Теория автоматического управления. Линейные системы управления

Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (9.4), (9.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде;

Х(0 = К (0 *2(01 = 0.(0 ©(01; и(0 = “1(0 = У. ( 0 ;

F(0 = /i( 0 = M c(t).

По уравнениям (9.7) найдем матрицы состояния, управления и возму­ щения:

По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ)

можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе Matlab имеется две функции: функция tf и функция ss.

Пусть ВМУ системы имеет вид (9.3), (9.5). Применительно к системе Matlab ВМУ записывают в виде

Для получения ВМУ в системе Matlab необходимо определить функ­ цию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо запи­ сать

»sys_ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;

»sysjf=tf(sys_ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы;

адля обратного преобразования записать

»sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

»sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы. Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид

fV(p) = у(р)________ 0,4

и(р) р ъ + 2р 2 + р + 0,6

Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преоб­ разования ВМУ к ПФ:

»пшп=[0.4];

»den=[l 2 1 0.6];

>> sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

»sys__ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы;

а =

Ь =

и1

х1 0.25 х2 О

» sys_tfHf(sys_ss) % Преобразование ВМУ к ПФ системы Transfer function:

0.4

sA3 + 2 sA2 + s + 0.6

9.2. Схемы пространства состояний

Для графического отображения САУ, модель которых представлена в векторно-матричной форме, служат схемы пространства ее состояний. Эти схемы являются аналогом структурных схем систем (см. гл. 5), описание ко­ торых дано в операторной форме. Вместе с тем, принципиальным отличием схем пространства состояний от структурных схем является использование в них только идеальных интегрирующих и безынерционных (масштабирую­ щих) звеньев, а также суммирующих звеньев.

Обобщенная схема пространства состояния непрерывной линейной САУ, отвечающей векторно-матричному уравнению (9.4), приведена на рис. 9.1.

Применение идеальных интеграторов на схемах пространства состоя­ ний обусловлено, во-первых, широко распространенной нормальной формой представления дифференциальных уравнений систем (формой Коши), а вовторых, удобством моделирования САУ с применением как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин.

Рис. 9.1. Обобщенная схема просгранства состояния САУ

Кроме того, в условиях множественности выбора переменных состоя­ ния системы такой подход предполагает естественным в качестве координат состояния (компонент вектора состояния) принять выходные сигналы инте­ граторов.

Для составления схем переменных (пространства) состояния САУ применяют приемы непосредственного (прямого), последовательного и па­ раллельного программирования [2, 4]. Очевидно, что множественность вари­ антов преобразований структурных схем при этом влечет за собой и множе­ ственность схем пространства состояний одной и той же САУ.

В качестве примера рассмотрим составление схемы переменных со­ стояния электропривода постоянного тока, математическая модель которого представлена в виде (5.14), используя прием непосредственного программи­ рования. Схема переменных состояния приведена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Схема переменных состояния электродвигателя

к п

Заметим, что схема пространства состояния электродвигателя (см. рис. 9.2) выглядит сложнее его структурной схемы (см. рис. 5.5), однако миними-

зация числа типовых звеньев (интегрирующих, масштабирующих и сумми­ рующих) упрощает исследование динамических свойств САУ с применени­ ем аналоговых и цифровых вычислительных машин, а также широко распро­ страненных математических систем программирования и их векторно­ матричных пакетов расширения [2, 3, 5].

9.3.Понятие матрицы перехода (переходных состояний)

иее применение для исследования САУ

Конечной целью исследования любой технической системы управле­ ния является определение соответствия ее заданным критериям качества управления. Эта задача в концепции современной теории управления решаегся путем расчета векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной САУ

Если известно в момент времени / = 0 начальное состояние Х(0) объек­ та управления и вектор управляющих воздействий U(0), то уравнение дви­ жения системы во времени t (здесь и далее полагается, что возмущения F(г), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [4, 5]:

ному выражению (4.11), описывающему свободное движение одномерной системы. Второе слагаемое в (9.11) отражает вынужденное движение много­ мерной линейной САУ, и оно аналогично выражению (4.10), описывающему вынужденное движение одномерной системы.

Матрицу Ф(/), определяющую динамические процессы в системе, на­ зывают переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Су­ ществует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описа­ нии САУ как во временной области (в форме дифференциальных или век­ торно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного р (в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для

определения матрицы перехода во временной области используют матрич­ ную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограничен­ ным числом к(к<со) членов ряда [1-5]:

где Е - единичная матрица, ! - знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения (9.3) можно получить и в об­ ласти комплексного переменного р, применив к (9.3) преобразование Лап­ ласа:

т.е. Ф(р) = [рЕ - А ]'1

Вчастности, для свободного движения системы под действием нену­ левого начального состояния Х(0) можно записать

В инженерной практике для нахождения переходной матрицы Ф(г)

состояния многомерных САУ применяют системы программирования, упо­ мянутые в разделе 5.4. Они базируются на численных методах решения уравнения (9.12) для заданного времени t = T перехода системы из некоторо­ го начального состояния в последующее, отстоящее на время Г, состояние.

В системе программирования МайаЪ 6.5 для расчета переходной мат­ рицы состояния используется функция ЕХРМ(А), где А - матрица состояния системы. В системе программирования MathCAD 11 необходимо записать оператор

20 (А ’Т)к Ф(А, Т, п) := \dentity(n) + £ --------- ,

к=1 к\

где п - порядок системы,

identity(ri) - встроенная функция формирования единичной матрицы размерности пхп.

Число членов разложения ряда под знаком суммы принято двадцать. Это очень высокая, может быть и неоправданная, точность вычисления мат­ рицы перехода, однако это позволяет получить своего рода эталонное реше­ ние уравнений динамики системы.

В качестве примера рассмотрим нахождение матрицы перехода для рассматриваемого ранее объекта управления - электродвигателя постоянно­ го тока, регулируемого по цепи якоря с помощью реверсивного преобразова­ теля.

Пусть векторно-маТричная модель объекта управления задана уравне­ ниями (9.4), (9.8), (9.9).

Зададимся численными значениями параметров электродвигателя:

9.5. Управляемость и наблюдаемость САУ

Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого опти­ мальное управление И(/) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор со­ стояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптималь­ ной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.

Линейная стационарная система управления (9.3) является управляе­ мой, если существует такое управление U(0 размерности т х 1, которое мо­ жет перевести систему из произвольного начального состояния Х(0) в задан­ ное конечное состояние Х(/). Это условие записывается в виде

где II - гиперматрица управляемости порядка л х пт.

Условие (9.18) означает, что система (9.3) будет полностью управляе­ мой, если ранг гиперматрицы Н равен л, т. е. матрица управляемости содер­ жит п независимых векторов-столбцов, а следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(0=м(Г), то гиперматрица Н будет представлять собой квадратную матрицу порядка

п х п .

Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы - он должен иметь пути от управляющего воздействия к каж­ дой из переменных состояния.

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией

Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приве­ денный на рис. 9.6.

Видно, что существуют пути от управляющего воздействия и ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.

Для объекта (9.19) можно записать матричное дифференциальное урав­

где X - вектор состояния системы, X = [*, х2 х3J , п = 3.