Теория автоматического управления. Линейные системы управления

Наблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнально­ го графа системы - он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.

Для объекта (9.19) выходной переменной является координатаy (t\ рав­

ная переменной Х\(Г), а следовательно, матрица К имеет вид:

К = [l о о].

Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:

Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной у(/). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следу­ ет, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной перемен­ ной, а значит, система полностью наблюдаема.

10. Синтез линейных непрерывны х САУ

10.L Общая постановка задачи синтеза

Под синтезом САУ понимают нахождение ее структуры и параметров, обеспечивающих заданное качество управления при известных входных воз­ действиях.

Понятие качества САУ, как уже отмечалось, связано с прямыми или косвенными количественными оценками качества функционирования систе­ мы во временной или частотной области (временем регулирования, перере­ гулированием, полосой пропускания, запасами устойчивости по амплитуде и фазе, интегральными квадратичными критериями качества и др.).

На практике задачу синтеза начинают с того, что задают структуру и параметры неизменяемой части САУ. К неизменяемой части САУ относят объект управления, включающий все технические средства, преобразующие управляющее воздействие в выходную координату (силовые преобразовате­ ли энергии, приводы, передаточные механизмы, управляющие органы и др.), а также датчики измеряемых координат, устройства преобразования и пере­ дачи информации от объекта к устройству управления.

На предварительном этапе синтеза выбирают элементы объекта управ­ ления из числа типовых (серийно выпускаемых) изделий, основываясь на основных условиях его функционирования (временных диаграммах, средних или предельных значениях мощности, момента, скорости, ускорения и т. п.).

Далее составляется математическая модель объекта управления в той или иной форме, причем учитываются лишь его доминирующие свойства. Если порядок линейного (линеаризованного) объекта управления превышает трех-пяти, его целесообразно разбить на ряд подобъектов или описать упро­ щенной моделью. При этом используют известные методы декомпозиции сложных объектов, разделения движения объекта на медленные и быстрые движения, методы подобия, эквивалентирования и т. п. Следует отметить, что большинство технических объектов хорошо изучено и их математиче­ ские модели с разной степенью детализации приведены в научнотехнической литературе [4, 5].

После определения неизменяемой части объекта управления переходят к синтезу структуры и параметров устройства управления. При этом исполь­ зуют несколько подходов.

Первый подход базируется на задании конкретной структуры устрой­ ства управления (структуры регулятора или корректирующего устройства - в случае одноконтурной системы). Как правило, задаются типовыми регулято­ рами класса “вход-выход” (например, пропорционально-интегральными) или простейшими корректирующими звеньями (например, реальными пропор- ционально-дифференцирующими). Корректирующие звенья обычно разме­

щают последовательно с объектом управления (в прямом канале регулирова­ ния), однако в ряде случаев хороший эффект дает установка их в канале об­ ратной связи или на входе системы. Качество системы управления задают в виде требований к статической точности и оценок качества переходного процесса или частотных свойств САУ (см. гл. 8). Далее решается задача рас­ чета параметров устройства управления (параметрического синтеза), удовле­ творяющего требованиям к статике и динамике замкнутой САУ

Второй подход основывается на составлении структурной схемы сис­ темы управления без задания собственно структуры регуляторов: выбирается число контуров регулирования, их соподчиненность, расположение регуля­ торов в структуре устройства управления и др. В основе подхода избранные принципы управления и требования к статическим и динамическим показа­ телям системы. В частности, при синтезе систем управления роботами часто используют кинематическую развязку движений и принцип автономного управления координатами линейных и угловых перемещений схвата мани­ пулятора. При синтезе систем управления электроприводами доминирует принцип подчиненного регулирования координат (вложенных друг в друга контуров регулирования) и принцип последовательной коррекции динамиче­ ских свойств контуров. Таким образом, при таком подходе последовательно решаются задачи структурного и параметрического синтеза регуляторов.

Третий подход основан на синтезе оптимальных САУ в смысле задан­ ного критерия качества управления при заданных ограничениях на ресурсы управления. При таком подходе задается формальный критерий качества, например, интегральная квадратичная оценка (ИКО) и решается задача его минимизации или максимизации. Результат синтеза - структура и параметры устройства управления (регулятора - в одноконтурных системах), удовле­ творяющих требуемому критерию качества управления. Этот подход приме­ няется при синтезе САУ методом аналитического конструирования опти­ мальных регуляторов (АКОР), синтезе модальных регуляторов состояния, апериодических регуляторов состояния и т. п.

Системы управления, синтезированные на основе двух первых под­ ходов, часто называют системами со стабилизируемыми показателями ка­ чества управления. Системы управления, синтезированные на основе третьего подхода, называют системами с оптимизируемым показателем ка­ чества управления.

10.2. Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы (корректирующие звенья) класса “вход-выход”

В качестве регуляторов технических систем управления применяются электронные, механические, гидравлические, электропневматические и дру­ гие регуляторы с той или иной динамической характеристикой, позволяю­

щей скорректировать динамику замкнутой САУ. Независимо от технологического назначения регуляторов (регуляторы скорости, положения рабочего органа, давления, расхода, температуры и т. п.) все они подразделяются на 2 больших класса: параметрические регуляторы класса ‘Ъход-выход” и регу­

ляторы состояния САУ.

В данном разделе рассматриваются типовые регуляторы 1-го класса. На функциональных схемах систем управления они обозначаются в виде элементов, отражающих их переходные характеристики, на структурных схемах - в виде динамических звеньев, отражающих их передаточные функ­ ции. В качестве примера на рис. 10.1 приведена функциональная и структур­ ная схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора.

Рис. 10.1. Функциональная (а) и структурная (б) схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора

Регуляторы класса “вход-выход” можно представить в виде усилитель­ ного звена - операционного усилителя (Л1), с двумя комплексными сопро­ тивлениями ZBXво входной цепи и в цепи обратной связи операционного усилителя (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Регулятор класса “вход-выход”

на основе операционного усилителя

Математическую модель таких регуляторов чаще всего представляют либо в виде передаточной функции (структурной схемы), либо в виде диф­ ференциальных уравнений (переходной функции). Входной сигнал ЦЛУпред­ ставляет собой разность между задающим сигналом и сигналом обратной —вязи п0 регулируемой координате и пропорционален ошибке регулирова­ ния. Алгебраическое суммирование этих сигналов осуществляется на ин­ версном входе усилителя, а следовательно, выходной сигнал ЦйЫ операци­ онного усилителя будет противоположного знака.

Пренебрегая инверсией знака выходного сигнала регулятора, запишем его передаточную функцию:

Вкачестве комплексных сопротивлений ZBXи Z0 обычно применяют различные /?С-цепи, что позволяет получить регуляторы (корректирующие устройства) с различными структурами.

Втабл. 10.1 приведены принципиальные схемы, передаточные функ­ ции и переходные характеристики регуляторов класса “вход-выход” с типо­ выми структурами: пропорциональной (П), интегральной (И), дифференци­ альной (Д), пропорционально-интегральной (ПИ) и пропорционально- интегрально-дифференциальной (ГШД).

Помимо приведенных в табл. 10.1 регуляторов при построении систем управления применяют также пропорционально-дифференциальный (ПД)

регулятор, интегрально-интегрально-пропорциональный (И2П) регулятор и

ДР-

Передаточные функции ПИ- и ПИД-регуляторов часто представляют в виде изодромных звеньев соответственного 1-го и 2-го порядка:

ТиР

передаточная функция ПИДрегулятора,

где Гиз1, Тт2 - постоянные времени изодромного звена, Гиз1 = RQC0)

Т^2= Ru*CBX(см. принципиальную схему ПИД-регулятора, табл. 10.1).

ПИ-регулятор в компенсационных системах управления обеспечивает компенсацию одной большой постоянной времени объекта управления, а ПИД-регулятор - двух больших постоянных времени, осуществляется тем самым форсирование динамических процессов и улучшение динамики САУ.

Следует отметить, что на практике применяются более сложные схемы регуляторов, обеспечивающие ограничение полосы пропускания частот входного сигнала. Это осуществляется цепями внутренней или внешней кор­ рекции частотной характеристики операционных усилителей. Реальная по­ лоса пропускания даже пропорциональных регуляторов ограничивается сот­ нями герц или единицами килогерц. При этом дифференциальные регулято­ ры реализуют реальное дифференцирование входного сигнала, что позволяет повысить помехозащищенность системы управления.

Таблица 10.1

I

Типовые регуляторы класса “вход-выход”

10.3.Последовательная коррекция САУ частотными методами

Качество замкнутой САУ можно оценить по ее частотным характери­ стикам, таким как полоса пропускания, запас устойчивости по фазе, резо­ нансная частота и др. Чтобы удовлетворить заданным требованиям к качест­ ву системы, в нее вводят корректирующее устройство. Для его синтеза при­ меняют частотные характеристики в форме диаграммы Боде, диаграммы Никольса или корневой годограф [4]. При последовательной коррекции (наибо­ лее распространенный в практических приложениях случай) предпочтитель­ ным является применение диаграммы Боде, т. к. в этом случае частотная ха­ рактеристика скорректированной системы получается просто суммировани­ ем частотных характеристик исходной (нескорректированной) системы и корректирующего устройства (см. подраздел 8.2.3).

Рассмотрим корректирующее устройство с передаточной функцией (10.4). Его частотную характеристику можно записать в виде

__ /С(усо + b) _ (Kb/a)[j(($ /b) + 1] _ ^ку[у(^> kt) +1]

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: К, а, Ь или ККу, т , к.

Заметим, что коэффициент К совместно с коэффициентом передачи объекта управления определяет статическую точность системы, т. е. величи­ ну статической ошибки регулирования (см. выражения (4.6)-(4.9) и табл 4.1).

Коэффициент к определяет кратность отношения полюса к нулю кор­ ректирующего устройства. При к >1 корректирующее устройство будет об­ ладать опережением по фазе, при к <1 - отставанием по фазе.

10.3.1. Коррекция с опережением по фазе

На рис. 10.3 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.4 - диаграмма Боде корректирующего устройства (10.4) с опережением по фазе.

Поскольку по модулю нуль меньше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон +20 дБ/дек в области средних частот, т.е. при Ь < со < а . Фазо­

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте со,,,, опреде­ ляемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т. е.

(10.9)

/„, дБ

Значение максимального фазового сдвига можно рассчитать по форму­

ле [4]

Заметим, что чем далее отстоит полюс от нуля, т. е. чем больше к, тем больше максимальное значение фазового сдвига, однако практически одно пассивное корректирующее звено с опережением позволяет получить ц>т не

более 70° Это связано, прежде всего, с возможностями практической реали­ зации таких корректирующих звеньев. На рис. 10.5 приведена схема пассив­ ного четырехполюсника, обеспечивающего опережение по фазе.

Заметим, что выражение (10.11) совпадает с (10.7) с точностью до ко­ эффициента передачи. Практически реализуемое значение к находится в диапазоне 1.. .30, причем увеличение к, т. е. кратности отношения полюса к нулю, приводит к снижению коэффициента передачи четырехполюсника, что может потребовать установки дополнительного усилителя на выходе корректирующего устройства.

Гораздо большие возможности коррекции динамических свойств САУ предоставляют активные четырехполюсники на основе операционных уси­ лителей в интегральном исполнении. Это связано с тем, что коэффициент передачи современных операционных усилителей в разомкнутом состоянии достигает нескольких сотен тысяч и даже миллионов, а в линейной зоне ра­ боты, т. е. в режиме масштабирующего звена, может достигать сотен-тысяч. Принципиальная схема корректирующего звена 1-го порядка, обеспечиваю­ щего практически любой коэффициент передачи, а также реализующего ли­ бо опережение, либо отставание по фазе, приведена на рис. 10.6.

С,

Передаточная функция этого корректирующего звена полностью сов­

нием по фазе, однако в отличие от него имеется возможность выбора незави­ симых друг от друга параметров т , к и К ^ причем практически в неограни­ ченных пределах.

Синтез корректирующего устройства с опережением фазы выполняют

вследующей последовательности:

1.Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректирован­ ной системе и вычислить необходимый коэффициент ККу корректирующего устройства.