Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfА, В, |
С матрицы состояния, управления, возмущения размерности |
п х п , п х т, |
n x d соответственно; |
Т- такт дискретного управления;
к-номер такта дискретного управления.
Задача синтеза формулируется следующим образом: необходимо для произвольных начальных значений Х(0), F(0) и постоянного на интервале пТ вектора возмущений F(/) сформировать дискретную управляющую после довательность (U к!), к~0, 1, ..., переводящую объект управления (11.18) в заданное конечное состояние X* за п тактов управления, где п - порядок ди намического объекта. Допущения при синтезе оптимального управления: вре мя измерения координат состояния и выработки (вычисления) координаты управления ничтожно мало в сравнении с тактом Т управления; длина разряд ной сетки ЭВМ и устройсгв связи с объектом управления позволяет пренеб речь квантованием непрерывных сигналов по уровню; значение периода управления Т предполагается априори выбранным исходя из ограничений ре сурсов управления. Приведенные допущения являются широко распростра ненными при синтезе дискретных систем управления объектами рассматри ваемого класса [3].
Представим искомую управляющую дискретную последовательность в виде линейной формы дискретных значений векторов состояния Х(кТ), за
дающих воздействий Х\кТ), |
вектора возмущения ¥(кТ) и вектора производ |
||
ных задающих воздействий |
X* (кТ) в виде |
|
|
ЩкТ) = аХ(*Г) + РХ* (кТ) + уF(кТ) + 6Х*(кТ). |
(11.19) |
||
В этом |
уравнении а, |
р, у, б - матрицы соответственно размерности |
|
mxn, тхт, |
mxd, т х т уопределение которых и является задачей синтеза. |
||
Предлагаемый подход основан на разных формах представления объ екта управления (в виде непрерывной модели) и устройства управления (в виде дискретной модели), причем структура устройства управления предпо лагается заданной не в виде дискретной передаточной функции, а в виде ли нейного дискретного регулятора состояния системы.
Векторная структурная схема такой дискретно-непрерывной системы
Рис. 11.6. Векторная структурная схема дискретно-непрерывной САУ
Пунктирными линиями на схеме выделены объект управления (ОУ) и устройство управления (УУ) - дискретный регулятор состояния. Дискрети зация вектора управления и, соответственно, всех аддитивных воздействий осуществляется в моменты времени кТ (к = 0, 1, 2, ...) методом интерполяции нулевого порядка. Экстраполятор (фиксатор) нулевого порядка обозначен на схеме аббревиатурой ЭНП. Простейшая аппаратная реализация векторно го ЭНП - m устройств выборки-хранения, имеющих общий квантователь сигналов в моменты времени кТ (т - размерность вектора управления). При микропроцессорной реализации дискретного регулятора состояния ЭНП - совокупность регистров памяти с перезаписью информации с тактом Т управления.
Заметим, что линейность моделей (11.18) объекта управления и ре гулятора (11.19) состояния объекта управления позволяет при синтезе САУ применить принцип суперпозиции управляемых динамических про цессов. Проведем декомпозицию управляющей дискретной последователь ности и динамических процессов в системе на две составляющие - управ ляемый свободный процесс и управляемый вынужденный процесс. В соот ветствие с этим в процедуре синтеза выделим два этапа - синтез свободного и синтез вынужденного движений.
Синтез свободного движения САУ
Управляемый свободный процесс в системе определяется парой матриц А, В объекта управления и матрицей а регулятора состояния, призванной обеспечивать оптимальность переходных свободных движений при произвольных начальных значениях вектора состояния Х(0). На пер вом этапе синтеза будем полагать равными нулю все внешние аддитивные воздействия Х*(/), Х*(/), F(/). Тогда управление свободным движением
примет вид |
|
ЩкТ) =аХ(кТ). |
(11.20) |
Для нахождения матрицы а |
воспользуемся теоремой об п интервалах |
дискретного управления в сочетании с принципом оптимальности Веллмана [5]. Не снижая общности выкладок, будем полагать, что оптимальное сво бодное движение системы завершается через п тактов дискретного управле
ния в нулевой точке пространства состояний |
Х(я) = 0. Сформируем расши |
ренный вектор-столбец состояния |
|
V(0 = col[X(0,U(A7)] |
(11.21) |
и перепишем уравнение для случая управляемого свободного движения в виде
V(0 = DV(/), |
(11.22) |
где D - матрица управляемого состояния размерности ( я + а и ) х ( я + ш ) ,
V |
А |
в |
(11.23) |
|
О |
о |
|||
|
||||
Зададимся некоторой произвольной дискретной управляющей после- |
||||
доватеД^ностью ^(£7), А; = -1, -2, , -п и рассмотрим движение системы в |
||||
обратной времени, т. е. примем конечное нулевое состояние системы за на |
||||
чально^ Проинтегрируем уравнение (11.22) при нулевых |
начальных усло |
виях Х(0) = О, воспользовавшись аппаратом переходных |
матриц состояния, |
подучи^ векторное дискретное уравнение состояния |
|
у(кТ) = ф -1{Ъ,Т)У((к + 1)Т), * = - 1 ,-2 ,...,- и |
(11.24) |
где Ф '‘(В,7’) - расширенная обратная матрица перехода.
Сформируем матрицы дискретного управления W размерности
(тхп) и дискретного состояния G размерности (пхп) ъ виде |
|
|
V/ = [ U(-7) |
U(-27) ... U(-*7) ], |
(11.25) |
G = [ X(-7) |
X(-27) ... X(-nT) ]. |
(10.26) |
Поскольку не наложены какие-либо ограничения на множества управ |
||
л я ю щ и й воздействий и дискретные состояния системы, а также, по опреде лению, система находилась в нулевом начальном состоянии, очевидно, что ее движение в обратном (по отношению к принятому при синтезе) направ лении будет носить оптимальный по быстродействию апериодический ха
рактерСледовательно, с учетом выражения (11.20) искомую |
матрицу а |
|
можно найти в виде |
|
|
ci = W G-1 |
(11.27) |
|
Решение векторно-матричного уравнения (11.27) будет единственным |
при |
|
полном ранге матрицы G, т. е. если rank(G) = п. |
|
|
Синтез вынужденного САУ |
|
|
На втором этапе синтеза определим матрицы р, у , б, входящие в |
вы |
|
ражение (10.19), для чего рассмотрим вынужденное движение системы. Представим вектор-столбец установившихся состояний САУ в виде
X=col(Xj, Х2), |
(11.28) |
где XL - подвектор размерности тх 1, определяющий заданное |
устано |
вившееся состояние системы, т. е. Xj =Х* |
|
X2 —подвектор размерности (/7-m)xl, включающий в себя остальные
координаты состояния системы управления.
Соответствующую матрицу установившихся состояний представим в
виде блочной матрицы |
|
А = [А, А2]. |
(11-29) |
где А,, А 2 - подматрицы соответственно размерности п х т, п х ( п ~т) .
Представим все аддитивные воздействия на систему в виде обобщен
ного вектора-столбца размерности (2m+d)x\ задающих и |
возмущающих |
|||||
воздействий |
|
|
|
|
|
|
Z = c o l(X \ Х \ |
F) |
|
|
(11.30) |
||
и зададимся |
численными значениями его 2т + d |
компонент 2т + d раз, из |
||||
которых сформируем |
неособую матрицу Q аддитивных воздействий раз |
|||||
мерностью (2m+d)x(2m+d) в виде |
|
|
|
|||
Q = [Z(1) |
Z(2) |
Z(2m + d)]. |
|
|
(ll.?l) |
|
Тогда, |
с |
учетом введенных |
обозначений (11.19)—(11.30), уравнение |
|||
(11.18) для |
|
квазиустановившихся |
состояний |
системы |
(X(0 = const, |
|
X, (/) = const) можно переписать в виде
Х2(1) |
:х 2(2) |
; х 2(2m + d) |
- C ] Q .(11.32) |
U (l) |
U(2) |
= [А2 вП * - A I |
|
U(2m + d) |
|
||
Подставим векторы |
X 2(/), U(/), / = l,...,2m + rf, установившихся со |
||
стояний в уравнение (11.19) и выразим искомую блочную матрицу |
|||
[s :р |
Y]= \ [ W ) |
V)(2m+d)]-a ’X*(l)': ...\TC(2m+dj |
Q~' (11.33) |
|
|
_X2P)\..::X2(2m+d) |
|
Матрицы 6, P, у определяются однозначно при полном ранге матрицы Q, что легко обеспечить соответствующим заданием значений аддитивных воздействий либо формированием заведомо невырожденных матриц размер ности (2m+d)x(2m+d).
Таким образом, результирующее дискретное управление в форме (11.19) представляет собой цифровой регулятор состояния, обеспечивающий комбинированное апериодическое управление по отклонению выходной ко ординаты от заданного значения и по возмущающим воздействиям, а также астатизм первого порядка по задающим воздействиям.
Библиографический список
1.Ерофеев, А.А. Теория автоматического управления : учеб, для вузов /
A.А. Ерофеев. - СПб.: Политехника, 2001. - 295 с.
2.Анхимюк, В.Л. Теория автоматического управления : учеб, пособие для вузов / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев. - Минск: Дизайн ПРО, 2000.-351 с.
3.Ротач, В.Я. Теория автоматического управления : учеб, для вузов /
B.Я. Ротач. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. - 574 с.
4.Методы классической и современной теории автоматического управ ления : учеб.: в 3 т. / под ред. Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ, 2000. - Т. 3. -748 с.
5. Теория автоматического управления учеб, для вузов/ В.Н. Брю ханов [и др.]. - М.: Высш. шк., 2000. - 268 с.
6.Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - СПб.: Профессия, 2003 - 768 с.
7.Воронов, А.А. Основы теории автоматического управления: Автома тическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. - 2-е изд., перераб. - М.: Энергия, 1980. - 312 с.
8. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления /
Б.Куо. - М.: Машиностроение, 1986. - 448 с.
9.Дорф, Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп; пер. с англ. Б. И. Копылова. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.
10.Олссон, Г. Цифровые системы автоматизации и управления / Г. Олссон, Дж. Пиани. - СПб.: Невский Диалект, 2003. - 557 с.
11.Андриевский, Б.Р. Избранные главы теории автоматического управ ления с примерами на языке MATLAB : учеб, для вузов / Б.Р. Андриевский,
А.Л. Фрадков. СПб.: Наука, 1999.
12. Потемкин, В.Г. Система MATLAB: справоч. пособие/ В.Г. По темкин. - М.: Диалог-МИФИ, 1997. - 350 с.
Учебное издание
Казанцев Владимир Петрович
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Линейные системы управления
Учебное пособие
Корректор Г.Я. Шилоносова
Подписано в печать 05.04.07. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 10,5. Тираж 100 экз.
Набор компьютерный Заказ № 62/2007.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.