться преобразованием Ла­ пласа к ММ в форме ОДУ и свести интегрирование ОДУ к простым алгеб­ раическим преобразованиям. Кроме того, линейность преобразований и по­ лучаемых линейных подпространств координат лежит в основе векторно­ матричных моделей САУ и их исследования в пространстве состояний, т. е. во временной области. Последнее обстоятельство позволяет применить при синтезе и анализе САУ упоминаемые ранее компьютерные системы Matlab, MathCAD, Maple V, Mathematica и др., базирующиеся на матричных методах исследования линейных систем.

Любая линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и го­ могенности. Первое свойство означает, что произвольная сумма аддитивных воздействий X\(t) + х2(1) на входе САУ дает реакцию y\(t) + y2(t) на выходе САУ. Второе свойство предполагает выполнение условия масштабируемо­ сти, т. е. при изменении входного сигнала х х в к раз выходной сигнал у\ ли­ нейной САУ изменится соответственно в к раз.

Подавляющее большинство механических и электрических элементов САУ являются линейными в достаточно широком диапазоне изменения их переменных (координат) относительно стационарного режима, чего нельзя сказать о гидравлических, пневматических, термодинамических и иных эле­ ментах. Вместе с тем, даже такие элементы САУ можно линеаризовать при условии достаточно малых отклонений координат в окрестности точки ста­ ционарного режима (рабочей точки).

Любую непрерывную функцию у{х) в окрестности рабочей точки х = х0 можно разложить в ряд Тейлора

Рассмотрим простейший пример линеаризации модели идеального ма­ ятника как статического элемента САУ (см. рис. 4.4).

щего зависимость электромагнитного момента М двигателя постоянного то­ ка от тока якоря /я и магнитного потока Ф,

где Смконструктивная постоянная двигателя.

Уравнение (4.38) относится к классу нелинейных уравнений, посколь­ ку содержит произведение координат электродвигателя - магнитного потока и тока якоря. Линеаризуем (4.38) в окрестности рабочей точки М0(Ф0, /яо), соответствующей, например, номинальному режиму работы двигателя, т. е. При Мо —Мн, Фо~‘ ФН1*я0 *ян •

В этом уравнении Ф0 и /я0 предполагаются величинами постоянными, а следовательно, уравнение (4.40) относится к классу линейных (линеаризо­ ванных в рабочей точке) уравнений.

Если управление двигателем осуществляется одновременно по цепям якоря и магнитного потока (цепи возбуждения двигателя), то рабочая точка в процессе управления будет смещаться относительно начального (номиналь­ ного) режима, образуя семейство рабочих точек или рабочую траекторию. В этом случае при применении уравнения (4.40) говорят о линеаризации ис­ ходного нелинейного уравнения (4.38) вдоль рабочей траектории

-Мо ~ Сл,Фо i я0*

Помимо касательной линеаризации при исследовании нелинейных САУ в частотной области применяют метод гармонической линеаризации, а при исследовании стохастических САУ - стохастической линеаризации [5].

5. Структурные методы исследования линейных САУ

Исследование линейных динамических систем, математические моде­ ли которых представлены в форме обыкновенных дифференциальных урав­ нений, может быть упрощено, если вместо рассмотрения переменных, харак­ теризующих состояние системы во времени (оригиналов), рассматривать со­ ответствующие им изображения, получаемые на основе преобразования Ла­ пласа. Применение такого подхода позволяет заменить операции дифферен­ цирования и интегрирования более простыми арифметическими операциями умножения и деления изображения на оператор р и, тем самым, значительно облегчить исследование САУ. Преобразования Лапласа лежат в основе по­ лучения передаточных функций линейных динамических звеньев, объектов и систем управления. Они также являются основой составления и преобразо­ вания структурных схем - удобной и наглядной формой структурного опи­ сания и исследования динамических свойств линейных САУ.

5.1. Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы

Возможность линеаризации технических объектов и систем предостав­ ляет в распоряжение исследователей аппарат преобразования Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа (определение изображения) непре­ рывной функции времени^) имеет вид [1, 2]

При решении большинства практических задач применяются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основе выражения (5.1). В табл. 5.1 приведены некоторые наиболее важные соотношения непрерывной функции времени t и функции комплексной переменной р.

Как видим, переменную р в преобразовании Лапласа можно рассмат­ ривать как оператор дифференцирования при описании САУ во временной области, т. е.

cl

(5.3)

3)решение полученных алгебраических (операторных) уравнений от­ носительно выходной переменной;

4)получение оригинала выходной переменной как функции времени, используя обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразова­ ний (отдельно для каждого входного воздействия, если их несколько);

5)суммирование реакций при необходимости оценки влияния на сис­ тему одновременно нескольких входных воздействий (реализация принципа наложения, или, иначе, принципа суперпозиции линейных систем).

Преобразования Лапласа лежат в основе получения одной из основных характеристик линейных стационарных (с постоянными параметрами) сис­

тем - передаточной функции, описывающей динамическую связь перемен­ ных отдельных звеньев системы и системы в целом в терминах “входвыход”

Передаточная Функция W(p) линейной САУ - отношение преобразова­ ния Лапласа выходной переменной У(р) к преобразованию Лапласа входной переменной X(р) при условии, что все начальные условия (К(0), Г (0)...) сис­

взаимосвязи только се выходной и входной переменных и не несет никакой

а, , bj - постоянные коэффициенты, i =1,..., п - \ .

Тогда с учетом (5.3), (5.4) получим передаточную функцию системы

Если полином, стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы полу­ чим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома, стояще­ го в числителе, называют нулями системы. В полюсах передаточная функция (5.6) обращается в бесконечность, в нулях - в нуль. Расположение полюсов и нулей на комплексной /7-плоскости определяет характер собственного (сво­ бодного) движения системы. Выбор рационального расположения полюсов и нулей замкнутой системы за счет применения корректирующих звеньев - один из широко применяемых подходов к синтезу САУ (см. гл. 10).

причем входные воздействия могут оказывать влияние на несколько выход­ ных (управляемых) переменных. Такие системы называют многосвязными многомерными. Для их описания и исследования применяют не передаточ­ ные функции, а передаточные матрицы.

Пусть число управляемых величин равно и, число задающих воздейст­ вий т, а число возмущающих воздействий к. Совокупности выходных, за­ дающих и возмущающих переменных можно записать в виде соответствую­ щих векторов-столбцов X=coI(x,... х„), Z=col(z,... zm), F=coI(/i.../t). Уравне­ ние такой н-связной системы можно записать в векторно-матричной опера­

Первое слагаемое в (5.8) представляет собой реакцию системы на за­ дающие воздействия, второе - на возмущающие воздействия. Для получения оригинала выходной переменной как функции времени необходимо исполь­ зовать обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия) и просуммировать реакции при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий.

5.2. Типовые динамические звенья и структурные схемы САУ

Для наглядного представления структуры сложной динамической сис­ темы управления как совокупности элементов и связей между ними приме­ няют структурные схемы и графы. Структурные схемы, как и сигнальные графы, представляют собой графическое изображение структуры САУ. Эле­ менты структурной схемы САУ представляют в виде типовых динамических звеньев, характеризующихся однонаправленностью, одним входом и одним выходом, что позволяет применить для их описания аппарат передаточных функций. Если реальное динамическое звено не обладает однонаправленно­ стью, т. е. выход оказывает влияние на вход, то такой элемент представляют