Планирование эксперимента в химической технологии

Расчет коэффициентов уравнения регрессии (линейная форма). Коэффициенты рассчитывают по формуле (см. приложение 2)

N

После вычисления коэффициентов регрессии переходят к статис­ тическому анализу уравнения регрессии, который состоит из трех этапов: 1 ) оценка дисперсии воспроизводимости (или оценка ошиб­ ки опыта), 2 ) оценка значимости коэффициентов уравнения регрес­ сии и 3) оценка адекватности модели.

Расчет ошибки опыта (дисперсии воспроизводимости). Известно, что ошибка опыта оценивается по параллельным опытам (случай,

когда ошибка опыта известна, заранее не рассматривается, как наи­ менее вероятный). Перед расчетом ошибки опыта необходимо убе­ диться, что рассеяние опытов в каждой точке факторного простран­ ства не превышает некоторой величины. С этой целью статистики

и / 2 — N и уровня значимости д. В технических расчетах прини­ мается 5 %-ный уровень значимости (/ = 0,05.

Принятие решений. Если условие (74) не выполняется, то од­ ним из решений является увеличение числа параллельных опытов, т. е. еще раз или несколько раз необходимо реализовать матрицу планирования.

Если увеличение т не дает результата, то следует изменить метод контроля переменной состояния, увеличив его точность. Иногда прибегают к масштабированию переменной состояния — вводится некоторая математическая функция от у (например квад­ ратный корень или логарифм).

При выполнении условия (74) построчные дисперсии усредняют по формуле:

Таким образом, получают ошибку опыта s20. Еще раз напомним, что неоднородные дисперсии усреднять нельзя.

Проверка значимости коэффициентов регрессии. Очевидно, что один фактор больше влияет на переменную состояния, другой — меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимос­ ти каждого коэффициента двумя равноценными способами. В обоих случаях вначале находят дисперсию коэффициентов регрессии по формуле (см. приложение 2 )

т. е. дисперсии всех коэффициентов равны, поскольку зависят толь­ ко от ошибки опыта si и числа строк матрицы планирования N.

По первому способу оценку значимости коэффициентов осущест­ вляют по формуле:

tr — табличное значение критерия Стьюдента, которое находят по

По второму способу для проверки значимости коэффициентов регрессии используют доверительный интервал Аbt, который,

Тогда значимость оценивают, сравнивая абсолютные значения ко­

Принятие решений. Если для какого-то коэффициента условия (78) и (80) не выполняются, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения регрессии. Однако надо быть осторожным и всегда помнить, что в предвари­ тельном эксперименте уже отсеивались незначимые факторы, скорее всего полученная незначимость фактора является следствием неудач­ но выбранного интервала варьирования: он был выбран малым. Отсюда ясно, что более правильным является решение повторить эксперимент при расширенном интервале варьирования для иссле­ дуемого фактора. Конечно, при этом число опытов, а значит, время эксперимента, возрастает. Иногда половину опытов сохраняют тем, что расширение интервала варьирования проводят только в одну сторону: один (верхний или нижний) уровень остается.

Если фактор остался незначимым после повторения экспери­ мента и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и пе­ реходят к оценке адекватности полученной математической модели.

Проверка адекватности линейного уравнения регрессии. При­ годность линейного уравнения регрессии для решения задачи поис­

средних опытных данных переменной состояния уи относительно

тех значений переменной состояния уи, которые предсказаны по­ лученным линейным уравнением регрессии. Эта дисперсия назы­ вается дисперсией адекватности и рассчитывается по формуле:

N

уровня значимости q. Если выполняется условие (83), то линейное уравнение регрессии признается адекватным, т. е. рассеяние экспе­ риментальных данных переменной состояния относительно уравне­ ния регрессии того же порядка, что и рассеяние, вызванное случайными изменениями в объекте исследования (ошибка опыта).

подробнее будут рассмотре­ Рис. 11. Алгоритм расчета и анализа мате­

полняется, то адекватный линейный полипом можно использовать для поиска области опти­

мума объекта исследования.

Изложенная последовательность расчета коэффициентов уравне­ ния, его статистического анализа и принятия решений может быть представлена алгоритмом, блок-схема которого изображена на рис. 11. Все расчетные формулы сведены в табл. 28.

Пример 3. Исследовался процесс извлечения ртути йз каусти­ ка с помощью специального экстрагента в периодическом реакторе

с мешалкой.

Выбор переМенн°й состояния. В качестве переменной состояния выбран п о к а за т ел ь «содержание ртути на выходе процесса». Он хо­ рошо измеряете51 с помощью атомно-сорбционного метода, имеет четкую области определения с точностью до 1 1 0 - 6 вес.%.

Выбор факторов. На содержание ртути в растворе каустика при очистке оказывают влияние следующие факторы:

1) скорость вращения мешалки, об/мин; 2) время пребывания раствора каустика в реакторе, мин; 3) температура раствора, °С;

4) первоначальное содержание ртути в каустике, вес.%;

5) количество экстрагента, г;

6) насыщенность экстрагента ртутью, мг/г.

Предварительный эксперимент. Были проведены несколько опытов однофакторного эксперимента и при этом выяснено, что в предпо­ лагаемой области экспериментирования влияние количества экстра­ гента и его насыщенности ртутью ничтожно мало. В эксперименте предполагалось использовать раствор каустика с содержанием

ртути порядка 1 2 10 4 %, т. е. концентрация ртути в каустике постоянна и поэтому может быть исключена из числа факторов. Такое отсеивание привело к включению в план эксперимента сле­ дующих факторов:

Хх — скорость вращения мешалки, об/мин; Х2 — температура раствора, °С;

Х3 — время пребывания раствора в реакторе, мин.

Описание экспериментальной установки. Эксперименты по кине­ тике очистки растворов каустика от ртути экстракцией проводи­ лись в лабораторном реакторе, представляющем собой стеклянный толстостенный сосуд (внутренний диаметр 69 лш, высота 200 мм) со сферическим днищем. Реактор был снабжен электронагревателем, регулирующим температуру процесса и термостатирующим систему

сточностью ± 1 °С . Для перемешивания применялась двухлопаст­ ная стеклянная мешалка, приводящаяся в действие электромотором

срегулируемым (от 250 до 4000 об/мин) числом оборотов. Конструк­ ция установки позволила проводить процесс как в периодическом, так и в непрерывном вариантах. Для опытов применяли промышлен­ ный, не подвергавшийся фильтрации 43—46%-ный раствор каус­

из каустика, которые обеспечили бы минимальное содержание рту­ ти в растворе при определенных ограничениях на факторы. Мате­ матически это можно выразить в виде получения математической модели

д