Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfскую ошибку регулирования выходной координаты). Однако отработка скачкообразных задающих воздействий сопровождается высоким перерегу лированием выходной координаты контура, достигающим 56 % (кривая 2 на рис 10.13). Для снижения перерегулирования на вход /-го замкнутого конту ра регулирования устанавливают задатчик интенсивности или апериодиче ское звено (предшествующий фильтр первого порядка) с постоянной време ни 2,+17jt . Переходный процесс в САУ с предшествующим фильтром перво
го порядка представлен кривой 3 на рис. 10.13.
Типовая методика синтеза контуров регулирования по желаемой пере даточной функции разомкнутого контура, имеющих, в частности, настройку на технический и симметричный оптимум, приведена ниже.
10.5. Мето дика структурно-параметрического синтеза контуров регулирования САУ по желаемой передаточной функции
Рассматриваемая методика широко применяется при синтезе систем подчиненного регулирования координат электроприводов и базируется на компенсации больших постоянных времени объекта управления устройством управления. Последовательность этапов синтеза:
1. Структурно-параметрическая декомпозиция объекта управления. Линейный объект управления разбивают на п последовательно соеди
ненных динамических звеньев с одним или двумя доминирующими полюса ми (апериодические первого-второго порядка и интегрирующие); в объект регулирования каждого контура последовательно включают фильтр (аперио дическое звено первого порядка) с эквивалентной малой постоянной време ни Тщ , / = 1,..., п\ величину эквивалентной малой постоянной времени каждого контура регулирования выбирают, как минимум, в 2 раза больше эквивалентной малой постоянной времени предыдущего контура регулиро вания, т. е. Гм>, > 27jl M, / = 2,..., п.
В результате структурно-параметрической декомпозиции в объекте каждого контура регулирования должны быть выделены 1-2 больших посто янных времени и одна эквивалентная малая постоянная времени 7^,
2. Выбор критерия качества регулирования контура.
За критерий качества регулирования каждого контура будем прини мать желаемую передаточную функцию разомкнутого контура. Для электро механических САУ целесообразно применять настройки контуров регулиро вания на ТО или СО. Желаемую передаточную функцию разомкнутого кон
тура в этом случае записывают в виде: |
|
а) при настройке на ТО: |
(10.37) |
И/р.Жсл,,(Р) = 1/2Г(1,р(Г(1,+ 1 )> I = |
|
б) |
при настройке на СО: |
|
|
|
»'р,*вл,/(Р) = (47;,Р + 1)/87,(12>(.р2(Гц, +1), / = |
(Ю.38) |
||
|
3. |
Определение структуры и параметров регулятора каждого контура |
||
регулирования (структурно-параметрический синтез регуляторов). |
||||
|
Передаточная функция оптимального регулятора /-го контура опреде |
|||
ляется в виде: |
|
\ |
||
|
Wpcrj(P) = |
иужсл» |
(10.39) |
|
|
К у,,(р ) К сА р У |
|||
|
|
|
|
|
где |
WQy ,(p)- передаточная функция объекта регулирования, |
входящая в |
||
/-й |
контур регулирования; |
|
||
Woe, /(р) - передаточная функция звена отрицательной обратной связи /-го контура регулирования.
Далее производится расчет численных значений параметров синтези рованных регуляторов (коэффициентов передач, постоянных времени интегрирования и дифференцирования).
4. Выбор элементной базы и расчет параметров принципиальной схе мы регулятора каждого контура.
Современные электронные устройства управления непрерывных сис тем управления реализуют, как правило, на основе операционных усилите лей в интегральном исполнении. В частности, в системах управления элек троприводами наибольшее распространение получили следующие серии операционных усилителей: К140, К153, К553, К 1533 и др.
Расчет параметров принципиальной схемы регулятора сводится к рас чету численных значений резисторов и конденсаторов во входной цепи и це пи обратной связи операционного усилителя. *
Рассмотрим поэтапно применение рассмотренной методики для синте за контура регулирования тока якоря электродвигателя постоянного тока. Структурная схема системы регулирования приведена на рис. 10.14.
Рис. 10.14. Структурная схема контура регулирования тока якоря
1.Объект управления представляет собой 2 апериодических звена пер вого порядка, описывающих тиристорный преобразователь (Ктп и 7^ - его параметры) и якорную цепь двигателя. При синтезе контура регулирования тока якоря обратной связью по э.д.с. двигателя Ей можно, как правило, пре небречь, поскольку скорость ее изменения значительно ниже скорости изме нения тока якоря.
Кбольшим постоянным времени объекта управления относится посто янная времени Т3электромагнитной цепи, к малым - постоянная времени Т1П тиристорного преобразователя. Тогда эквивалентная малая постоянная вре мени контура регулирования тока Т^ = Ттп.
2.Зададимся настройкой контура регулирования тока на ТО, т. е. кри терием качества в виде (10.37).
3.Структура регулятора тока якоря в соответствие с (10.39) после эле ментарных преобразований будет иметь вид
^ |
( р ) = — |
ТзЕ±1 - |
(10.40) |
|
|
2Т, |
*тп*т |
|
|
|
дт |
- р |
|
|
т. е. является пропорционально-интегральной (ПИ). |
||||
Параметры этого регулятора: |
|
|||
Крг = |
„ |
. 7’H = 27mt^ 1^ |
l , тю =Т9, причем только 2 из них |
|
являются независимыми, поскольку Крт = Гиз /Ти. |
||||
4. |
Для расчета параметров регулятора рассмотрим его принципиаль |
|||
ную схему на основе операционного усилителя (рис. 10.15).
Рис. 10.15. Принципиальная схема
ПИ-регулятора тока якоря
Заметим, что принципиальная схема регулятора содержит 4 элемента Ртг, Я0т , Яост и Сот, значения которых неизвестны, однако в распоряжении проектировщика имеется лишь 2 параметра регулятора (см. п. 3). Зададимся значением емкости Сот, например Сот = 1 мкФ. Тогда в соответствии с табл.
10.1 получим Яост= Гэ/С от, Дзт=ЯоСТ/Крт.
Поскольку сумма входных токов операционного усилителя в потенци
ально нулевой точке М (см. рис. 10.15) равна нулю, то —^- = —^ • Отсюда ^JT ^ост
n |
_ p |
^°£L где £/„, t/0CTнапряжения задания и обратной связи по току, |
Л ОСТ |
Vrr |
г г |
u з т
соответствующие максимально допустимому току якоря.
10.6. Синтез САУ с апериодической реакцией
Системы с апериодической реакцией характеризуются переходной ха рактеристикой с минимальным (желательно нулевым) перерегулированием и минимальным временем установления. В качестве меры близости переход ной характеристики к установившемуся значению принимают зону, не пре вышающую 2 % от установившегося значения. Минимальное время fH|, (на растания регулирования) для апериодических процессов соответствует вре мени вхождения в зону 2 % от установившегося значения и зависит от по рядка системы и ее параметров.
Нормированная передаточная функция замкнутой САУ с апериодиче
ской реакцией имеет вид |
|
|
W (р) = ------------------------------------- |
+ 1 |
(10.41) |
г(Р) Г +арл-' + № " ' 2 +УРП~3 |
|
|
где п - порядок системы, |
|
|
р - нормированная комплексная пременная, /? = |
7 , |
|
Т*- нормированное (относительное) время установления апериоди ческой реакции САУ, зависящее от порядка системы,
а , р, у - коэффициенты характеристического полинома, обеспечивающие апериодическую реакцию САУ
Коэффициенты а , р, у, 5 и параметры переходного процесса для систем 2 ...5 порядка приведены в табл. 1 0 .2 .
Таблица 10.2
Коэффициенты полиномов оптимальных по быстродействию систем__________
П о р я д о к |
а |
К о э ф ф и ц и е н т ы |
5 |
О т н о с и т е л ь н о е |
О т н о с и т е л ь н о е |
|
с и с т е м ы |
Р |
У |
п е р е р е г у л и р о в а н и е , % |
в р е м я у с т а н о в л е н и я Т* |
||
|
|
|
|
|
||
2 |
1,82 |
|
|
|
0,10 |
4,82 |
3 |
1,90 |
2,20 |
2,80 |
|
1,65 |
4,04 |
4 |
2,20 |
3,50 |
3,40 |
0,89 |
4,81 |
|
5 |
2,70 |
4,90 |
5,40 |
1,29 |
5.43______ |
|
Рассмотрим пример синтеза САУ с апериодической реакцией. Пусть |
||||||
передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид |
|
|||||
K y i p W M |
к |
|
|
(10.42) |
||
|
|
|
||||
р(р +О'
Введем последовательно с объектом корректирующее устройство с пе редаточной функцией
(10.43)
р+ а
атакже установим на входе САУ предшествующий фильтр с передаточной функцией
= |
(Ю.44) |
р + О
Потребуем, чтобы время установления (вхождения в зону 2 %) состав ляло 2 с.
Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид
W%(р) =—. |
---------------------------------- . |
(10.45) |
р |
+ (а 4-1)р +(а + К)р + КЬ |
|
Из табл. 10.2 для системы 3-го порядка находим: а =1,9; Р=2,20; г;=4,04.
Тогда для времени установления гнр= 2 с получим относительное зна-
Г*
чение — =2,02, имеющее размерность частоты (рад/с).
Желаемый характеристический полином замкнутой САУ
М(р) = р J +(а + \)р2 +(а + К)р + КЬ= р* +а |
1 |р,+р р+ |
|
( т* л2 |
( т* V Лу
V T s J
= р 3 + 3,838р2 + 8,977р + 8,242. |
(10.46) |
Отсюда находим:
а = 2,84; Ь = 1,34 и К = 6,14.
Переходный процесс в системе приведен на рис. 10.16.
Рис. 10.16. Переходный процесс в САУ с апериодической реакцией
10.7. Синтез модальных систем управления
Синтез систем модального управления базируется на корневых мето дах, а следовательно, качество переходных процессов определяется распо ложением корней характеристического полинома системы на комплексной плоскости. Модальный регулятор относится к линейным регуляторам со стояния, т. е. для выработки оптимального управления используется инфор мация о всех координатах управляемого объекта.
Структурная схема системы модального управления приведена на рис. 10.17.
Рис. 10.17 Структурная схема системы модального управления
Объект управления представлен в векторно-матричной форме (9.3), а
устройство управления (модальный регулятор) представлено в виде |
|
U = Z -K X , |
(10.47) |
где Z - вектор задающих воздействий размерности тх 1, |
|
X - вектор состояния объекта размерности пх 1, |
|
К- матрица коэффициентов обратных связей тхп.
Сучетом линейной структуры (10.47) регулятора векторно-матричная модель системы модального управления получает вид:
X = АХ + B(Z - КХ) = (А - ВК)Х + BZ |
(Ш.48) |
Характеристический полином системы определяет ее свободное дви жение, т. е движение под действием ненулевых начальных условий Х(0). Это означает, что свободное движение замкнутой системы определяется выраже
нием |
|
Х = (А - ВК)Х. |
(10.49) |
Обозначим матрицу свободного движения замкнутой системы в виде |
|
А = А - В К . |
(10.50) |
Характеристический полином системы имеет вид |
|
D(p) = d et(p l-A ). |
(10.51) |
Зададимся характеристическим полиномом с желаемым расположени ем корней на комплексной плоскости в виде полинома с отрицательными
действительными корнями, причем все п корней будем полагать равными, что обеспечит оптимальные по быстродействию апериодические переходные процессы в системе. Таким образом, желаемый характеристический полином будет иметь вид
Акел(л) = (7> + 1У\ |
(10.52) |
где Т - постоянная времени, определяющая желаемое время регулирования (установления переходных процессов),
71» ^ р .ж е л |
(10.53) |
4 |
|
Искомую матрицу К коэффициентов обратных связей получают в ре зультате решения уравнений (10.51), (10.52), т. е. приравниванием в этих вы ражениях коэффициентов при операторе р в одинаковых степенях.
Рассмотрим в качестве примера синтез модального регулятора элек тропривода постоянного тока. Пусть электродвигатель имеет параметры, приведенные в разделе 9.3, и описывается матрицами (9.15). В качестве управляемого силового преобразователя, питающего якорную цепь, примем транзисторный преобразователь с моделью в виде безынерционного звена с коэффициентом передачи, равным 25. Тогда объект управления в форме (9.3)
будет описываться матрицами |
|
|
|
|
|||
'- 5 0 |
-100“ |
'1250' |
|
|
(101.54) |
||
А = |
0 |
; |
в = |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Матрица состояния замкнутой системы в соответствие с (10.50) |
|||||||
-5 0 |
-100 |
1250 |
•[*i |
ki h |
— 50 — 1250Ai |
- 1 0 0 - 1 2 5 0 * 2 |
|
А = |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
||
2 |
|
|
|
||||
Характеристический полином замкнутой САУ |
|
||||||
d et(p l- А) = |
р + 50 + 1250*, |
100 +1250*2 = р 2 +(50 + 1250А,)р + |
|||||
|
|
|
- 2 |
|
|
р |
|
|
+ 200 + 2500Л2 . |
|
|
(10.55) |
|||
Зададимся желаемым временем регулирования /ржел= ОД с. Тогда
7’~ fp ^ L - M = 0 025c.
4 |
4 |
|
Характеристический полином с желаемым расположением корней |
||
Dxen(р) = (Тр + 1)Л= (0.025)2 = р г + 80р +1600. |
(10.56) |
|
Приравнивая (10.54) к (10.55), получим /С] = (80 —50)/1250 = 0,024; к2 = (1600-200)/2500 = 0,56.
Проведем анализ синтезированной системы, используя пакет расшире ния Simulink-A.5 системы Matlab-6.5. Схема моделирования системы управ ления приведена на рис. 10.18.
11.Дискретные и дискретно-непрерывные САУ
11.1.Дискретизация сигналов и z-преобразование
Вдискретных системах в отличие от непрерывных САУ имеется хотя бы одна координата состояния или управления, имеющая дискретный характер.
Достаточным условием дискретности систем управления является .раз рывная статическая характеристика.
,(!к > |
ДЭ |
и it) нч |
yit) |
Рис. 11.1. Функциональная схема |
|
|
|
|
дискретной САУ |
Обозначения: |
|
|
|
|
ДЭ - дискретный элемент; |
|
|
||
НЧ - непрерывная часть; |
|
|
||
x(t) |
- входной непрерывный сигнал; |
|
||
е{1) |
- непрерывный сигнал ошибки; |
|
||
и (t) - дискретный сигнал; |
|
|
||
y{t) |
- непрерывный выходной сигнал. |
|
||
Звено, в котором происходит дискретизация сигнала, называется дис кретным элементом. На рис. 11.1 в качестве дискретного элемента выступает дискретный регулятор.
Дискретный характер имеют релейные, импульсные и цифровые сигналы.
Релейные САУ оперируют с сигналами, промодулированными1 по амплитуде. Например, релейное управление может быть реализовано с помощью двухпозиционного реле в соответствии с выражением
u(t) = Ums\gn[z(t)\, |
(П-1) |
где Um- амплитуда управляющего воздействия, |
|
sign [8(0] - знаковая функция текущей ошибки е(0 |
управления, |
],€(/)> 0, |
|
sign [е(/)] = < 0, е(/) = 0, |
( 11.2) |
-1,8(0 <0.
Вимпульсных САУ имеются сигналы, промодулированные по
времени:
АИМ - амплитудно-импульсные; ШИМ - широтно-импульсные; ЧИМ - частотно-импульсные;