Суперфинишные станки для автомобильной промышленности

так как обычно имеются несколько гармоник со сравнительно большими амплитудами.

Для решения подобных задач используется метод статистического моделирования, также называемый методом статистических испытаний Монте-Карло [63]. Он базируется на применении случайных чисел некоторой случайной величины с заданным распределением вероятности. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению моделирующего алгоритма, его реализации с помощью программно-технических средств ЭВМ и обработкеданныхметодами математическойстатистики.

Применительно к наладке станков основная идея метода Мон- те-Карло заключается в моделировании стохастических входных данных (отклонений формы заготовок), многократной реализации аналитической модели базирования и получении вероятностных характеристик, численные значения которых совпадают с результатом решения детерминированной задачи. В результате получают серию частных значений искомой погрешности базирования, статистическая обработка которых дает сведения о влиянии параметров наладки станка при обработке партии заготовок. Исходные данные о погрешностях формы заготовок получают экспериментальным путем, а законы и параметры распределения рассчитывают по формулам математической статистики. Если количество реализаций модели достаточно велико, то полученные результаты моделирования приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью принимаются ввиде оценок искомых параметров. Моделирующий алгоритм приведеннарис. 6.9.

Исходными данными при моделировании являются: параметры заготовки З (радиус r0, число n гармоник, параметры распределения и границы интервала изменения амплитуд и начальных фаз гармоник), параметры наладки станка (углы базирующих элементов α1, α2, радиусы валков R1, R2) и количество m заготовок в партии. Число m заготовок в партии назначают, исходя из трудоемкости моделирования, а не из реального технологического процесса. Очевидно, что с увеличением числа реализаций m возрастает точность и достоверность получаемых статистических оценок.

192

Результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных последовательностей случайных чисел. На практике используют три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный, табличный и алгоритмический. Алгоритмический способ генерации случайных чисел наиболее рационален при моделировании на компьютере. Его сущность состоит в том, что равномерно распределенная случайная величина в интервале [0, 1] имеет математическое ожидание m = ½ и дисперсию σ2 = 1/12. Получить непрерывное распределение на ЭВМ невозможно, поэтому используют дискретную последовательность 2n случайных чисел того же интервала. Такой закон распределения называют квазиравномерным распределением. Случайная величина, имеющая квазиравномерное распределение в интервале [0, 1], принимает значения zi = i/(2n – 1) с вероятностями pi = 1/2n, i = = 0, …, 2n – 1. В результате математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием равномерной случайной последовательности интервала [0, 1], а дисперсия отличается множителем (2n + 1)/(2n – 1), который при достаточно больших n близок к единице. Кроме того, для получения значений zi используют формулы (алгоритмы), поэтому такие детерминированные последовательности чисел называют псевдослучайными.

В нашем случае требуется последовательность из примерно 2 105 случайных чисел. Такой объем псевдослучайных чисел с определенным числом разрядов без повторений обеспечивает стандартный датчик случайных чисел random, имеющийся в большинстве языков и сред программирования. С целью улучшения качества последовательностей после генерирования партии заготовок применяется метод возмущений, программно реализованный в виде команды randomize. Эта функция позволяет избежать повторения результатов при многократных запусках программы.

Экспериментальные исследования установили, что между некоторыми амплитудами гармоник имеются значимые корреляционные связи. Для случайных погрешностей x и y с разными функ-

194

циями распределения F1(x), F2(y), математическими ожиданиями mx, my и среднеквадратическимиотклонениями σx σy целесообразно перейти к равномерно распределенным в интервале [0, 1] случайным величинам, воспользовавшись преобразованиями:

В этом случае коэффициент линейной корреляции находят по формуле [64]

При таком определении коэффициента корреляции упрощается решение задачи генерирования коррелированных случайных величин с разными законами распределения и исключается зависимость значения r от вида этих законов.

Воспользуемся последовательностью получения пары коррелированных случайных чисел с разными законами распределения, изложенной в работе [65]. На первом этапе генерируют три некоррелированных случайных числа А, В, С с равномерным распределением в интервале [0, 1]. Далее из них формируют пару коррелированных между собой чисел по формулам

Для выражений (6.18) можно строго доказать, что коэффициентом корреляции между случайными величинами y1 и y2 является r*, если значение r* определялось обычным образом. Числа y1 и y2 в общем случае распределены по симметричному

трапецеидальному закону с большим s1 = | r*| + 1− | r*| и ма-

Далее выполняют преобразование трапецеидального распределения чисел y1 и y2 в равномерное на интервале [0, 1] по следующим формулам:

– если yi > s1/2, то при р = s2 – yi

В результате получаем случайные числа z1 и z2, равномерно распределенные в интервале [0, 1] и имеющие, как показала соответствующая численная проверка, коэффициент корреляции |r|, связанный с |r*| соотношением

|r*| = |r| + 0,005086 + 0,01739sin(6,3986|r| + 5,9575). (6.21)

Таким образом, чтобы найти требуемое значение коэффициента корреляции r между случайными величинами z1 и z2, необходимо при формировании случайных чисел y1, y2 задать величину |r*| по выражению (6.21). Абсолютная систематическая погрешность значения r при этом методе получения двух коррелированных выборок не превышает 0,0025.

При перестановках в формулах (6.18) двух пар параметров А и В, А и С случайные величины z1 и z2 будут иметь коэффициент корреляции 1 – |r|, что позволит сформировать выборки двух случайных величин с коэффициентом корреляции ±(1 – |r|) и произвольными законами распределения.

196

Суммируемые случайные погрешности можно разделить на некоррелированные между собой группы трех типов: включающие любое число некоррелированных погрешностей; жестко коррелированных между собой погрешностей с r = ±1 относительно какой-либо одной погрешности из этой группы, принятой за базовую; погрешностей с коэффициентом корреляции пар относительно одной базовой погрешности ±r и ±(1 – |r|). Групп второго и третьего типов может быть несколько, а значение r в каждой из них – произвольным. Если количество погрешностей в группе больше двух, то накладываются ограничения на перекрестные коэффициенты корреляции. Например, нельзя одновременно задать значения r12 = 1 и r13 = 1, если r23 ≠ 1.

Для генерирования случайных чисел с заданным законом распределения используем метод инверсии, заключающийся в формировании последовательности случайных чисел zi, равномерно распределенных в интервале [0, 1], и последующем преобразовании:

где F –1(zi) – функция, обратная функции распределения случайной величины xi.

Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки параметров при реализации на ЭВМ, колеблется в широких пределах в зависимости от объекта моделирования, оцениваемых параметров, необходимой точности и достоверности результатов моделирования.

Приближенное число испытаний при моделировании методом Монте-Карло определим по формуле

где tДУ, n–1 – коэффициент для вычисления двустороннего доверительного интервала математического ожидания; e – допустимая ошибка при оценке σ.

197

Для определения допустимой погрешности e воспользуемся неравенством Чебышева, согласно которому для любого распределения с конечным математическим ожиданием М и дисперсией σ2 по крайней мере [1 – (1/k2)]100 % значений случайной величины находится в интервале М ± kσ. Пределы по данному выражению задаются с очень большим запасом. Считая, что не менее 99 % числа испытаний должны попасть в интервал М ± 3σ, принимаем максимально допустимую ошибку e при оценке М в 0,2σ. Максимальное среднеквадратическое отклонение для амплитуд гармоник составляет 0,1 мкм, поэтому назначаем e = 0,02 мкм. При 99%-ном доверительном уровне и ориентировочном числе испытаний n = 200 получаем tДУ, n–1 = 2,601. Число испытаний по формуле (6.23) равно n = 169. Принимаем число заготовок в партии при моделировании m = 200. Тогда с 99%-ной вероятностью не менее 99 % от числа испытаний при моделировании попадет в интервал (0,1 ± 0,06) мкм.

Экспериментальные исследования выявили, что амплитуды a гармоник распределены по закону Пирсона первого типа (бе- та-распределение), а начальные фазы ϕ – по закону равной вероятности.

Функция плотности вероятности β-распределения амплитуд гармоник имеет вид

где Г – гамма-функция; η, μ – параметры β-распределения; x – случайная величина.

Гамма-функция имеет вид

Функцияраспределенияначальныхфазгармоникимеет вид

где a, b – границы интервала изменения начальной фазы ϕ.

198

Поскольку a = 0°, b = 360°, имеем следующее выражение для функции распределения начальных фаз:

В общем случае, зная плотность вероятности f(х), необходимо выбрать случайное число zi и решить относительно xi интегральное уравнение:

a

где a – наименьшее значение xi.

Для равномерного распределения обратная функция имеет явный вид, и преобразование случайной величины zi в случайную величину xi осуществляют по выражению

Методика получения случайных величин, имеющих различные законы распределения, с помощью нормированных случайных величин изложена в работах [64, 67].

Параметры β-распределения η и μ, полученные в результате статистической обработки экспериментальных данных, имеют нецелые значения. Поэтому применим следующий метод генерации. Вычислим

где z1, z2 – независимые друг от друга равномерно распределенные случайные числа.

Если S1 + S2 > 1, то возьмем еще одну пару случайных чисел z1, z2 и проделаем те же операции. Если S1 + S2 < 1, то

Полученные по формулам (6.25)–(6.31) распределения являются нормированными, т.е. находятся в интервале [0, 1]. По-

199

лучить распределения в интервале [a1, а2] можно с помощью последующего преобразования:

На основе разработанного алгоритма (рис. 6.9), формул (6.16)–(6.32) и экспериментальных данных проведено моделирование критерия точности базирования для партии из 200 заготовок для бесцентрового суперфиниширования [66]. Статистическая обработка результатов показала, что наилучшим образом критерий K описывается нормальным законом при суперфинишировании. Функция плотности вероятности в этом случае однозначно определена двумя параметрами – математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ.

По результатам статистического моделирования рассчитаны первые четыре статистические момента (m1, m2, m3, m4), среднеквадратическое отклонение σ, показатели асимметрии α3 и эксцесса α4 для распределения критерия K, которые приведены

втабл. 6.3. Параметр наладки станка α имеет тот же смысл, что

иранее.

Таблица 6 . 3

Начальные моменты распределения критерия K в партии заготовок

Анализ табл. 6.3 показал, что все варианты характеризуются положительным показателем асимметрии и показателем эксцесса, равным 3 и более. При суперфинишировании наиболее нерациональный угол α = 15° (МО погрешности базирования равно 1,4 мкм и СКО равно 0,351 мкм). При наилучшем угле наладки α = 45° МО уменьшается примерно в 2,3 раза и СКО – в 2,5 раза. Столь большие различия статистических оценок критерия K по

200