Планирование эксперимента в химической технологии

СОВ- 1) математическая модель процесса известна (например, в ви­ де дифференциального уравнения); приближенно известны значе­ ния констант, которые необходимо уточнить, поставив оптималь­ ный план эксперимента; 2) математическая модель исследуемого процесса может быть описана несколькими функциями; необходимо разработать и реализовать планы эксперимента по поиску истинной модели из известной совокупности моделей; 3) математическая модель процесса неизвестна, существуют лишь гипотезы о классах функций, в которых может быть найдена математическая модель; ставится' задача организации экспериментов по поиску наилучшей математической модели процесса.

Математические методы планирования эксперимента для изуче­ ния кинетики и механизма явлений еще только развиваются. При­ кладных работ в этом направлении немного, но важность задачи исключительно велика.

Планирование эксперимента при построении диаграмм «состав — свойство». Подобные диаграммы химики строят давно, и число опы­ тов, необходимых для этого, обычно измеряется сотнями. В настоя­ щее' время формулируется задача оптимального расположения то­ чек в факторном пространстве для полиномиального описания диаграммы «состав — свойство»; при этом число опытов резко сокра­ щается. При разработке оптимальных планов с указанной целью возникает математическая трудность, связанная с тем, что сумма содержания всех компонентов равна 100%. Для решения этой за­ дачи используются специальные планы, которые уже апробирова­ ны на практике.

Планирование эксперимента на объектах исследования, харак­ теризующихся влиянием неоднородностей. Под неоднородностями обычно понимают ряд факторов, искажающих результаты опыта (помехи Z). Если существуют определенные априорные сведения об источнике помех, то можно построить оптимальные планы иссле­ дования, учитывающие их влияние, и повысить, таким образом, точность статистического анализа результатов. В указанной задаче рассматривают комбинаторные планы типа латинских и греко­ латинских квадратов, прямоугольников и кубов, учитывающих дискретные помехи (например, различные партии сырья, разные установки), а также планы, учитывающие временные изменения (дрейф) характеристик объекта. В целом эти планы можно рассмат­ ривать как продолжение работ по реализации концепции рандо­ мизации.

Адаптационное планирование эксперимента. В сложных про­ изводственных условиях найденный однажды оптимальный техно­ логический режим изменяется под воздействием множества причин, например старения катализатора, отложения накипи или раз­ личных веществ в аппаратах и трубопроводах. Говорят, что опти­ мум все время «уходит». Возникает задача приспособления, или адап­ тации, к изменяющимся условиям. Адаптационное планирование предназначено для поиска «уходящего» оптимума технологической

установки. Планы учитывают особенности реальных Промышленных объектов: высокий уровень помех, временной дрейф Характеристик. Число работ в этой области планирования непрерывно растет.

Планы экстремального эксперимента. Химики-технологи наи­ более широко пользуются планами так называемого экстремально­ го эксперимента, разработанными для определения оптимальных условий протекания процессов в объектах исследования. Оптимум определяется по математической модели объекта исследования, которую ищут в виде полиномиального уравнения

если объект характеризуется одной переменной состояния. Логи­ ку появления полинома как математической модели объекта ис­ следования В. В. Налимов [41] объясняет следующим образом. Исследователь полагает, что математическую модель объекта прин­ ципиально можно представить дифференциальными уравнениями, но, учитывая то, что необходимых сведений о природе явлений в объекте не имеется, сделать это не удается. Отсутствие дифферен­ циальных уравнений не дает возможности получить их решение — это очевидно. Однако в общем виде искомое решение можно пред­ ставить функцией:

где у — переменная состояния объекта исследования; X — матри­ ца факторов; р — матрица коэффициентов.

Коэффициенты § полинома можно интерпретировать как коэф­ фициенты ряда Тейлора, в который «удается» разложить полином

(1)в окрестностях некоторой точки с координатами (*10, х20, х30,

хпоУ-

Пользуясь статистическими методами и учитывая конечность экспериментальных данных, можно получить оценки В коэффи­ циентов р в уравнении (1):

Уравнение (4) широко используют для получения математиче­ ской модели объекта исследования. С точки зрения исследования механизма процесса, его физико-химических свойств полиномиаль­ ная модель не несет необходимой информации. Действительно, зная

численные значения коэффициентов ряда Тейлора, исходную функ­ цию и тем более дифференциальные уравнения, описывающие объект исследования, восстановить нельзя.

Для решения экстремальных задач уравнения типа (4) (их часто называют функциями отклика) оказываются исключительно полез­ ными. В математической теории эксперимента разработаны опти­ мальные планы получения таких математических моделей и исполь-. зования их для поиска экстремума. Этот, наиболее разработанный раздел в теории, нашел широкое практическое применение.

Планы экстремального эксперимента реализуются в соответст­ вии с концепцией последовательного анализа. В последовательно­ сти реализации планов можно выделить следующие этапы:

1) оценка априорной информации и отсеивание факторов, не­ существенных для конкретного объекта исследования;

2)получение математической модели объекта в виде линейной функции отклика;

3)поиск оптимальной области объекта по линейной функции отклика;

4)получение математической модели объекта исследования об­ ласти оптимума в виде нелинейной функции отклика;

5)поиск оптимальной координаты факторного пространства в области оптимума.

Экстремальный эксперимент, которому посвящен основной ма­ териал пособия, заканчивается определением оптимальной коорди­ наты, соответствующей оптимальным условиям протекания процес­ сов объекта исследования.

Аппроксимационные задачи. Эта группа задач объединена мето­

дами получения математических моделей объектов исследования по экспериментальным данным в виде различных функциональных зависимостей — полиномов, степенных и логарифмических функ­ ций и др. Основным математическим аппаратом определения мо­ делей является метод наименьших квадратов (приложение 2). Наи­ большее распространение получили полиномы (обыкновенные, или ортогональные, Чебышева и Лаггера). При помощи полученной математической модели описывается поведение объекта в области экспериментальных данных. Для решения аппроксимационных за­ дач широко используются идеи и методы прикладной теории слу­ чайных функций.

§ 4. Классификация методов планирования экстремального эксперимента

При реализации этапов экстремального эксперимента используются определенные совокупности методов. Предлагается несколько классификационных признаков методов экстремально­ го эксперимента [59]. Прежде всего различают объекты исследова­ ния динамические и статические. Динамические объекты исследо­ вания оцениваются некоторыми переходными процессами во

времени. Однако временными изменениями переменных можно пре­ небречь и считать, что они неизменны, а переход с одного уровня переменной на другой происходит мгновенно. Это будут статиче­ ские объекты. В пособии рассматриваются только такие объекты. Несмотря на идеализацию статических объектов, определение оп­ тимальных условий в статике имеет серьезное практическое зна­ чение.

По логике методы экстремального эксперимента можно разде­ лить на методы предварительных и основных исследований. К пер­ вым принадлежат все те, которые оценивают априорную информа­ цию об объекте (корреляционный анализ, методы ранговой кор­ реляции и др.) или те, которые предполагают постановку некоторых экспериментов для отсеивания факторов и решения вопросов орга­ низации основного эксперимента (метод случайного баланса, дис­ персионный анализ и т. д.).

Задача основного эксперимента — получение математической модели процесса и использование ее для статической оптимизации объекта исследования. Здесь используются планы факторного экспе­ римента для получения линейных моделей и композиционные планы для получения нелинейных моделей объекта исследования.

По способу организации различают пассивное и активное экспе­ риментирование. В первом случае объекты исследования наблю­ дают, результаты регистрируют и обрабатывают. Очевидно, что по результатам многократных наблюдений можно оценивать свойства объекта. Однако на практике такая возможность бывает сравнитель­ но редко. Поэтому более эффективным является целенаправленное изменение процесса и регистрация результатов, т. е. активное экс­ периментирование. По-видимому, только активный эксперимент можно планировать. Методы, осуществляющие активное экспери­

включить методы оптимизации, использующие математические мо­ дели объектов исследования (крутое восхождение, симплексные методы и т. д.). Для построения диаграмм «состав — свойство» ис­ пользуют также ряд специальных методов, изложенных в пособии.

§ 5. Обзор литературы по планированию эксперимента и комментарии к нему

Работ по планированию эксперимента как теоретиче­ ских, так и практических в настоящее время очень много. Для поис­ ка конкретных работ весьма полезны обзоры и библиографии. Здесь

впервую очередь следует указать обзоры, проводимые в МГУ, МЭИ,

ибиблиографию Государственной библиотеки им. В. И. Ленина [2; 54]. Первой капитальной работой по планированию экспери­ мента в СССР была монография Налимова В. В. и Черновой Н. А.

[42]. В ней охвачен значительный круг методов планирования эксперимента, изложенных в строгой математической форме и осна­ щенных рядом примеров. В другой монографии Налимова В. В. [41 ] весьма доходчиво и строго изложены основные идеи и направ­ ления планирования эксперимента. Раскрытию этих идей посвя­ щены теоретические работы Федорова В. В., Марковой Е. В. и Ли­ сенкова Л. Н., сборник [44] и другие работы.

К числу фундаментальных трудов принадлежат также работы Химмельблау Д., Финни Ф., Хикса Ч., Вальда А., Дрейпера Н. и Смита Г. Особо следует отметить книгу Химмельблау Д., в ко­ торой рассмотрены практически все направления планирования эксперимента на примерах из химической технологии.

Работы, посвященные применению методов планирования экспе­ римента в химической технологии, публикуются в различных жур­ налах, сборниках, например [46, 47]. В обзоре [2] можно найти прикладные работы по планированию эксперимента, опублико­ ванные до 1965 г.

Часть прикладных работ по планированию эксперимента обоб­ щена в монографиях. Среди них выделяются работы Вознесен­ ского В. А., Гинберга А. М. и др., Максимова В. Н., Федорова В. Д., Тихомирова В. Б. Разделы по планированию эксперимента включи­ ли в свои монографии Жоров Ю. М., Безденежных А. А.

Много работ посвящено вопросам обработки результатов иссле­ дований по данным пассивного эксперимента. Это монографии Лукомского Я. И., Айвазяна С. А., Ордынцева В. М., Пухова Г Е.

иХатиашвили И. С., Пустыльника Е. И.

Впоследнее время большое внимание уделяется исследованию случайных процессов, которые занимают в химической технологии значительное место. Следует отметить работы Солодовникова В. В., Пугачева В. С., Бородюка В. П. и Лецкого Э. К., посвященные вопросам управления, и работы, в которых рассматриваются техно­

логические процессы: Бокс Дж. и Дженкис Г Бендат Дж. и Пир­ сон А., Химмельблау Д.

Несмотря на такое большое число теоретических и прикладных работ по планированию эксперимента, учебных пособий и учебни­ ков явно недостаточно. Необходимо отметить в первую очередь учебное пособие Кафарова В. В. [30], в котором планирование эксперимента изложено в одной главе, и учебник Бондарь А. Г. [И], в котором планированию эксперимента уделено большое вни­ мание под углом зрения математического моделирования. Планиро­

отметить работы Адлера Ю. Г., которые занимают промежуточное Сложение между монографиями (по своему замыслу) и учебными пособиями (по доходчивости изложения).

В конце обзора следует назвать несколько книг общеобразова­ тельного содержания: по теории вероятностей и математической статистике — Митропольский А. К., Вентцель Е. С., Смирнов Н. В.

и Дунин-Барковский М. В., Гурский Е. И., М. де Гроот; по опти­ мизации — Бояринов А. И. и Кафаров В. В., Уайльд Д.

Среди журналов, регулярно публикующих статьи по планиро­ ванию эксперимента, в первую очередь можно назвать «Заводскую лабораторию» (раздел «Математические методы исследования»).

В заключении следует отметить, что представленный выше об­ зор литературы является неполным. Но перечисленных источников достаточно, чтобы читатель после ознакомления с книгой смог дви­ нуться дальше самостоятельно.

Глава II. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Обычно еще до опыта об объекте исследования суще­ ствуют определенные, но разрозненные сведения. Их сбор приводит к появлению так называемой априорной информации. Процедуры сбора априорной информации формализованы недостаточно, хотя успех эксперимента во многом определяется ее качеством.

Экспериментатор на лабораторной установке проводит несколь­ ко опытов, чтобы иметь представление о том, как изменяются пере­ менные процесса. Опыты могут быть организованы по определенным планам, реализация которых даст возможность выяснить связи между переменными в объекте исследования, выделить из числа переменных такие, которые наиболее представительно характери­ зуют исследуемые процессы, оценить их вклад в переменные состоя­ ния объекта.

Главной задачей организации подобных исследований является выбор факторов и переменных состояния, которые войдут в план основного эксперимента. Все исследования, направленные на ре­ шение этой задачи, составляют суть предварительного эксперимен­ та. Практика эксперимента показала высокую эффективность такой тактики исследования технологических объектов.

§ 1. Выбор факторов и переменных состояния объекта исследования

Объект исследования, как указывалось ранее, пред­ ставляется некоторым блоком с набором переменных. Эксперимен­ татор разделяет переменные на входные, выходные и помехи на основании априорной информации объекта исследования или анало­ гичных объектов. Существует ряд требований по выбору перемен­ ных, выполнение которых повышает эффективность эксперимента.

Выбор переменных состояния. Различают экономические и техно­ логические переменные состояния. В качестве экономических

используют производительность, себестоимость и другие показа­ тели. Технологическими переменными служат качество продукта, выход целевого продукта, надежность получаемых изделий и др. Часто технологические переменные состояния тесно связаны с экономическими, и поэтому приведенное разделение весьма услов­ но, хотя оно очень удобно в методическом смысле.

Объект исследования может иметь несколько переменных состоя­ ния, которые следует сократить до минимума. Существуют разные способы уменьшения числа переменных: изменяется формулировка цели исследования, исследуемый объект разбивается на подобъекты, определяется корреляционная связь между переменными состояния и др. Опыт показывает, что в большинстве случаев удается огра­ ничиться одной переменной состояния, и тогда вектор V превраща­ ется в скаляр у. В книге будут рассматриваться объекты исследо­ вания с одной переменной состояния.

Если переменных состояния несколько, то эксперимент прово­ дится по каждой из них, а затем решается компромиссная задача.

При выборе переменной состояния необходимо учитывать сле­ дующие требования:

1) переменная состояния должна иметь количественную харак­ теристику, т. е. измеряться;

2)переменная состояния должна однозначно измерять эффек­ тивность объекта исследования; это требование эквивалентно кор­ ректной постановке задачи;

3)переменная состояния должна быть статистически эффектив­ ной, т. е. обладать возможно меньшей дисперсией при проведении опытов; это позволяет хорошо различать опыты.

Правильный выбор переменной состояния объекта исследова­ ния повышает шансы экспериментатора на успех.

Выбор факторов. При выборе факторов нужно выполнять сле­ дующие требования:

1) фактор должен быть регулируемым, т. е. с помощью опреде­ ленного регулирующего устройства фактор можно изменять от зна­

определенностью).

2) точность измерения и управления факторов должна быть из­ вестна и достаточно высока (хотя бы на порядок выше точности из­ мерения выходной переменной); очевидно, что низкая точность из­ мерения факторов уменьшает возможности воспроизведения экспери­ мента.

К факторам и переменным состояния одновременно также предъ­ является ряд требований:

1) факторы и переменные состояния должны иметь области опре­ деления, заданные технологическими или принципиальными огра­ ничениями (пример технологического ограничения — максимальт ная производительность компрессора, подающего газ в реактор;

пример принципиального ограничения — температура Кристалли­ зации жидкого продукта, образующегося в результате реакции); области определения факторов должны быть таковы, чтобь* гфи Раз­ личных их комбинациях переменные состояния не выводили за свои ограничения;

2) между факторами и переменными состояниями должно суще­ ствовать однозначное соответствие; оно позволит в основном экспе­ рименте построить математическую модель объекта исследования

ирешить поставленную задачу эксперимента.

§2. Сбор информации

впредварительном эксперименте

Впредварительном эксперименте информаций обыч­

но собирают тремя способами.

1) Априорную информацию получают из литературных источ­ ников, оценкой результатов исследования аналогичных объектов, а также на основании опроса специалистов-технологов, работаю­ щих в области исследуемых процессов. Каких-либо специальных требований к сбору априорной информации не существует, хотя

укаждого экспериментатора есть своя система и методика.

2)Часть информации об объекте исследования определяют из

опытов, которые проводит экспериментатор при наладке лабора­ торной установки. Результаты этих опытов могут быть обработаны как малые массивы пассивной информации с целью определения характеристик переменных как случайных величин, оценок зако­ на распределения переменных состояния и т. д. Естественно, что не­ значительный объем информации даст приближенные характерис­ тики переменных. Однако, как показывает практика, оценки пред­ варительного эксперимента мало отличаются от оценок основного эксперимента.

3) Основную часть информации предварительного эксперимента получают постановкой небольшого числа опытов по определенным планам. Эти эксперименты называют отсеивающими, а планы, по ко­ торым они ставятся,— сверхнасыщенными, поскольку число иссле­ дуемых переменных всегда больше числа самих экспериментов.

Большое внимание при экспериментировании уделяется аппара­ туре контроля и регулирования. Эффективность эксперимента по­ вышается, если лабораторную установку оснастить приборами, регистрирующими расходы, давление, температуру, автоматиче­ скими газоанализаторами, хроматографами и др. Если в лаборато­ рии нет стандартного прибора, нужно найти и обосновать методику ручного анализа, точность которого превышает требуемую точ­ ность измерения переменных. Организация ручных анализов долж­ на быть четкой и налаженной, точность работы лаборантов заранее рассчитана. Не рекомендуется в процессе эксперимента менять ла­ борантов, поскольку это сказывается на результатах.

Температура реакционной массы измерялась термопарой, подключен* ной к электрическому потенциометру, и непрерывно записывалась на картограмму. Колбу нагревали на электрической бане, заполненной вазелиновым маслом. Температура в бане автоматически регулировалась с помощью реле и контактного термометра. Сульгин загружали в реактор одновременно с ацетилацетоном и уксусной кислотой. Во время реакции смесь перемешивали, а воду непрерывно отгоняли.

Для оценки исследуемого процесса были проведены лабораторные анализы исходных продуктов (ацетилацетона, сульгина, уксусной кислоты). Получаемые продукты (сульфадимизин в осадке

ив фильтрате, сульгин в фильтрате) также анализировали.

Вотчетах лаборатории есть некоторые данные об изменениях Х 1У Х2, Х3, однако они противоречивы. В одном отчете сказано, что

опыты следует проводить при Х х = 21 ч, в другом — при Х 1 =

ным. Однако есть сведения, что оптимальный избыток ацетилаце­ тона — 40%.

Влияние количества уксусной кислоты на реакцию специально не исследовалось. Считается, что целесообразно поддерживать Х3 = 16—17%. Изменений других факторов не обнаружено.

На основании собранной априорной информации очевиден вы­ вод: для оценки влияния факторов Х4 — Х7 и определения области их существования следует провести несколько однофакторных опы­ тов или же поставить отсеивающий эксперимент сразу и по его ре­ зультатам принять необходимые решения (см. гл. II, § 7).

§ 3. Методы оценки характеристик переменных объекта исследования

Для небольшого количества экспериментальных дан­ ных, полученных при наладке лабораторной установки, могут быть рассчитаны основные числовые характеристики переменных как случайных величин. К ним прежде всего следует отнести: оценки математического ожидания, дисперсий, центральных моментов и интервальные оценки.

Оценку математического ожидания переменной рассчитывают по формуле:

N

если (х1Ух2, •••* XN) выборка переменной X. Средние значения на­ ходят для всех переменных.