Теория автоматического управления. Линейные системы управления

где т - табличное время, связанное с истинным временем соотношением

т= й оо*; Лх(т) - табулированная функция (Л-функция), определяемая по специальным

таблицам [1, 2] в зависимости от %и т;

8.2.3. Оценка качества по ЛАЧХ разомкнутой САУ

Оценка качества замкнутой системы по ЛАЧХ разомкнутой системы производится путем сопоставления ее фактической ЛАЧХ с так называемой желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, при которой обеспечиваются пере­ ходные процессы в системе, близкие к оптимальным. При построении такой желаемой ЛАЧХ руководствуются следующими соображениями:

1)участок низких частот ЛАЧХ определяет допустимую установив­ шуюся ошибку в системе, а следовательно, ее коэффициент передачи в ра­ зомкнутом состоянии и порядок астатизма;

2)участок средних частот определяет запас устойчивости системы (на этом участке расположена частота среза ЛАЧХ);

3)высокочастотный участок определяет начало переходного процесса

имало влияет на показатели качества системы.

На рис. 8.8 приведен примерный вид желаемых ЛАЧХ и ЛФЧХ ра­ зомкнутой системы (желаемой диаграммы Боде).

Если система статическая, то на участке низких частот ЛАЧХ должна идти параллельно оси абсцисс и иметь ординату 201g&. Коэффициент переда­ чи разомкнутой системы определяется из выражения (4.3) с учетом допусти­ мой установившейся ошибки регулирования при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.

Если система должна иметь астатизм 1-го порядка, то на участке низ­ ких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -20 дБ/дек (см. полужирную пунк­ тирную линию на рис. 8.8). Если порядок астатизма должен быть выше, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -40 дБ/дек или даже -60 дБ/дек (см. полужирную штрихпунктирную линию на рис. 8.8). При © = =1 ЛАЧХ должна проходить через точку с ординатой 201g£ как статической, так и астатической систем.

Частота среза участка средних частот выбирается с учетом заданных времени регулирования /р и перерегулирования о %. Между временем регу­ лирования и частотой среза имеется следующая приближенная зависимость:

(8.13)

р

где Р - коэффициент, зависящий от перерегулирования а % (рис. 8.9) [1].

Р

3

Система имеет наиболее благоприятный переходный процесс при на­ клоне ЛАЧХ -20 дБ/дек в интервале частот сок1 < о с < соК2.

Имеется несколько рекомендаций по выбору сопрягающих частот шК1и

^к2 [1> •

Интервалы частот между частотой среза шс и coKi , со^ рекомендуют вы­ бирать равными (0,5...0,9) дек [1].

Эти интервалы частот также можно выбирать по значениям ЛАЧХ на частотах соК| и со^.

Значение L\ ЛАЧХ в начале этого интервала соК| выбирают из условия, чтобы значение ЛФЧХ (см. рис. 8.8) на этой частоте было не менее ф|=40° При этом значение ЛФЧХ при частоте среза сос должно быть равно требуе­ мому запасу устойчивости по фазе ф (сос) =■у = 30.. .45°.

Значение L2 ЛАЧХ в конце интервала 0)к2 выбирают равным требуемо­ му запасу устойчивости системы по модулю в децибелах L2= Ю...20 дБ. Ино­ гда запас устойчивости системы по модулю рекомендуют выбирать в зави­ симости от допустимого перерегулирования в системе по графику, приве­ денному на рис. 8.10 [1].

Рис. 8.10. Приближенная зависимость

Li =Ла%)

С учетом изложенного рекомендуется следующий порядок построения желаемой ЛАЧХ:

1) с учетом требуемой статической ошибки регулирования выбирается коэффициент передачи разомкнутой системы к или порядок астатизма; через точку (201gA, 1) проводится участок низкочастотной ЛАЧХ с нулевым накло­ ном к оси абсцисс (для статической системы) или с наклоном -20 дБ/дек, -40 дБ/дек или -60 дБ/дек (для астатической системы 1-, 2- или 3-го порядка);

2)исходя из требуемого времени регулирования tp, по формуле (8.13) определяется частота среза сос;

3)через точку (0, сос) проводится участок среднечастотной ЛАЧХ с на­ клоном -20 дБ/дек;

4)сопрягающие частоты шК| и сок2 определяются по требуемым значе­ ниям ф(шК|) ЛФЧХ на частоте coKi и L2(O>k2) ЛАЧХ на частоте сок2;

С - некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а следовательно, выходной ко­ ординаты в переходном процессе.

В критерии (8.14) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования, и такая оценка применяется только для апериодиче­ ского переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (8.15) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сме­ ной знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (8.16) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.

Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) - (8.17), позволяющей учесть смену знака подынте­ гральной функции.

Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (8.17) и учесть связанную с этим ошибку, была предложена [5] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (8.18).

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы

где £ - коэффициент затухания.

Нормированное значение собственной частоты принято соп = 1. На рис. 8.11 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента за­ тухания £.

Рис. 8.11. Интегральные оценки

качества системы второго порядка

Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выражен­ ный минимум (хорошую избирательность), соответствующий £= 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протека­ ние переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.

Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра п-го порядка:

Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (я=1...4), описываемых передаточными функциями (8.20), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 8.1. Значения коэффици­ ентов нормированы относительно собственной частоты колебаний соп.

На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.

Таблица 8.1

Оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей

_______ передаточных функций САУ по критерию ИВМО__________________

Рис. 8.12. Переходные характеристики, соответствующие оптимизации систем по ИВМО

Графики построены в зависимости от нормированного времени соnt .

Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления при­ меняются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащее в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления (см. разделе 10.4).

9. Метод пространства состояний

Широкое распространение компьютеров и мощных систем програм­ мирования побуждает к исследованию СЛУ во временной области, а следо­ вательно, к непосредственному использованию описания динамических сис­ тем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно­ матричные формы описания и исследования применимы не только к одно­ мерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомер­ ных, нелинейных и нестационарных САУ.

Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме ле­ жит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.

9.1. Векторно-матричное описание САУ

Состояние системы - это совокупность значений переменных систе­ мы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние пе­ ременные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущаю­ щие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о со­ стоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить буду­ щие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разра­ батывающий и эксплуатирующий технические системы управления, опери­ рует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим пе­ ременным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, рас­ ход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные - напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю воз­ можность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат со­ стояния САУ.

Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационар­ ной САУ записывается в виде