Теория автоматического управления. Линейные системы управления

Системы со звеньями чистого запаздывания не могут быть непосредст­ венно представлены в виде дробно-рациональных передаточных функций, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями устойчиво­ сти. Наиболее подходящим для анализа устойчивости таких систем является частотный метод Найквиста. Множитель (7.26) не приводит к появлению до­ полнительных полюсов и нулей в передаточной функции разомкнутой сис­

Этот фазовый сдвиг должен быть добавлен к фазовому сдвигу исход­ ной разомкнутой системы. Графически это означает дополнительное закру­ чивание годографа АФХ разомкнутой системы на угол т(ш) по часовой

стрелке или соответствующий дополнительный завал ЛФЧХ на диаграмме Боде, азначит, снижение запаса устойчивости по фазе.

При достаточно больших значениях т система может потерять устой­ чивость. Если нет возможностей уменьшения времени чистого запаздывания, тодля приведения системы в устойчивое состояние необходимо снижать ко­ эффициент усиления разомкнутого контура. Неизбежной расплатой за это является увеличение статической ошибки регулирования.

В инженерной практике при исследовании систем управления со зве­ ном чистого запаздывания это звено обычно приводят к дробно­

В частности, при Т=1 и при аппроксимации звена чистого запаздыва­

ния рядом Паде 2-го порядка аппроксимирующая передаточная функция бу­ дет иметь вид

(7и29)

р + 6р + 12

Скрипт Matlaby позволяющий сформировать ряд Паде 2-го порядка и

описывающий переходный процесс в соответствующем звене, имеет вид:

»[num,den]=pade(1,2); % Формирование ряда Паде;

»sys=tf(num,den); % Формирование передаточной функции;

»t=[0:0.01:5]; % Задание параметров переходного процесса;

»[y,T]=step(sys,t); % Расчет переходного процесса;

»p!ot(T,y); % Отображение графика переходного процесса. Переходный процесс в таком звене представлен на рис. 7.13. Как ви­

дим, ряд Паде 2-го порядка весьма грубо отражает процессы, обусловленные чистым запаздыванием. Увеличения числа членов разложения в ряде Паде, например в 20 раз, позволяет заметно повысить точность аппроксимации, однако в зоне транспортного запаздывания наблюдаются высокочастотные пульсации (рис. 7.14). Это предполагает, что исследуемая система должна обладать свойствами низкочастотного фильтра.

8. Качество систем управления

Любая САУ кроме устойчивости должна обеспечивать заданные каче­ ственные показатели управления. Качество управления (регулирования) оце­ нивается количественными показателями, отражающими близость фактиче­ ского процесса управления к желаемому. Задача обеспечения качества сис­ темы решается на этапе ее синтеза за счет формирования необходимой структуры устройства управления, введения обратных связей по координа­ там состояния и включения корректирующих звеньев в структуру устройства управления (см. гл. 10). Поскольку промышленные системы управления от­ носятся к динамическим системам, их качество оценивают по поведению как в переходном, так и в установившихся режимах. Требования к установив­ шимся режимам работы САУ, расчет статической ошибки регулирования, понятия статических и астатических систем рассмотрены в разделе 4.2. Ниже будут рассмотрены требования к качеству систем управления и способы оценки качественных показателей, прежде всего, в динамических, т. е. пере­ ходных, режимах.

Различают прямые и косвенные показатели качества регулирования.

8.1. Прямые показатели качества регулирования

Прямые показатели качества определяются по виду переходных харак­ теристик. При этом качество систем стабилизации оценивают по виду пере­ ходной характеристики по отношению к возмущающим воздействиям, каче­ ство систем программного управления - по отношению к задающим воздей­ ствиям, качество следящих САУ - как по отношению к возмущающим, так и задающим воздействиям.

При анализе качественных показателей систем во временной области помимо ступенчатого воздействия к типовым тестовым воздействиям отно­ сят также линейное, параболическое и импульсное воздействия. Реакцию на один тестовый сигнал можно всегда выразить через реакцию на другой тес­ товый сигнал. Поскольку ступенчатый входной сигнал является наиболее простым, то именно он обычно выбирается в качестве тестового сигнала. Ре­ акция системы на импульсный тестовый сигнал представляет интерес только в тех случаях, если в реальных условиях система подвержена воздействию очень коротких импульсов с достаточно большой амплитудой.

Графики переходных процессов получают экспериментально или пу­ тем решения дифференциального уравнения, описывающего систему в коор­ динатах “вход-выход”

За основные показатели качества регулирования (рис. 8.1) по виду пе­ реходных процессов принимают:

Рис. 8.1. Прямые показатели качества регулирования

1)время регулирования /р (время установления, время переходного процесса) - момент времени, после которого переходная характеристика ос­ тается внутри зоны, отличающейся от ступенчатого входного воздействия хвх

на ±5 %; эта зона установления переходного процесса принимается, как пра­ вило, равной (2...5) %;

2)время нарастания регулирования /„р - время первого согласования переходной характеристики с входным воздействием;

3) время максимума переходной характеристики - момент времени, при котором переходная характеристика достигает своего максимального значения утах;

4) перерегулирование - относительная величина, рассчитываемая по формуле

а% = У! т ~ х>* -100%;

Xвх

5)квазипериод колебаний Т0 - усредненный период колебаний;

6)число колебаний m за время регулирования tp, определяемое по

формуле

/

т= -± .

Т

Проведение экспериментальных исследований для определения пря­ мых оценок качества регулирования не всегда допустимо по условиям тех­ нологии, а численное решение дифференциального уравнения может ока­ заться достаточно трудоемкой задачей и требует применения вычислитель­ ной техники. В связи с этим в инженерной практике широкое применение нашли косвенные оценки качества.

8.2. Косвенные показатели качества регулирования

Косвенными оценками качества называют некоторые количественные величины, в той или иной мере характеризующие прямые показатели качест­ ва регулирования. К косвенным оценкам качества относят, в частности, рас­ смотренные выше показатели относительной устойчивости системы - заРасы устойчивости по модулю и фазе, однако их недостаточно для суждения о та­ ких важных показателях качества регулирования, как быстродействие, время нарастания регулирования, наличие и величина перерегулирования, число колебаний и др. Ниже рассмотрены некоторые методы косвенной оценки та­ ких показателей качества регулирования. К ним относят корневые, частот­ ные и интегральные оценки качества.

8.2.1. Оценка качества регулирования по расположению корней характеристического уравнения

Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение

сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.

Угол (р, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью коле­ бательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют

Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2(р (см. рис. 8.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование а % не должно превышать (10.. .20) %, что соответствует /77=0,2.. .0,5.

Рис. 8.2. Область расположения корней

При корневых методах оценки качества системы, т. е. по располо­ жению корней характеристического полинома, исходят из следующих со­ ображений.

Решение однородного уравнения, характеризующего свободное дви­ жение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (7.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно­ сопряженных корней (доминирующих корней! можно записать

y ( t) » x n e~ak<

Полагая, что зона 5 установления переходного процесса составляет (2...5) % от установившегося значения хйХ, можно найти требуемое соотно­ шение степени устойчивости а к системы и времени регулирования tp:

РР

Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характери­ стического уравнения.

Аналогично можно связать степень колебательности т системы со сте­ пенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в к раз по сравнению с

Таким образом, задаваясь временем регулирования /р и соотношением

амплитуд колебаний к, можно определить допустимую область расположе­ ния корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров /р и к переходного процесса по расположению доминирующих

корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный под­ ход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если дейст­ вительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [2].

Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования, целесообразно использовать метод D-разбиения. В качестве примера используем уравнение Вышнеград­ ского, описывающего в параметрической форме характеристический поли­ ном 3-го порядка,

А[(а2 —со2) —2уасо] + В(- а + jco) +1 - а 3 + Засо2 + уш(3а2 - ©2) = 0. Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим

или

АВ = 1- уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 8.3).

Рис. 8.3. Границы областей устойчивости, колебатель­ ности и апериодичности на диаграмме Вышнеградского

Полагая о) = 0 в (8.6), получим границу области апериодичности сис­ темы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 8.3)

. 1+ 2а3 _ а 3+ 2 А = — =— ; В =--------.

Поскольку на кривой 1 со Ф 0, а на кривых 2 и 3 со = 0, то области / и III являются областями комплексных, а область II - вещественных корней (см. рис. 8.3). Следовательно, если параметры А, В принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принад­ лежат области /, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше А и меньше В, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (8.5), а следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без пере­ регулирования).

Диаграмма Вышнеградского [1, 2] помимо приведенных кривых со­ держит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, ко­ гда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и когда бли­ жайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 8.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.

Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перере­ гулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставля­ ет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического урав­ нения /7-го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.

Pi = -а,. ±v'P,, /= 1,2,3 ...л.

В этом случае перерегулирование не превышает 10 %, а время нараста­ ния регулирования является минимальным.

Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными про­ цессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегео­

метрический корень a =^j\P]P2...Pn\, или, иначе, чем ближе к мнимой оси

расположен центр корней.

При анализе качества системы корневыми методами необходимо учи­ тывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.

Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам. Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут

влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.

Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодиче­ ские и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих со­ ставляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-

либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику состав­ ляющей, соответствующей данному полюсу.

8.2.2. Частотные методы оценки качества

Эти методы базируются на преобразовании Фурье и основаны на том, что переходный процесс при заданном входном (задающем или возмущаю­ щем) воздействии однозначно связан с видом АФЧХ замкнутой системы.

Как уже отмечалось, наиболее часто в качестве внешнего воздействия на систему принимают единичное ступенчатое воздействие. Разложение этой ступенчатой функции в непрерывный гармонический ряд осуществляется с помощью интеграла Дирихле

Тогда реакция системы (переходная функция) на внешнее воздействие в виде ступенчатой функции (8.8) может быть вычислена по одной из фор­

Наиболее часто в основе частотных методов исследования качества системы применяют формулу (8.10), т. е. оценку качества переходного про­ цесса ведут по вещественной частотной характеристике (ВЧХ) />(©).

Различают прямые и косвенные частотные методы оценки показателей качества. Прямые методы оценки показателей качества системы основыва­ ются на построении переходного процесса h(t) в зависимости от Р(©) или £?(©) с помощью специальных методов (Брауна, Кэмпбела, Воронова, Солодовникова и др.) [1,2]. Косвенные методы позволяют по виду />(©) прибли­ женно оценить качество переходного процесса h{t).

Приведем сначала основные положения косвенных частотных методов оценки качества САУ:

1) близким ВЧХ Р(©) соответствуют близкие переходные характери­ стики h(t) ;

2) начало ВЧХ (низкочастотная ветвь) соответствует окончанию пере­ ходного процесса (установившемуся режиму) и, наоборот, конец ВЧХ (высо­ кочастотная ветвь) соответствует началу переходного процесса, т. е.

длительность переходного процесса в этом случае определяют по фор­ муле fp = 47i/con « 47i/co0i , где co0i - верхняя граница области существенных

9) если Р((о) обращается в бесконечность при некоторой частоте со, то система является неустойчивой.

Прямые частотные методы оценки качества позволяют уточнить оцен­ ки качества переходного процесса и основаны на построении графика h(t)

переходного процесса по ВЧХ Р(со) замкнутой системы. Точное решение этой задачи требует численного решения уравнений (8.10) или (8.11) с при­ менением средств вычислительной техники. В связи с этим в инженерной практике получили примечания приближенные методы построения переход­ ного процесса по виду ВЧХ. Наиболее распространенным способом прибли­ женного построения h{t) является метод Солодовникова (метод трапеций) [1,2], суть которого заключается в следующем:

1)Р(со) заменяют ломаной кусочно-линейной линией (штриховые ли­ нии на рис. 8.6,а);

2)выделяют прямоугольные трапеции (рис. 8.6,6), для каждой из кото­ рых определяют параметры:

P0i - высота /-й трапеции; со0/ - частота пропускания;

со, - частота равномерного пропускания;

X, - коэффициент наклона трапеции; х, = со, /со0/;

3) для каждой трапеции строят переходный процесс X/ (/) (рис. 8.7) по формуле